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1、1.1.导数的概念导数的概念前课复习前课复习前课复习前课复习2 2、函数在一区间上的导数：、函数在一区间上的导数：如果函数如果函数 f f( (x x) )在开区间在开区间 ( (a a, ,b b) ) 内每一点都可导，就说内每一点都可导，就说f f( (x x) )在开区间在开区间 ( (a,ba,b) )内可导这时，对于开区间内可导这时，对于开区间 ( (a,ba,b) )内每一个确定的值内每一个确定的值 x x0 0，都对应着，都对应着一个确定的导数一个确定的导数 f f (x(x0 0) )，这样就在开区间，这样就在开区间( (a,ba,b) )内构成了一个新的函数，内构成了一个新的
2、函数，我们把这一新函数叫做我们把这一新函数叫做 f f( (x x) ) 在开区间在开区间( (a,ba,b) )内的内的导函数导函数，简称为，简称为导数导数，记作记作即即前课复习前课复习前课复习前课复习3.3.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是: :说明说明: :在这种方法中在这种方法中把把x x换换x x0 0即为求函数即为求函数在点在点x x0 0处的导数处的导数. . 5.5.函数函数 y=f(x) y=f(x)在点在点x x0 0处的处的导数的几何意义导数的几何意义, ,就是曲线就是曲线y=f(x)y=f(x)在在点点P(xP(x0 0 ,f(x ,f(x0 0)处的切线的斜率
3、处的切线的斜率. .6.6.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1 1）求出函数在点）求出函数在点x x0 0处的变化率处的变化率 ，得到曲线在点，得到曲线在点(x(x0 0,f,f(x(x0 0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2 2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即前课复习前课复习前课复习前课复习4.4.函数函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=xx=x0 0处的处的函数值函数值, ,即即 . .这也是求函数在点这也是求函数在点x x0 0 处的导数的方处的导数的方法之一。法之一。 根据导数的定义可
4、以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. .公式公式1:1: 公式公式2:2:请注意公式中的条件是请注意公式中的条件是 , ,但根据我们所掌握的知识但根据我们所掌握的知识, ,只能只能就就 的情况加以证明的情况加以证明. .这个公式称为幂函数的导数公式这个公式称为幂函数的导数公式. .事实上事实上n n可以是任意实数可以是任意实数. . 新课教学新课教学新课教学新课教学你能否用二项展开式的性质与导数的定义对其加以证明？你能否用二项展开式的性质与导数的定义对其加以证明？新课教学新课教学新课教学新课教学公式公式2:2:公式公式3:3: 要证明这个公式要证明这个公式
5、, ,必须用到一个常用极限必须用到一个常用极限公式公式4: 4: 练习：课本练习：课本P115 P115 练习练习1,21,2练习练习: :曲线曲线y=sinxy=sinx在点在点P( )P( )处的切线的倾斜角为处的切线的倾斜角为_._.新课教学新课教学新课教学新课教学例例1:1:求过曲线求过曲线y=cosxy=cosx上点上点P( )P( )且与过这点的切线垂直的且与过这点的切线垂直的直线方程直线方程. .注注: :满足条件的直线称满足条件的直线称为曲线在为曲线在P P点的点的法线法线. .例例2:2:已知直线已知直线m m与曲线与曲线 在点在点P(1,1)P(1,1)处的切线平行且距离等
6、于处的切线平行且距离等于 , ,求直线求直线m m的方程的方程. .设直线设直线m m的方程为的方程为3x+y+b=0,3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得由平行线间的距离公式得: :故所求的直线故所求的直线m m的方程为的方程为3x+y+6=03x+y+6=0或或3x+y-14=0.3x+y-14=0.例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解例例3:3:求双曲线求双曲线 与抛物线与抛物线 交点处切线的夹角交点处切线的夹角. .例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解例例4:4:已知两条曲线已知两条曲线y=sinx,y=cosx,y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条曲线问是否存在这两条曲线的一个公
7、共点的一个公共点, ,使在这一点处使在这一点处, ,两条曲线的切线互相垂直两条曲线的切线互相垂直? ?并并说明理由说明理由. .解解: :设存在一个公共点设存在一个公共点P(xP(x0 0,y,y0 0) )满足题设条件满足题设条件. .由两条曲线的切线在点由两条曲线的切线在点P P互相垂直互相垂直, ,则则cosxcosx0 0(-sinx(-sinx0 0)=-1,)=-1,得得sinxsinx0 0cosxcosx0 0=1,=1,即即sin2xsin2x0 0=2.=2.这不可能这不可能, ,所以不存在满足题设条件的一个点所以不存在满足题设条件的一个点. .例题讲解例题讲解例题讲解例题
8、讲解1.1.要切实掌握四种常见函数的导数公式要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c:(1) (c为常为常 数数;(2) ;(3) ;(2) ;(3) ; (4) (4)2.2.对于简单函数的求导对于简单函数的求导, ,关键是合理转化函数关系式为可以关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式直接应用公式的基本函数的模式. .3.3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综合性问题能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综合性问题. .课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结附录：附录：基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式: :例例: :求过点求过点P(3,5)P(3,5
9、)且与曲线且与曲线y=xy=x2 2相切的直线方程相切的直线方程. .说明说明: :曲线上求在点曲线上求在点P P处的切线与求过点处的切线与求过点P P的切线有区别的切线有区别. .在点在点P P处的切线处的切线, ,点点P P必为切点必为切点, ,求过点求过点P P的切线的切线, ,点点P P未必是切点未必是切点. .应注应注意概念的区别意概念的区别, ,其求法也有所不同其求法也有所不同. .解解: :设所求切线的切点在设所求切线的切点在A(xA(x0 0,y,y0 0).).因为因为A A是曲线是曲线y=xy=x2 2上的一点上的一点, ,所以所以,y,y0 0=x=x0 02 2 .又因
10、为函数又因为函数y=xy=x2 2的导数为的导数为 所以过点所以过点A(xA(x0 0,y,y0 0) )的的切线的斜率为切线的斜率为由于所求切线过由于所求切线过P(3,5)P(3,5)和和A(xA(x0 0,y,y0 0) )两点两点, ,故其斜率又故其斜率又应为应为 . .联立联立,解得解得: :补充习题补充习题补充习题补充习题故切点分别为故切点分别为(1,1)(1,1)或或(5,25).(5,25).当切点为当切点为(1,1)(1,1)时时, ,切线的斜率为切线的斜率为k k1 1=2x=2x0 0=2;=2;当切点为当切点为(5,25)(5,25)时时, ,切线的斜率为切线的斜率为k
11、k2 2=2x=2x0 0=10;=10;所以所求的切线有两条所以所求的切线有两条, ,方程分别为方程分别为:y-1=2(x-1):y-1=2(x-1)或或y-25=10(x-5),y-25=10(x-5),即即y=2x-1y=2x-1或或y=10x-25.y=10x-25.练习练习: :若直线若直线y=3x+1y=3x+1是曲线是曲线y=axy=ax3 3的切线的切线, ,试求试求a a的值的值. . 解解: :设直线设直线y=3x+1y=3x+1与曲线与曲线y=axy=ax3 3相切于点相切于点P(xP(x0 0,y,y0 0),),则有则有:y:y0 0=3x=3x0 0+1,y+1,y0 0=ax=ax0 03 3,3ax,3ax0 02 2=3.=3.由由,得得3x3x0 0+1=ax+1=ax0 03 3, ,由由得得axax0 02 2=1,=1,代入上式可得代入上式可得:3x:3x0 0+1=x+1=x0 0,x,x0 0=-1/2.=-1/2.所以所以a a(-1/2)(-1/2)3 3=1,a=4.=1,a=4.补充习题补充习题补充习题补充习题
