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1、第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院第6章：多元函数微分学 内容提要6.3复合函数与隐函数的微分法6.3.1复合函数的微分法6.2.2隐函数的微分法第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.1复合函数的微分法1.二元复合函数的概念 假设假设 是变量是变量 和和 的函数的函数, ,即即 , ,而而 又是又是 的的函函数数 , ,那那么么称称函函数数 是是 的复合的复合 函数函数, ,记作记作 其中 称为中间变量 定理定理6.1 假设函数假设函数 、 在点在点 的偏导数的偏导数 、 、 、 均存在均存在,函数函数 在相应的在相应的 点点 处可微处可微,那么那么复合
2、函数复合函数 在点在点 处的偏导数必存在处的偏导数必存在,且且2.复合函数的微分法上述公式称为复合函数的链式法那么。第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.1复合函数的微分法2.复合函数的微分法注1: 复合函数中变量与变量之间的关系经常可用如以下图形来表示,称这种图为复合关系图. 第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.1复合函数的微分法2.复合函数的微分法图A图B 注2: 二元复合函数有两种特殊情形 (1)假设 ,而 时复合函数 为一元函数,其复合关系图见图A所示,常称这种复合函数的导数为全导数，全导数公式为:(2)假设 ,而 时复合函数为 ,其复合关
3、系图 见图B 注注3:3:求求复复合合函函数数的的偏偏导数数时, ,和和一一元元函函数数一一样, ,最最后后要要将将中中间变量量消消去去. .第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.1复合函数的微分法例1设求解:设那么是的复合函数,分别代入公式得第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.1复合函数的微分法例2设,而求解:由全导数公式第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.1复合函数的微分法例3设,而求由此可见全导数为 解该题中函数的复合关系图为:当 时,由复合关系图得偏导数为:第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.
4、1复合函数的微分法例4设试证证明：设,那么是以为中间变量的二元复合函数,所以第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.2隐函数的微分法1.隐函数的概念 普通普通, ,由方程所确定的函数均称为隐函数由方程所确定的函数均称为隐函数. . 由由于于方方程程中中含含有有的的未未知知量量可可以以是是两两个个、三三个个、四四个个或或更更多多, ,因因此此相相应应的的就就有有一一元元隐隐函函数数、二二元元隐隐函函数数、三元隐函数等等三元隐函数等等. . 含含有有两两个个未未知知量量的的方方程程, ,其其普普通通方方式式为为 , ,它确定了它确定了 是是 的一元函数的一元函数, ,称其为一元
5、隐函数称其为一元隐函数; ; 含含有有三三个个未未知知数数的的方方程程, ,其其普普通通方方式式为为 , ,它它确确定定了了 是是 和和 的的二二元元函函数数, ,称称其其为为二二元元隐隐函函数数; ;类似的还有三元、四元不断到类似的还有三元、四元不断到n n元的隐函数元的隐函数. . 本书仅讨论一元和二元隐函数本书仅讨论一元和二元隐函数. .第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院 该式给出了一元隐函数的一种新的求导方法,运用该方法时只需将方程的一边移项为零,而将另一边看成F,然后分别求出F对x和对y的两个偏导数,代入该公式化简即可.6.3.2隐函数的微分法2.隐函数的微分法 一
6、一元元隐隐函函数数的的导导数数在在前前面面曾曾经经利利用用复复合合函函数数求求导导法法那那么么求求过过. .今今利利用用偏偏导导数数给给出出求求其其导导数数的的公公式式. .为为此此将将方方程程 F(xF(x，y)=0y)=0的的两两边边同同时时对对x x求求导导数数, ,且且把把变变量量y y看看成成变变量量x x的函数的函数( (参见本节例参见本节例3 3求法求法),),得得: :当 时解之得 第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.2隐函数的微分法2.隐函数的微分法例5求由方程所确定的隐函数的导数.解令由于 代入公式得所求隐函数的导数为:第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.2隐函数的微分法2.隐函数的微分法 同理,对于由方程F=(x,y,z)=0所确定的二元隐函数,欲得其求偏导数的公式,可将方程F=(x,y,z)=0两边分别同时对x和对y求偏导数,且将变量z看作x,y的函数,得 令那么当时解之得上式给出求二元隐函数的偏导数公式,其运用方法与一元一样.第6章 多元函数微分学四川教育学院土木与交通工程学院6.3.2隐函数的微分法2.隐函数的微分法 的偏导数的偏导数例6求由方程所确定的隐函数 解解 令令那么 代入公式(6.3.6)得其偏导数为
