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1、3-5 线性系统的稳定性分析 稳定性的基本概念稳定性的基本概念稳定性的基本概念稳定性的基本概念 线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件 Routh Hurwitz Routh Hurwitz 稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据 Routh Hurwitz Routh Hurwitz 判据的特殊情况判据的特殊情况判据的特殊情况判据的特殊情况 Routh Hurwitz Routh Hurwitz 判据的应用判据的应用判据的应用判据的应用11. 1. 稳定性的基本概念稳定性的基本概念例2. 曲面波例1. 单摆稳定平衡点稳定平衡点不稳定平衡点不稳定平衡
2、点小范围稳定小范围稳定系统状态系统状态系统状态系统状态 稳定的稳定的稳定的稳定的 临界稳定临界稳定临界稳定临界稳定 不稳定不稳定不稳定不稳定稳定性：稳定性：稳定性：稳定性：扰动作用扰动作用扰动作用扰动作用 偏离平衡状偏离平衡状偏离平衡状偏离平衡状态态态态 产生初始偏差产生初始偏差产生初始偏差产生初始偏差 扰动消失扰动消失扰动消失扰动消失 恢复到原平衡状态恢复到原平衡状态恢复到原平衡状态恢复到原平衡状态胡p1101892-李雅普诺夫李雅普诺夫LyaponovLyaponov系统在初始扰动的影响下，动态过系统在初始扰动的影响下，动态过系统在初始扰动的影响下，动态过系统在初始扰动的影响下，动态过程随
3、时间的推移逐渐衰减并趋于零程随时间的推移逐渐衰减并趋于零程随时间的推移逐渐衰减并趋于零程随时间的推移逐渐衰减并趋于零大范围稳定大范围稳定稳定稳定系统自身的固有特性系统自身的固有特性系统自身的固有特性系统自身的固有特性22. 线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件n nBIBOBIBO 与与与与平衡点平衡点稳定性稳定性稳定性稳定性uu 有界输入有界输出稳定性有界输入有界输出稳定性 BIBOBIBO：零状态下，系统对有界零状态下，系统对有界零状态下，系统对有界零状态下，系统对有界输入信号的响应是有界的。输入信号的响应是有界的。输入信号的响应是有界的。输入信号的响应是有界的。零状态稳定零状态稳
4、定vv 平衡点稳定性平衡点稳定性LyaponovLyaponov渐进稳定渐进稳定渐进稳定渐进稳定 ：零输入情况下，系统：零输入情况下，系统：零输入情况下，系统：零输入情况下，系统在初始条件作用下能回到原工作条件状态。在初始条件作用下能回到原工作条件状态。在初始条件作用下能回到原工作条件状态。在初始条件作用下能回到原工作条件状态。零输入稳定零输入稳定系统完全响应系统完全响应系统完全响应系统完全响应零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应C0S(s)零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应C0i(s)特征方程特征方程特征方程特征方程Q(s)Q(s)的根均位于左半的根均位于左半的根均位于左半的根均位
5、于左半s s平面平面平面平面闭环传递函数极点均位于左半闭环传递函数极点均位于左半闭环传递函数极点均位于左半闭环传递函数极点均位于左半s s平面平面平面平面零极点对消零极点对消零极点对消零极点对消：闭环系统的零点可对消位于右半：闭环系统的零点可对消位于右半：闭环系统的零点可对消位于右半：闭环系统的零点可对消位于右半s s平面的极点，平面的极点，平面的极点，平面的极点，使其它的极点都位于左半平面，则使其它的极点都位于左半平面，则使其它的极点都位于左半平面，则使其它的极点都位于左半平面，则系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定。胡p11133. RouthRouth18771877 Hurwitz Hur
6、witz18951895 稳定代数判稳定代数判据据（1 1） Hurwitz Hurwitz 稳定判据稳定的必要条件稳定判据稳定的必要条件稳定判据稳定的必要条件稳定判据稳定的必要条件特征方程特征方程特征方程特征方程稳定的必要条件稳定的必要条件:系统系统系统系统稳定稳定稳定稳定 多项式所有系数多项式所有系数多项式所有系数多项式所有系数必须符号相同必须符号相同必须符号相同必须符号相同且且且且不为零不为零不为零不为零系统不稳定系统不稳定系数均为正数系数均为正数系数均为正数系数均为正数系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定! ! +0s3胡p11143. RouthRouth18771877 Hurwitz
7、 Hurwitz18951895 稳定代数判稳定代数判据据（1 1） Hurwitz Hurwitz 稳定判据稳定的充要条件稳定判据稳定的充要条件稳定判据稳定的充要条件稳定判据稳定的充要条件系统系统系统系统稳定稳定稳定稳定 多项式所有系数多项式所有系数多项式所有系数多项式所有系数主行列式及顺序主子式全部为正主行列式及顺序主子式全部为正主行列式及顺序主子式全部为正主行列式及顺序主子式全部为正胡p1125Hurwitz Hurwitz 稳定判据例题稳定判据例题稳定判据例题稳定判据例题系统不稳定系统不稳定3. RouthRouth18771877 Hurwitz Hurwitz18951895 稳定
8、代数判稳定代数判据据63. RouthRouth18771877 Hurwitz Hurwitz18951895 稳定代数判稳定代数判据据（2 2） Routh Routh 稳定判据稳定的充要条件稳定判据稳定的充要条件稳定判据稳定的充要条件稳定判据稳定的充要条件闭环系统闭环系统闭环系统闭环系统稳定稳定稳定稳定 RouthRouth表表表表第一列系数均为正第一列系数均为正第一列系数均为正第一列系数均为正特征方程特征方程特征方程特征方程RouthRouth判据判据判据判据 Q(s) Q(s)的的的的正实部根正实部根正实部根正实部根的数目的数目的数目的数目同同同同 判据表中判据表中判据表中判据表中第
9、一列的系数第一列的系数第一列的系数第一列的系数符号变化次数相同符号变化次数相同符号变化次数相同符号变化次数相同。RouthRouth判据与判据与判据与判据与Hurwitz Hurwitz 稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据实质是一致的实质是一致的实质是一致的实质是一致的卢p52；胡p11274. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 稳定判据一般情况稳定判据一般情况n n情况情况情况情况1 1：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零稳定的二阶系统稳定的二阶系统稳定的二阶系统稳定的二阶系统 特征多项式的系数全为正或全为负特征多项式的系数全为
10、正或全为负特征多项式的系数全为正或全为负特征多项式的系数全为正或全为负84. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 稳定判据一般情况稳定判据一般情况 n n情况情况情况情况 1 1：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零三阶系统稳定的充要条件三阶系统稳定的充要条件三阶系统稳定的充要条件三阶系统稳定的充要条件全部系数同号；全部系数同号；全部系数同号；全部系数同号；a a2 2a a1 1 a a0 0a a3 3系数同号，且系数同号，且系数同号，且系数同号，且a a2 2a a1 1= a= a0 0a a3 3系统临界稳定系统临界稳定系
11、统临界稳定系统临界稳定94. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 稳定判据一般情况稳定判据一般情况 n n情况情况情况情况 1 1：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零首列元素出现了首列元素出现了首列元素出现了首列元素出现了2 2次符号变化次符号变化次符号变化次符号变化 Q Q（s s）有）有）有）有2 2个根个根个根个根在在在在右右右右半平面半平面半平面半平面104. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况稳定判据特殊情况 n n情况情况情况情况2 2：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元
12、素：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元素：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元素：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元素用一个很小的正数用一个很小的正数用一个很小的正数用一个很小的正数 来代替来代替来代替来代替零元素参与计算，零元素参与计算，零元素参与计算，零元素参与计算， 再令再令再令再令 0 0 即可得到真正的判定表即可得到真正的判定表即可得到真正的判定表即可得到真正的判定表（4 -12）/ -12/ -12/ - - (6c1-10 )/c)/c1 1 62 2次符号变化次符号变化次符号变化次符号变化 Q Q（s s）有）有）有）有2 2个个个个根在右半平面，系
13、统不稳定。根在右半平面，系统不稳定。根在右半平面，系统不稳定。根在右半平面，系统不稳定。解决方法解决方法例例6114. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况稳定判据特殊情况 n n情况情况情况情况2 2：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元素：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元素：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元素：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元素 ( K)/ K)/ -K/ 对于任何对于任何对于任何对于任何K K，系统不稳定系统不稳定系统不稳定系统不稳定-K/ 0 0 K0稳定稳定例例7124. Routh Hu
14、rwitz Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况稳定判据特殊情况 n n情况情况情况情况3 3：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零系统不稳定系统不稳定系统不稳定系统不稳定，有一个正实部的根，有一个正实部的根，有一个正实部的根，有一个正实部的根令令令令F(s)=0F(s)=0得：得：得：得：s=+2s=+2，-2-2，+j+j，-j-j用用用用零行的上一行零行的上一行零行的上一行零行的上一行构成一个构成一个构成一个构成一个辅助多项式辅
15、助多项式辅助多项式辅助多项式，并，并，并，并进行进行进行进行求导后的系数代替该零行求导后的系数代替该零行求导后的系数代替该零行求导后的系数代替该零行，继续下面，继续下面，继续下面，继续下面的计算。的计算。的计算。的计算。解决方法解决方法例例8HurwitzHurwitz 稳定判据必要条件判断稳定判据必要条件判断稳定判据必要条件判断稳定判据必要条件判断:s :s4 4 s s1 1的系数小于零，系统不稳定的系数小于零，系统不稳定的系数小于零，系统不稳定的系数小于零，系统不稳定134. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况稳定判据特殊情况 n n情况情况情况情况
16、3 3：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零8-K/ 20 20 K0K=8，s1行均为零元素行均为零元素，虚轴，虚轴上有两个根，系统是上有两个根，系统是临界稳定临界稳定，且响应为持续振荡。且响应为持续振荡。0K8，系统稳定，系统稳定，系统稳定，系统稳定借助借助借助借助辅助多项式辅助多项式辅助多项式辅助多项式U(s)U(s)来掌握来掌握来掌握来掌握特征根特征根特征根特征根分布情况分布情况分布情况分布情况。辅助多项式辅助多项式辅助多项式辅助多项
17、式U(s)U(s)对应于对应于对应于对应于RouthRouth判定表中零元素的前面一行，判定表中零元素的前面一行，判定表中零元素的前面一行，判定表中零元素的前面一行，一般为偶数多项式，其一般为偶数多项式，其一般为偶数多项式，其一般为偶数多项式，其阶数表示了阶数表示了阶数表示了阶数表示了对称根的对数对称根的对数对称根的对数对称根的对数。求特征根求特征根例例9144. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况稳定判据特殊情况n n情况情况情况情况4 4：特征方程在虚轴上有重根：特征方程在虚轴上有重根：特征方程在虚轴上有重根：特征方程在虚轴上有重根令令令令Q(s)=0
18、Q(s)=0得：得：得：得：s=+js=+j 2 2， - - j j 2 2，-2j-2j，2j2j即两对在虚轴上的单根。故系统临界稳定。即两对在虚轴上的单根。故系统临界稳定。即两对在虚轴上的单根。故系统临界稳定。即两对在虚轴上的单根。故系统临界稳定。特征方程在虚轴上仅有特征方程在虚轴上仅有单根单根，系统响应是持续的正弦振荡，系统响应是持续的正弦振荡，称为称为临界稳定。临界稳定。例例10HurwitzHurwitz 稳定判据必要条件判断稳定判据必要条件判断稳定判据必要条件判断稳定判据必要条件判断: s: s3 3及及及及s s1 1的的的的系数为零，系统不稳定系数为零，系统不稳定系数为零，系
19、统不稳定系数为零，系统不稳定卢p54154. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况稳定判据特殊情况 n n情况情况情况情况4 4：特征方程在虚轴上有重根：特征方程在虚轴上有重根：特征方程在虚轴上有重根：特征方程在虚轴上有重根在虚轴上有在虚轴上有重根重根，系统则，系统则不稳定不稳定。 0 系统临界稳定系统临界稳定重根！重根！系统不稳定系统不稳定例例114 4216n nRouth Routh 判判判判据主要用于判断系统的稳定性据主要用于判断系统的稳定性据主要用于判断系统的稳定性据主要用于判断系统的稳定性n nRouth Routh 判判判判据不能表明系统特征根
20、在据不能表明系统特征根在据不能表明系统特征根在据不能表明系统特征根在s s平面上相对于虚平面上相对于虚平面上相对于虚平面上相对于虚轴的距离轴的距离轴的距离轴的距离 系统不稳定，判据不能直接指出使系统稳定的方法；系统稳定，系统不稳定，判据不能直接指出使系统稳定的方法；系统稳定，判据也不能保证系统具备满意的动态性能。判据也不能保证系统具备满意的动态性能。n nRouth Routh 判据可应用于判定给定稳定度下的系统稳定性判据可应用于判定给定稳定度下的系统稳定性判据可应用于判定给定稳定度下的系统稳定性判据可应用于判定给定稳定度下的系统稳定性 为了使稳定的系统具有良好的动态响应，常希望在为了使稳定的
21、系统具有良好的动态响应，常希望在s左半平面上左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。因此可在系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。因此可在s左半平左半平面上作面上作s=-a的垂线，用新变量的垂线，用新变量s1=s+a代入原系统方程，得到以代入原系统方程，得到以s1为变量的新特征方程，应用为变量的新特征方程，应用Routh判据，可以判定系统的特征判据，可以判定系统的特征根是否全部位于根是否全部位于s=-a垂线之左垂线之左n nRouth Routh 判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳判据可确定系统一
22、个或两个可调参数对系统稳定性的影响，即确定一个或两个使系统稳定或使系统定性的影响，即确定一个或两个使系统稳定或使系统定性的影响，即确定一个或两个使系统稳定或使系统定性的影响，即确定一个或两个使系统稳定或使系统特征根全部位于特征根全部位于特征根全部位于特征根全部位于s=-as=-a垂线之左的参数取值范围垂线之左的参数取值范围垂线之左的参数取值范围垂线之左的参数取值范围5. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 判据的应用判据的应用175. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 判据的应用判据的应用例12例题胡p117185. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 判据的应用判据的应用例题胡p117195. Routh Hurwitz Routh Hurwitz 判据的应用判据的应用例题例题 13（ 314）例题胡p13520
