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1、第十六章第十六章多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续2二元函数的极限一二元函数极限2021/6/41回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),当 x 不论是从 x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.表示如图xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0xxx x0就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .2021/6/42设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图Dz = f (x, y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接
2、近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.MX0Ayzxof (X)2021/6/43类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X) A | 0, 0, 当对应的函数值满足| f (P) A | 0， P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0, )。 在在U(P0, )内，函数内，函数的图形总在平面的图形总在平面及及之间。之间。2021/6/47例1用“”定义验证极限证明因为 2021/6/48先限制在点（2，1）的的方邻域内讨论，则有 所以 2021/6/49于是 ，取，则当时，就有 由二元函数极限定义知 2021/6/410例例 求证求证 证证当当 时，时，原
3、结论成立原结论成立2021/6/411例2设证明 证明： 对函数的自变量作极坐标变换 这时等价于对任何都有.由于2021/6/412因此，只须取，当时，不管取什么值都有所以2021/6/413定理16.5的充要条件是：对于的任一子集,只要是的聚点，就有推论1设是的聚点.若不存在，则也不存在2021/6/414推论2 设是它们的聚点，但,则不存在若存在极限2021/6/415推论3极限存在的充要条件是：对于中任一满足条件且的点列，它所对应的函数列都收敛.上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数的海涅归结原则2021/6/416注意注意： 是指是指 P 以任何以任何方式趋于方式趋于P0
4、.一一元元中中多多元元中中2021/6/417确定极限确定极限不存在不存在的的方法方法：(1)(1) 令令),(yxP沿沿)(00xxkyy- -+ += =趋向于趋向于),(000yxP， 若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； (2)(2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 两者不相等，此时也可断言两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP 处极限不存在处极限不存在 2021/6/418例例3. 设f (x, y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证证
5、: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.2021/6/419考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值xoy2021/6/420从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.当k 不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.2021/6/421沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 0沿 y 轴, x = 0. 函数极限= 0但不能由此断定该二重极限为02021/6/
6、422例4 二元函数请看p95图16-7，沿任何直线趋于原点时都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限沿抛物线的值趋于而不趋于零，尽管当就是零，因为当趋于原点时所以该极限不存在.2021/6/423非正常极限极限的定义设二元函数为定义在上的二元函数，为的一个聚点，如果使得当时，都有则称在上当时，存在非正常极限记作点或2021/6/424仿此可类似地定义与例5设函数证明证明：因为，只要取，当时，都有2021/6/425由此推得即 所以 2021/6/426二元函数极限的性质性质（四则运算）与一性质（四则运算）与一元函数运算相同除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要
7、复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。2021/6/427例例 求求解解二元函数的极限运算举例二元函数的极限运算举例2021/6/428例例 求极限求极限 解解其中其中2021/6/429二二.累次极限累次极限中的两个自变量以任何方式趋于时的极限，我们称它为二重极限.与依一定次序趋于与时的极限，称为累次极限.对于两个自变量对于二元函数在与依一定次序趋于与时的累次极限有两个和2021/6/430例6 设, , 求在点解 当时，有 从而有 同理可得 的两个累次极限.2021/6/4311.两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序.例7函数
8、关于原点的两个累次极限分别是与.2021/6/4322.两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例如设两个累次极限都存在且相等.但二重极限却不存在.2021/6/4333.二重极限存在也不能保证累次极限存在，即二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例8函数由于，故由定义知二重极限存在,且但对任何，当时的第二项不存在极限2021/6/434同理对任何，当时的第一项不存在极限，从而两个累次极限都不存在.2021/6/435定理16.6若二重极限限极限和累次极限(或另一次序)都存在,则它们必相等.推论1若二重极限和累次极限都存在,则必相等.二重极限与累次极限的关系二重极限与累次极限的关系2021/6/436推论2 若累次极限与都存在，但它们不相等，则必不存在.二重极限2021/6/437小结作业：作业：P 99 1, 2，3, 4 , 5.二.二元函数极限的性质三三.累次极限累次极限一.二元函数极限2021/6/438部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
