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1、第第1414章章 非线性电路非线性电路14.1 14.1 非线性电路元件非线性电路元件 （R R , ,L L , ,C C 的基本特性的基本特性) )14.2 14.2 分析非线性电阻电路的图解法（图解法）分析非线性电阻电路的图解法（图解法）14.3 14.3 分段线性化方法分段线性化方法 （近似法）（近似法）14.4 14.4 小信号分析法小信号分析法 （近似法）（近似法）14.5 14.5 牛顿牛顿拉夫逊法拉夫逊法 （数值法）（数值法）14.7 14.7 求解自治电路的分段线性法求解自治电路的分段线性法 14.6 14.6 非线性动态电路状态方程的列写非线性动态电路状态方程的列写 14.
2、1 非线性电路元件非线性电路元件一、非线性电阻元件一、非线性电阻元件 线性电阻元件的伏安特性满足欧姆定律。电阻值线性电阻元件的伏安特性满足欧姆定律。电阻值大小与大小与u、i 无关（无关（R为常数），其伏安特性为一过原为常数），其伏安特性为一过原点的直线。线性电阻的点的直线。线性电阻的u、i 关系与方向无关。关系与方向无关。iuPui uiR 线形电阻元件线形电阻元件 非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，而遵循某种特定的非线性函数关系。其阻值大小而遵循某种特定的非线性函数关系。其阻值大小与与u、i 有关，伏安特性不是过原点的直线。有关，伏安特性不是过原
3、点的直线。非线性电阻元件的图形符号与伏安函数关系非线性电阻元件的图形符号与伏安函数关系: 非线性电阻元件非线性电阻元件电阻两端电压是其电流的单值函数。电阻两端电压是其电流的单值函数。 对每一电流值有唯一的电压对每一电流值有唯一的电压与与 之对应，对任一电压值则可能之对应，对任一电压值则可能有多个电流与之对应有多个电流与之对应(不唯一不唯一)。某些充气二极管具有类似伏安特性。某些充气二极管具有类似伏安特性。流控电阻的伏安特性呈流控电阻的伏安特性呈“S”型。型。ui01 流控电阻：流控电阻：压控电阻的伏安特性呈压控电阻的伏安特性呈“N”型。型。隧道二极管隧道二极管( 单极晶体管单极晶体管 )具有此
4、伏安特性。具有此伏安特性。 对每一电压值有唯一的电对每一电压值有唯一的电流与流与 之对应，对任一电流值则之对应，对任一电流值则可能有多个电压与之对应可能有多个电压与之对应(不唯不唯一一)。电阻两端电流是其电压的单值函数。电阻两端电流是其电压的单值函数。ui02 压控电阻：压控电阻： “S”型和型和“N”型电阻的伏安特性均有一段下倾型电阻的伏安特性均有一段下倾段，在此段内电流随电压增大而减小。段，在此段内电流随电压增大而减小。ui0ui0u、i 关系具有方向性。关系具有方向性。P N结二极管具结二极管具有此特性。有此特性。u、i 一一对应，既一一对应，既是压控又是流控。是压控又是流控。0uiui
5、Pu+i伏安特性单调增长或单调下降。伏安特性单调增长或单调下降。3 单调型电阻：单调型电阻：其伏安特性可用下式表示：其伏安特性可用下式表示：其中：其中： Is - 反向饱和电流反向饱和电流 ( 常常数数 ) 0uiuiP 非线性电阻的静态电阻非线性电阻的静态电阻 Rs 和动态电阻和动态电阻 Rd静态电阻静态电阻:动态电阻动态电阻:iuP(2) 对对“S”型、型、“N”型非线性电阻，下倾段型非线性电阻，下倾段 Rd 为负，为负， 因此，动态电阻在这些阶段具有因此，动态电阻在这些阶段具有“负电阻负电阻”性质。性质。(1) P点位置不同时，点位置不同时，Rs 与与 Rd 均变化。均变化。说明：说明：
6、 非线性电容元件的库伏特性遵循某种特定的非非线性电容元件的库伏特性遵循某种特定的非 线性函数关系。其库伏特性不是过原点的直线。线性函数关系。其库伏特性不是过原点的直线。 q = f ( u ) u = h ( q )非线性电容元件的图形符号与库伏函数关系非线性电容元件的图形符号与库伏函数关系: 二、非线性电容元件二、非线性电容元件非线性电容的静态电容非线性电容的静态电容 Cs 和动态电容和动态电容 Cd静态电容静态电容:动态电容动态电容:uqP非线性电感元件的韦安特性遵循某种特定的非非线性电感元件的韦安特性遵循某种特定的非 线性函数关系。其韦安特性不是过原点的直线性函数关系。其韦安特性不是过原
7、点的直线。线。 i = f ( ) = h ( i )非线性电感元件的图形符号与韦安函数关系非线性电感元件的图形符号与韦安函数关系:三、非线性电感元件三、非线性电感元件非线性电感的静态电感非线性电感的静态电感 Ls 和动态电感和动态电感 Ld静态电感静态电感:动态电感动态电感:iP 非线性电感的韦安特性曲线非线性电感的韦安特性曲线 非线性电感亦有单调型，但大多数实际非线性电非线性电感亦有单调型，但大多数实际非线性电感元件都包含由铁磁材料所做成的铁心，由于铁磁材感元件都包含由铁磁材料所做成的铁心，由于铁磁材料存在磁滞现象，因此对应的韦安特性曲线都具有如料存在磁滞现象，因此对应的韦安特性曲线都具有
8、如图所示的回线形式。图所示的回线形式。这种电感既不是链控型也不是流控型非线性电感。这种电感既不是链控型也不是流控型非线性电感。 14.2 分析非线性电阻电路的图解法分析非线性电阻电路的图解法 一、简单串并联非线性电阻电路的图解法一、简单串并联非线性电阻电路的图解法 i+u 非线性电阻的串联非线性电阻的串联uio 在在每每一一个个 i 下下，图图解解法法求求 u ，将将一一系系列列 u、i 值值连连成成曲曲线线即即得串联等效电阻得串联等效电阻 (仍为非线性仍为非线性)。 两个流控非线性电阻串联的等效电阻仍为流两个流控非线性电阻串联的等效电阻仍为流控非线性电阻。控非线性电阻。 非线性电阻的并联非线
9、性电阻的并联i+ui1i2u1u2 如果串并联电路由压控型非如果串并联电路由压控型非线性电阻和流控型非线性电阻构线性电阻和流控型非线性电阻构成，则等效非线性电阻的伏安特成，则等效非线性电阻的伏安特性既可能是电压的多值函数也可性既可能是电压的多值函数也可能是电流的多值函数。能是电流的多值函数。 在每一个在每一个 u 下，图解法求下，图解法求 i，将一系列，将一系列 i、u值连成曲线即值连成曲线即得其特性曲线得其特性曲线 (仍为非线性仍为非线性)。iuo二、非线性电阻电路静态工作点的图解法二、非线性电阻电路静态工作点的图解法 RU0R0b+ u+ aa线性线性含源含源电阻电阻网络网络i+ ub a
10、b 以左部分为线性电路，其以左部分为线性电路，其其特性为经过点其特性为经过点A、B的一条直线。的一条直线。关系为关系为uiU0oABi=f(u) ab 右边为非线性电阻，右边为非线性电阻， 其伏安特性为其伏安特性为曲线如图所示。曲线如图所示。两曲线交点坐标两曲线交点坐标即为所求解答。即为所求解答。14.3 14.3 分段线性化方法分段线性化方法 特点：将非线性电路元件的特性曲线进行分段特点：将非线性电路元件的特性曲线进行分段线性化处理后，将非线性电路的求解过程分成若干线性化处理后，将非线性电路的求解过程分成若干个线性区段来进行。个线性区段来进行。 对每一个线性区段，确定出对应的等效电路后，对每
11、一个线性区段，确定出对应的等效电路后，就可应用线性电路的分析方法求解，从而求得非线就可应用线性电路的分析方法求解，从而求得非线性电路的近似解性电路的近似解。 如图所示如图所示N形曲线是隧道二极管的伏安特性曲线，形曲线是隧道二极管的伏安特性曲线，该曲线可用图中三段直线近似替代。该曲线可用图中三段直线近似替代。 各段直线的斜率为电各段直线的斜率为电路工作在该直线段内时的路工作在该直线段内时的动态电导，动态电导，分别记为分别记为: 在每个直线段内，隧道二极管的伏安特性可用一个在每个直线段内，隧道二极管的伏安特性可用一个相应的线性电路来等效相应的线性电路来等效。 在在OA段工作时隧道二极管相应的线性电
12、路段工作时隧道二极管相应的线性电路因此可以用上面所示的线性电导来等效。因此可以用上面所示的线性电导来等效。当当时有：时有： 在在AB段工作时隧道二极管相应的线性电路段工作时隧道二极管相应的线性电路当当时，有：时，有：其中其中为已知量。为已知量。 相当于一个独立电流源，故在该段可用下图所示相当于一个独立电流源，故在该段可用下图所示一个线性电导和一个电流源的并联电路来等效。一个线性电导和一个电流源的并联电路来等效。在在BC段工作时隧道二极管相应的线性电路段工作时隧道二极管相应的线性电路当当时，有时，有:其中其中同样为已知量，相当于一个独立电流源，同样为已知量，相当于一个独立电流源， 故在该段可用上
13、图所示线性电导和电流源的故在该段可用上图所示线性电导和电流源的并联电路来等效。并联电路来等效。 14.4 小信号分析法小信号分析法 小小信信号号分分析析法法是是分分析析非非线线性性电电路路的的一一个个重重要要方方法法，即即“工工作作点点处处线线性性化化”，主主要要应应用用于于那那些些既既有有偏偏置置直直流流电电源源作作用用，又又有有外外加加时时变变小小信信号号作作用用的的非非线性电路，如电子电路中的放大器。线性电路，如电子电路中的放大器。 要求：求解要求：求解u和和i +i=f(u)uR0+uS(t)U0 + R为非线性电阻为非线性电阻为线性电阻为线性电阻为直流电压电源为直流电压电源(建立静态
14、工作点建立静态工作点)为交流小信号电源为交流小信号电源 由于电路中有非线性元件，不能使用叠加定理，由于电路中有非线性元件，不能使用叠加定理，因此采用工作点处线性化的近似计算因此采用工作点处线性化的近似计算小信号分析。小信号分析。+iuR0U0KVL 方程：方程： 首先考虑无小信号作用的情况首先考虑无小信号作用的情况 ，此时，此时，KVL方程为：方程为：其中，其中，u、i 为为 U0 作用产生作用产生.令令非线性电阻的伏安特性非线性电阻的伏安特性 i = f(u) 如上图。如上图。i=f(u)uiUsQoAB作图法可求出其静态工作点作图法可求出其静态工作点Q ：uiUsi=f(u)QoAB因此可
15、将因此可将u和和i近似表示为近似表示为: 当考虑有小信号电压作用当考虑有小信号电压作用时，时，即即因因所以待求解所以待求解u和和i必定处于静态工作点必定处于静态工作点附近。附近。式中，式中，是由于小信号是由于小信号作用所引起的偏差。作用所引起的偏差。在任何时候相对于在任何时候相对于都很小。都很小。此时，非线性电阻特性此时，非线性电阻特性 i = f(u) 可写为可写为:将上式右边按泰勒级数展开将上式右边按泰勒级数展开 (略去一次项以上的略去一次项以上的高次项高次项 )由前面由前面上式可简化为：上式可简化为：又又为非线性电阻在静态工作点处的动态电导为非线性电阻在静态工作点处的动态电导上式可写为：
16、上式可写为： 故故在在静静态态工工作作点点处处，u u1 1( (t t) )与与i i1 1( (t t) ) 近近似似为为线线性性关关系系，非非线线性性电电阻阻近近似似为为线线性性电电阻阻。上上述述近近似似的的条条件件是是u u1 1( (t t) )与与i i1 1( (t t) ) 均很小，即扰动不能偏离工作点太远。均很小，即扰动不能偏离工作点太远。 得：得：由由 此此电电路路称称为为非非线线性性电电阻阻在在工工作作点点(U0, I0) 处的小信号等效电路。处的小信号等效电路。+i1(t)u1(t)RdRSuS(t)由此可得其等效电路：由此可得其等效电路：上述分析方法上述分析方法 称为
17、小信号分析方法。称为小信号分析方法。Pi(u)uiUso由该电路可求得由该电路可求得 :+I0iS(t)R0i=f(u)例例1： 计算工作点和工作点处由小信号电源所产生计算工作点和工作点处由小信号电源所产生的电压、电流。的电压、电流。代入参数得：代入参数得：u+f(u解解:由由KCL可得：可得：已知：已知：(1) 先求静态工作点先求静态工作点 Q令令由上式得：由上式得：对应的工作点的电压：对应的工作点的电压：由非线性电阻的伏安由非线性电阻的伏安特性得：特性得：(2) 求出工作点处的小信号等效电求出工作点处的小信号等效电路路小信号等效电路如右图：小信号等效电路如右图：iS(t)R0+u1(t)R
18、d工作点处动态电导：工作点处动态电导：从而可求出工作点处由小信号所产生的电流从而可求出工作点处由小信号所产生的电流和电压分别为：和电压分别为：14.5 牛顿牛顿拉夫逊法（非线性电路的数值解法拉夫逊法（非线性电路的数值解法 ） 对一般的非线性电路，可根据基尔霍夫定律和元件对一般的非线性电路，可根据基尔霍夫定律和元件特性列出相应的电路方程，对这些非线性电路方程，很特性列出相应的电路方程，对这些非线性电路方程，很难求出其解析解，一般情况下可采用数值解法。难求出其解析解，一般情况下可采用数值解法。 设一般非线性代数方程组可表示为：设一般非线性代数方程组可表示为：的的n维向量形式，维向量形式， 式中式中
19、为为n维待求解向量。维待求解向量。如果如果是方程组的解，则是方程组的解，则显然应满足显然应满足:用牛顿用牛顿拉夫逊法求解非线性代数方程的拉夫逊法求解非线性代数方程的过程可分为如下几步：过程可分为如下几步： (1) 先选取一组合理的初始值先选取一组合理的初始值如果恰巧如果恰巧则则是方程的解，否则就做下一步；是方程的解，否则就做下一步；(2) 取取作为修正值作为修正值, 应足够小。应足够小。将将在在附近展开成泰勒级数并取其线性部分，可得附近展开成泰勒级数并取其线性部分，可得 :式中，式中，其中其中为对应的为对应的Jacobi矩阵。矩阵。令令若若Jacobi矩阵可逆，则可得矩阵可逆，则可得由此便可确
20、定出第一次修正值由此便可确定出第一次修正值 若若是方程的解；是方程的解；则则 若若第第k+1次迭代的修正值为：次迭代的修正值为：则用上述方法继续迭代，则用上述方法继续迭代，该式成立的充分必要条件是该式成立的充分必要条件是Jacobi矩阵矩阵如果如果可逆。可逆。是方程的解，否则继续迭代。是方程的解，否则继续迭代。则则实际上只要实际上只要足够小，亦即足够小，亦即:就可认为迭代收敛。就可认为迭代收敛。式中式中为按照计算精度要求预先取定的一个很小为按照计算精度要求预先取定的一个很小的正数的正数 。例例2.解：对节点解：对节点1列出节点电压方程列出节点电压方程 :u20+iSUni2R1R21由此得由此
21、得 :取取 ，则迭代过程可如下表所示，则迭代过程可如下表所示:k012340 20.857140.734690.675630.032950.666690.000090.666670.00001迭代四次后：迭代四次后：按牛顿按牛顿拉夫逊法的迭代公式，得拉夫逊法的迭代公式，得 :14.6 非线性动态电路状态方程的列写非线性动态电路状态方程的列写 非线性动态电路非线性动态电路: : 含有储能元件的非线性电路含有储能元件的非线性电路中，由于储能元件的电压电流关系是微分或者积分关中，由于储能元件的电压电流关系是微分或者积分关系，所以对应的电路方程是微分方程或者积分方程，系，所以对应的电路方程是微分方程或
22、者积分方程，这类电路称为非线性动态电路。这类电路称为非线性动态电路。 非线性动态电路目前常采用状态变量法进行分析。非线性动态电路目前常采用状态变量法进行分析。 在列写非线性动态电路状态方程时，一般来说：在列写非线性动态电路状态方程时，一般来说： 压控型电容元件选电压压控型电容元件选电压 为状态变量，为状态变量， 荷控型电容元件选电荷荷控型电容元件选电荷 为状态变量，为状态变量， 流控型电感元件选电流流控型电感元件选电流 为状态变量，为状态变量， 链控型电感元件选磁链链控型电感元件选磁链 为状态变量。为状态变量。 含有非线性储能元件和非线性电阻元件的电路状含有非线性储能元件和非线性电阻元件的电路
23、状态方程的列写比较复杂，有时甚至无法列出状态方程态方程的列写比较复杂，有时甚至无法列出状态方程.例例3: 试对下面三种情况列写电路的状态方程：试对下面三种情况列写电路的状态方程： (a) 为压控电阻，为压控电阻， (b) C 为压控电容，为压控电容， (b) 为压控电阻，为压控电阻， (c) C 为荷控电容，为荷控电容， (c) 为流控电阻，为流控电阻， C 为压控电容，为压控电容， (a) 为压控电阻，为压控电阻， (b) C 为压控电容，为压控电容， 对节点对节点1列写列写KCL方程，可得方程，可得:其中：其中：于是得：于是得：该式即为所求状态方程。该式即为所求状态方程。(b) 为压控电阻
24、，为压控电阻， (c) C 为荷控电容，为荷控电容， 此时由于此时由于 不是不是 的单值函的单值函数，所以数，所以 亦不是亦不是 的单值函数的单值函数 ，因此不能取，因此不能取 为状态变量，为状态变量， 但但可取可取 为状态变量列写状态方程。为状态变量列写状态方程。 由由KCL方程和压控非线性电阻的特性方程可得方程和压控非线性电阻的特性方程可得状态方程为状态方程为 : 由于由于 不是不是 的单值函数，而也不是的单值函数，而也不是 的单的单值函数，所以既不能取值函数，所以既不能取 为状态变量，也不能取为状态变量，也不能取 为为状态变量，不然在状态变量，不然在KCL方程中将出现无法消除的非状态方程
25、中将出现无法消除的非状态变量，从而该情况下无法列出状态方程。变量，从而该情况下无法列出状态方程。 (c) 为流控电阻，为流控电阻， C 为压控电容，为压控电容， 例例4: 试对下面三种情况列写电路的状态方程：试对下面三种情况列写电路的状态方程：(c) 为压控电阻，为压控电阻， 为流控电感，为流控电感，(b) 为流控电阻，为流控电阻， 为链控电感，为链控电感，(a)(a) 为流控电阻，为流控电阻，(b)(b) 为流控电感，为流控电感， 为非线性电阻，为非线性电阻， 为非线性电感，为非线性电感， 为线性电阻为线性电阻 (a)(a) 为流控电阻，为流控电阻，(b)(b) 为流控电感，为流控电感，于是
26、可得以于是可得以为状态变量的状态方程为：为状态变量的状态方程为：对回路列对回路列KVL方程，有：方程，有：代入各元件的特性方程，得：代入各元件的特性方程，得：(b) 为流控电阻，为流控电阻， 为链控电感，为链控电感， 此此时时由由于于 不不是是 的的单单值值函函数数，所所以以 亦亦不不是是 的的单单值值函函数数，因因此此 不不能能取取 为状态变量，但可取为状态变量，但可取 为状态变量列写状态方程。为状态变量列写状态方程。 由由KVL方程和元件的特性方程可得状态方程为方程和元件的特性方程可得状态方程为:(c) 为压控电阻，为压控电阻， 为流控电感，为流控电感，由非线性电阻特性方程知由非线性电阻特
27、性方程知不是不是的单值函数，的单值函数，所以不能取所以不能取为状态变量；为状态变量；而由非线性电感特性方程知：而由非线性电感特性方程知：又不又不是是的单值函数，的单值函数，因此也不能取因此也不能取为为状态变量。状态变量。所以此时不论取所以此时不论取还是还是 在在KVL方程中都存在一个无法消除的非状态变量，方程中都存在一个无法消除的非状态变量，从而该情况下无法列出状态方程。从而该情况下无法列出状态方程。 作状态变量，作状态变量，总结：总结：（1）非线性动态电路状态方程的一般形式为：）非线性动态电路状态方程的一般形式为：（2）非线性动态电路状态方程的特殊形式之自治）非线性动态电路状态方程的特殊形式
28、之自治 方程为：方程为： 方程特点：方程特点：在方程中时间变量在方程中时间变量 除了在除了在中以隐含形式出现外，不以任何显含形式出现中以隐含形式出现外，不以任何显含形式出现. 电路特点：电路特点： 电路中所有元件皆为非时变元件，电路处于零状电路中所有元件皆为非时变元件，电路处于零状态或以直流电源激励时态或以直流电源激励时.求解自治电路的分段线性法求解自治电路的分段线性法 对自治电路，可将非线性元件的特性方程分段对自治电路，可将非线性元件的特性方程分段线性化处理后，再进行分段线性分析。线性化处理后，再进行分段线性分析。 一阶非线性自治电路的四种形式：一阶非线性自治电路的四种形式： : :有源非线
29、有源非线性电阻性网络性电阻性网络 : :有源线有源线性或非线性电性或非线性电阻性网络，所阻性网络，所含电源皆应为含电源皆应为直流电源直流电源 14.7.1 非线性电阻和线性电感构成的一阶非非线性电阻和线性电感构成的一阶非 线性自治电路线性自治电路 电路图电路图非线性电阻的伏安特性非线性电阻的伏安特性 要求：采用分段线性法求该电路的零状态响应要求：采用分段线性法求该电路的零状态响应非线性电阻的伏安特性曲线非线性电阻的伏安特性曲线各段对应的等效电路各段对应的等效电路先将非线性电阻的伏安特性曲线用如图先将非线性电阻的伏安特性曲线用如图所示的折线所示的折线逼近，该折线的分段表达式为逼近，该折线的分段表
30、达式为 ： 图中所示电路描述的是一个直流电压源通过非图中所示电路描述的是一个直流电压源通过非线性电阻对处于零状态情况下的电感充磁的过程，线性电阻对处于零状态情况下的电感充磁的过程，换路瞬间电感电流不突变换路瞬间电感电流不突变 换路后电感电流将从零开始随充磁时间的增加而换路后电感电流将从零开始随充磁时间的增加而增长，最终达到稳态值。增长，最终达到稳态值。各段时间内该电路的等效电路各段时间内该电路的等效电路: : （ 1 ）t1以前以前（2）t1以后以后 利用求解一阶线性电路的三要素法，可得各段时间利用求解一阶线性电路的三要素法，可得各段时间内电感电流的表达式如下：内电感电流的表达式如下： 的响应
31、波形图的响应波形图14.7.2 线性电阻和非线性电容构成的一阶线性电阻和非线性电容构成的一阶非线性自治电路非线性自治电路要求：采用分段线性法分析该电路的零状态响应要求：采用分段线性法分析该电路的零状态响应电路图电路图非线性电容的库伏特性非线性电容的库伏特性 将非线性电容的库伏特性曲线用如图所示的折线逼将非线性电容的库伏特性曲线用如图所示的折线逼近，该折线的分段表达式为：近，该折线的分段表达式为： 或或各线性段对应各线性段对应的等效电路的等效电路 图中所示电路描述的是一个直流电压源通过线性电阻对处于零状图中所示电路描述的是一个直流电压源通过线性电阻对处于零状态情况下的电容充电的过程，换路瞬间电容
32、电压不突变态情况下的电容充电的过程，换路瞬间电容电压不突变 。 换路后电容电压将从零开始随充电时间的增加而增长，最终换路后电容电压将从零开始随充电时间的增加而增长，最终达到稳态值达到稳态值 。各段时间内该电路的等效电路如图所示各段时间内该电路的等效电路如图所示: : （ 1 ）t1以前以前（2）t1以后以后 对各等效电路，利用三要素法，可得各段时间内对各等效电路，利用三要素法，可得各段时间内电容电压的表达式如下：电容电压的表达式如下： 的零状态响应波形的零状态响应波形: 例例5: 非线性电阻的分段等效电路非线性电阻的分段等效电路 已知：已知：非线性电阻伏安特性的分段表达式为非线性电阻伏安特性的
33、分段表达式为 ：要求：求零状态响应要求：求零状态响应解解: 该电路的工作状态表现为一个直流电压源通过该电路的工作状态表现为一个直流电压源通过非线性电阻对电容充电的过程，换路后瞬间非线性电阻对电容充电的过程，换路后瞬间由非线性电阻伏安特性的分段表达式可知：由非线性电阻伏安特性的分段表达式可知：达到最大值，随后充电电流达到最大值，随后充电电流随充电时间的增加而减小，最终趋于零。随充电时间的增加而减小，最终趋于零。 各段时间内该电路的等效电路如图所示各段时间内该电路的等效电路如图所示:（ 1 ）t1以前以前（2）t1以后以后时电容电压和电流的表达式如下：时电容电压和电流的表达式如下： 利用三要素法，可得利用三要素法，可得可求得：可求得：由由对应的响应波形图对应的响应波形图 时电容电压的表达式为：时电容电压的表达式为：由如图所示等效电路，可得由如图所示等效电路，可得:
