动量矩定理实用教案

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1、第1页/共58页第一页，共59页。第2页/共58页第二页，共59页。第3页/共58页第三页，共59页。第4页/共58页第四页，共59页。第5页/共58页第五页，共59页。第6页/共58页第六页，共59页。第7页/共58页第七页，共59页。第8页/共58页第八页，共59页。第9页/共58页第九页，共59页。第十二章 动量矩定理(dngl)12-1. 质点(zhdin)的动量矩定理mF mvyoxzr 动量定理(dn lin dn l)建立了作用力与动量变化之间的关系，它是描述质点系随同质心的运动情况，而不能描述质点系相对于质心的运动情况。一、质点的动量矩第10页/共58页第十页，共59页。二、质

2、点(zhdin)的动量矩定理mF mvyoxzr 将质点的动量矩对时间(shjin)取一次导数有：第11页/共58页第十一页，共59页。投影(tuyng)式为:第12页/共58页第十二页，共59页。例：质量为 m的质点在平面oxy内运动(yndng)，其运动(yndng)方程为：，其中(qzhng)a,b,p皆为常量，求：该质点(zhdin)对坐标原点o的动量矩。解： 因质点在oxy平面内运动，故该质点对坐标原点的动量矩就等于对oz轴的动量矩。第13页/共58页第十三页，共59页。 如果(rgu)作用于质点上的力对于某定点o的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变，即：11-2. 质点(zh

3、din)的动量矩守恒定律 如果作用(zuyng)于质点上的力对于某定轴的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即：第14页/共58页第十四页，共59页。11-3. 质点系的动量矩定理(dngl)1、质点系的动量矩 质点系对某点o的动量矩等于各质点对同一点(y din)o的动量矩的矢量和，即：质点(zhdin)系对某轴z的动量矩等于各质点(zhdin)对同一z轴的动量矩的代数和，即：第15页/共58页第十五页，共59页。2、绕定轴转动刚体(gngt)对转轴z的动量矩ri mi mivi z质点(zhdin)mi对z轴的动量矩为:整个(zhngg)刚体对z轴的动量矩为:即，转动刚体对转轴的动量

4、矩为:其中， 为刚体对转轴的转动惯量，为一常数.第16页/共58页第十六页，共59页。yoxz3、质点系的动量矩定理(dngl)mimivi 对于第i个质点应用(yngyng)质点的动量矩定理，有:0即为质点系的动量矩定理(dngl)ri第17页/共58页第十七页，共59页。 若在运动过程中，作用(zuyng)在质点系上的合力对某固定轴的矩恒为0，则该质点系对该轴的动量矩守恒。质点系动量矩定理(dngl)的投影式为：第18页/共58页第十八页，共59页。m1 m2 OR解：研究系统(xtng)，分析受力：m1gm2gYOXOv1v2分析(fnx)运动：例1：半径为R的滑轮上绕一不可伸长的绳子，

5、绳子两端分别(fnbi)挂有质量为m1和m2的两重物，设m1m2 ，求m1运动的加速度。滑轮及绳子的质量不计。例2：第19页/共58页第十九页，共59页。由动量矩定理(dngl)可知：1、质点系的内力不能改变(gibin)质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。2、当外力对于某定点(dn din)或定轴的主矩（或力矩的代数和）等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，称动量矩守恒。第20页/共58页第二十页，共59页。1.转动惯量 定义:将刚体体内各个质点的质量(zhling)与该质点到某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚体对该轴的转动惯量. 用J表示,

6、即式中 分别为第 个质点的质量和到该轴的距离J=11-4. 转动惯量、平移(pn y)轴定理第21页/共58页第二十一页，共59页。说明(shumng)若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积分形式表示(biosh): 式中 为质量为 的微元到该轴的距离 M 表示(biosh)积分范围遍及刚体全部质量. 刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关的而仅与其质量(zhling)分布有关的特征量第22页/共58页第二十二页，共59页。 M: 刚体(gngt)的总质量 :刚体(gngt)对z轴的回转半径或惯量半径如刚体(gngt)对z轴的转动惯量表示为 它可视为将刚体的全部质量都集中(jzhng)于距z轴距

7、离为 的某一点对z轴的转动惯量.第23页/共58页第二十三页，共59页。 例： 一直(yzh)均质的细长杆的质量为M ，长为L，求杆对通过其质心，且垂直与杆的z轴的转动惯量和回转半径。 x yCx(1)建立坐标(zubio)系，如图所示，沿杆向取微段 ，其坐标(zubio)为（x,0,0），其质量为 解：=第24页/共58页第二十四页，共59页。(2)上述质量微元离z轴的距离为 ， 杆对z 轴转动惯量为：(3) 杆对z轴的回转半径为第25页/共58页第二十五页，共59页。例：已知厚度(hud)相等的均质薄圆盘的半径为R，质量为M，求圆盘对过其中心，且垂直于圆盘平面的z轴的转动惯量和回转半径 x

8、 yCr解： 1取半径为r,宽度(kund)为的圆环，其质量是:第26页/共58页第二十六页，共59页。3圆盘(yun pn)对z轴的回转半径为2上述圆环的各质点到z轴的距离(jl)都为r,于是圆盘对z轴的转动惯量为:第27页/共58页第二十七页，共59页。说明(shumng) 由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理，可以快捷(kui ji)的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯量。有空心刚体=无空心整体-空心部分 (转动惯量） 刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离(jl)平方的乘积 记为2.转动惯量的平行轴定理第28页/共

9、58页第二十八页，共59页。 刚体对任意(rny)轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。可见(kjin)，刚体对质心轴的转动惯量最小。第29页/共58页第二十九页，共59页。例：均质圆轮质量(zhling)为m，半径为R，求对质心轴C的转动惯量。CRdrdr解：取单位(dnwi)厚度的圆轮研究，取一面积微元dm对轮缘(ln yun)上任一点，有：第30页/共58页第三十页，共59页。解：取一微元dx对杆端，有：例：均质杆质量(zhling)为m，长为l，求对质心轴C的转动惯量。CdxxOxz第31页/共58页第三十一页，共59页。11

10、-5. 刚体(gngt)定轴转动的微分方程将质点系的动量矩定理(dngl)应用于刚体(gngt)定轴转动的情形，有：及定轴转动的动量矩即为刚体定轴转动的微分方程。第32页/共58页第三十二页，共59页。 刚体(gngt)对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体(gngt)上的主动力对该轴的矩的代数和。由上可知：1、如果作用于刚体上的主动力对转轴的力矩的代数和不等于零，则刚体的转动状态一定发生改变；2、如果作用于刚体上的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动，如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量(hngling)，则刚体作匀速转动。3、在一定的时间间隔内，当主动力对转轴的矩一定时

11、，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小，转动惯量越小，转动状态变化大。第33页/共58页第三十三页，共59页。 刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态(zhungti)的难易程度，因此说，转动惯量是刚体转动时惯性的度量。刚体转动微分方程(wi fn fn chn)可以解决两类问题：1、已知刚体的转动规律，求作用于刚体上的主动力；2、已知作用于刚体上的主动力，求刚体的转动规律。第34页/共58页第三十四页，共59页。例：半径为R、质量为m的均质圆轮绕质心轴z以匀角速0转动。今欲制动(zh dn)，闸瓦压力Q、摩擦系数f，求制动(zh dn)所需时间。Q0O解：研究轮子(ln zi)，分析受力：Fm

12、gYOXO列出动力学方程(fngchng)：问：制动过程中，轮子转过了多少圈？第35页/共58页第三十五页，共59页。11-6. 质点系相对(xingdu)于质心的动量矩定理 上式即为质点系相对于质心C的动量矩定理(dngl)，其形式与对固定点的动量矩定理(dngl)完全相同。（证明从略）质点系对任一点O的动量矩等于集中于系统质心的动量 对于点O的动量矩再加上此系统对于质心C的动量矩Lc(为矢量和）第36页/共58页第三十六页，共59页。11-7. 刚体平面(pngmin)运动的微分方程 刚体(gngt)的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的转动。 若以质点系的质心C为基点，则随质心

13、C的平动用质心运动定理、绕质心C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得刚体(gngt)平面运动的微分方程：第37页/共58页第三十七页，共59页。其投影(tuyng)式为：或：第38页/共58页第三十八页，共59页。 实际上，动量矩定理除了对固定点O、固定轴z、质心C可以取矩外，还可以对瞬心P取矩，但是要求瞬心P到质心C的距离保持为常量(chngling)，其公式的形式不变。O： 固定点z： 固定(gdng)轴C： 质心(zh xn)P： 瞬心，要求PC=常量在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中，此式显得特别方便。第39页/共58页第三十九页，共59页。例：如图所示，两均质圆轮半径分别为rA和rB ，重

14、为PA和PB ，鼓轮B上作用主动(zhdng)力偶矩M，A轮与斜面间无相对滑动，求B轮从静止开始转过角时的角速度B及支座B处的反力。BAMPAPB解：先研究(ynji)B，作受力图： YBXBT（1）B再研究(ynji)ANTFA（2）（3）xy第40页/共58页第四十页，共59页。再列补充(bchng)方程 一般为运动学关系：（4）（5）以上5个未知量均可求解(qi ji)。从中解出B为常量，则有：欲求支座反力，则需对轮B列质心(zh xn)运动定理：（6）（7）BMPBYBXBTxy第41页/共58页第四十一页，共59页。概念题. 圆轮重Q ， 受外力作用，问地面光滑和有摩擦时，圆轮质心如

15、何运动?FFF1).地面光滑时: 左图质心保持不动，因为水平方向的和外力为零; 右图质心将沿力F方向运动(yndng).2).地面有摩擦时:左图质心将向右运动(yndng)， 右图中: a.若主动力FNf，则质心不动; b.若主动力FNf，则质心向右运动(yndng).第42页/共58页第四十二页，共59页。概念题. 1、 两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为1和2，且1 2 ，问 ： 1）哪个(n ge)动量大? 分别为多少? 2）哪个(n ge)动量矩大? 分别为多少? 答：1）一样(yyng)大，均为0 2）J1J2 2、汽车为何不能在光滑的水平(shupng)路面上行使？答：系统

16、在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。第43页/共58页第四十三页，共59页。概念题.1、均质圆轮半径均为r，求在下列(xili)不同形式下的动量、对O点的动量矩。 只滚不滑CCOOO答：1）动量(dngling)： 0、 mr、 mr 2）动量(dngling)矩： Jo 、Jo、 Jo第44页/共58页第四十四页，共59页。 2、三个质点的质量同为m，同时自点A以相同的速度v0沿不同的方向抛出，问该三点落到水平面时的速度的大小(dxio)和方向是否相同？答：JZ=Pr ，两系统(xtng)的转动惯量不同，所以角加速度不同。概念题. 1、两质量同为m的均质轮，一作用一力P，一挂一重物重P，

17、问两轮的角加速度是否相同？是多少？PPPOO答：vx= v0cos ， vy= v0sin-gt，由于(yuy)v0方向不同，所以速度不同。第45页/共58页第四十五页，共59页。概念题. 1、怎样用旋转的方法(fngf)区别生蛋和煮熟的鸡蛋，为什么？答：旋转时间较长的是熟蛋，时间短的是生蛋。 因为(yn wi)，熟蛋的壳、青、黄为一整体，而生蛋的则相对分离，开始时由于惯性，壳转，青、黄不转，内阻力使其早早停止转动。 2、大队人马过桥(u qio)时，为什么不能步调一致？答：共振 3、芭蕾舞演员伸臂抬腿旋转，收回臂、腿时将会出现什么现象？为什么？答：旋转速度更快，因为对z轴动量矩守恒。 4、开

18、山定向爆破时，根据什么原理确定飞出的石块的落地位置？ 质心运动定理。 5、夯实地基的电夯是根据什么原理制成的？ 质心运动定理。第46页/共58页第四十六页，共59页。概念题. 1、水在直管中流动时对管壁有无(yu w)动压力？ 无。 2、人坐在转椅(zhuny)上，双脚离地，能否用双手将转椅(zhuny)转动？为什么？ 不能，因为(yn wi)对z轴动量矩守恒 3、骑自行车转弯时，车身要向里倾，而船只转弯时，船身却要向外倾，为什么？第47页/共58页第四十七页，共59页。练习题4：均质圆柱体半径为r，重为Q，放在粗糙的水平面上，设质心速度(sd)v0 ，具有初角速度(sd)0 ，且r0 v0

19、，圆柱与地面间的摩擦系数为fk ， 问 （1）经过多少时间，圆柱体才能只滚不滑地向前运动？ 并求该瞬时圆柱体中心的速度(sd)， （2）到达只滚不滑状态时圆柱体中心移动了多少距离？v00C解:受力如图:QNF 用平面运动(yndng)微分方程:只滚不滑时，代入后积分(jfn)上式有:只滚不滑前，xy第48页/共58页第四十八页，共59页。S = ? 同学(tng xu)们自己做.第49页/共58页第四十九页，共59页。练习题:均质圆柱体重P，半径为r，放在倾角(qngjio)为600的斜面上，一细绳缠绕其上，圆柱体与斜面间的摩擦系数为f =1/3 。求圆柱体沿斜面下落的加速度。600ACP2r

20、B解：研究(ynji)圆柱体，分析受力：TFN由刚体平面运动(yndng)的微分方程有：xyD此处，D为瞬心ac补充：第50页/共58页第五十页，共59页。 高炉运送矿石用的卷扬高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半机如图所示。已知鼓轮的半径为径为R R，质量为，质量为m1m1，轮绕，轮绕OO轴转动。小车和矿石总质量轴转动。小车和矿石总质量为为m2 m2 。作用在鼓轮上的力。作用在鼓轮上的力偶矩为偶矩为MM，鼓轮对转轴的转，鼓轮对转轴的转动贯量为动贯量为J J，轨道的倾角，轨道的倾角(qngjio)(qngjio)为为 。设绳的质量。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求和各处摩擦均忽略不计

21、，求小车的加速度小车的加速度a a。 OOMMWW1 1v vWW2 2F FN N第51页/共58页第五十一页，共59页。 取取小小车车(xioch)(xioch)与与鼓鼓轮轮组组成成质质点点系系，视视小小车车(xioch)(xioch)为为质质点点。以以顺顺时时针为正，此质点系对针为正，此质点系对OO轴的动量矩为轴的动量矩为作用(zuyng)于质点系的外力除力偶M，重力W1和W2外，尚有轴承O的反力FOx和FOy ，轨道对小车的约束力FN 。 OOMMWW1 1F FOxOxF FOyOyv vWW2 2WW2N2NWW2 2t tF FN N解：而而 W2t W2t = = P2 P2

22、sin sin =m2g =m2g sin sin ，则则系系统统(xtng)(xtng)外外力力对对OO轴轴的的矩矩为为其中W1，FOx，FOy对O轴力矩为零。将W2沿轨道及其垂直方向分解为W2t和W2N， W2N与FN相抵消。第52页/共58页第五十二页，共59页。由 质 点 系 对 O轴 的 动 量 矩 定 理(dngl)，有 因 ， ，于是(ysh)解得 若 ，则 , 小车的加速度沿斜坡(xip)向上。 OOMMWW1 1F FOxOxF FOyOyv vWW2 2WW2N2NWW2 2t tF FN N第53页/共58页第五十三页，共59页。 匀质圆柱的质量(zhling)是 m ，

23、半径是 r，从静止开始沿倾角是的固定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是 fs 。试求圆柱质心 C 的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。xyOCAFNFmga aC C第54页/共58页第五十四页，共59页。平移平移(pn(pn y) y)纯滚动纯滚动(gndn(gndng)g)连滚带滑连滚带滑第55页/共58页第五十五页，共59页。解: 圆柱在图示力作用下由静止开始(kish)作平面运动。令它的铅直对称面重合于坐标平面 Oxy ，轴 x 沿斜面向下，则有圆柱(yunzh)平面运动的三个微分方程可写成xyOCAFNFmga aC CmamaC C = = mgmgsin sin

24、 F F (a) (a)0 = 0 = F FN Nmgmgcos cos (b)(b)J JC C = = Fr Fr (c) (c)由于(yuy)圆柱只滚动而不滑动，故有运动学关系a a aCCC = = = r r r （d d d） 第56页/共58页第五十六页，共59页。 当圆柱(yunzh)只滚不滑时，滑动摩擦力必须满足 F fsFN ，代入求出的 F， 和 FN ，则得从而(cng r)求得圆柱滚动而不滑动的条件 联立求解以上四个方程(fngchng)，并考虑到 JC = mr2/2 ，得aC = 2gsin / 3 , FN = mgcos , F = mgsin / 3xyO

25、CAFNFmga aC Ctan 3 fs第57页/共58页第五十七页，共59页。感谢您的观赏(gunshng)第58页/共58页第五十八页，共59页。内容(nirng)总结第1页/共58页。对于第i个质点应用质点的动量矩定理，有:。1取半径为r,宽度为的圆环，其质量是:。例：半径为R、质量为m的均质圆轮绕质心轴z以匀角速0转动。答：系统在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。3、芭蕾舞演员伸臂抬腿旋转，收回臂、腿时将会出现什么(shn me)现象。并求该瞬时圆柱体中心的速度， （2）到达只滚不滑状态时圆柱体中心移动了多少距离。解:受力如图:。取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。感谢您的观赏第五十九页，共59页。