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1、特殊角的三角函数值弧度角度1.2.2 同角三角函数的 基本关系一、创设情境：一、创设情境： 问题问题2. 如图如图1，三角函数线是：，三角函数线是：正弦线正弦线；余弦线余弦线；正切线正切线.；问题问题3. 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题问题1. 如图如图1，设，设 是一个任意角，是一个任意角， 它的它的终边终边 与单位圆交于与单位圆交于 ，那么，那么Oxy图1三角函数值的符号三角函数值的符号口口诀诀：一全二正弦
2、一全二正弦 三切四余弦三切四余弦 二、探究新知：二、探究新知：问题问题 当角当角 的终边在坐标轴上时的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？关系式是否还成立？对于任意角对于任意角 都有都有结论：结论：平方关系平方关系问题问题 当角当角 的终边不在坐标轴时，正弦、的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的关系是什么？（余弦之间的关系是什么？（如图如图2 ）1、探究同角正弦、余弦之间的关系、探究同角正弦、余弦之间的关系Oxy图2 当角当角 的终边在的终边在 坐标轴上时坐标轴上时,当角当角 的终边在的终边在 坐标轴上时坐标轴上时, 角角 的的正弦线正弦线 ，余弦线，余弦线 ,半经半经 三者的长构成直角三角形
3、，而且三者的长构成直角三角形，而且 ，由，由勾股定理得勾股定理得 因此因此 ，即，即 质疑： 能写成 吗？ “同角”是什么含义？（不能）（一是“角相等”，二是对“任意一个角”）2.观察任意角观察任意角 的三角函数的定义的三角函数的定义商的关系商的关系注：注：商的关系不是对任意角都成立商的关系不是对任意角都成立 ,是在等式两边都有意是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立义的情况下，等式才成立思考：思考：问题：问题： 你们能否结合正切线，利用相似三角形的性质对关系式 作出解释 同一角同一角 的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角商等于角 的正切的正切结论：结论：课本课本例题
4、例题6 解：解：当 是第三象限角时， 当 是第四象限角时，三、例题互动三、例题互动自我诊断：自我诊断：如何应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值及恒等证明等问题分类讨论分类讨论 3、已知 ，求下列式子的值。 2、化简 。讨论交流：讨论交流：移项变形：移项变形：常用于正弦、余弦函数常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解。的相互转化，相互求解。注：注：在开方时，由角在开方时，由角 所在的象限来确定开方后的符号。所在的象限来确定开方后的符号。即即变形：变形：由正弦正切，求余弦由正弦正切，求余弦由余弦正切，求正弦由余弦正切，求正弦由正弦余弦，求正切由正弦余弦，求正切注：注：所得三角函数值的符号
5、是由另外两个三角所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的。函数值的符号确定的。由正切由正切,求余弦求余弦证明：证明：因此因此作作差差法法课本例题课本例题7发散思维 提问：本题还有其他证明方法吗？证法二：证法二： 因为因为因此因此由原题知：由原题知：恒等恒等变形变形的条的条件件证法三：证法三： 由原题知：由原题知：则则原式左边原式左边=右边右边因此因此恒等恒等变形变形的条的条件件1、三角函数恒等式证明的一般方法、三角函数恒等式证明的一般方法（2）证明原等式的等价关系）证明原等式的等价关系注：注：要注意两边都有意义的条件下才恒等要注意两边都有意义的条件下才恒等（1）从一边开始证明它等
6、于另一边）从一边开始证明它等于另一边（3）利用作差法）利用作差法由复杂的一端向由复杂的一端向由复杂的一端向由复杂的一端向简单的一端化简简单的一端化简简单的一端化简简单的一端化简2. 2.技巧技巧技巧技巧讨论交流：讨论交流：练习巩固练习巩固课本课本20页页四、归纳总结：四、归纳总结：（2）三角函数值的计算与证明）三角函数值的计算与证明 利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进行分类讨论。即将角所在象限进行分类讨论。 证明时常用方法：证明时常用方法： 方法方法1：从一边开始证明它等于另一边或证明左、右两边等于同一式子；从一边开始证明它等于另一边或证明左、右两边等于同一式子； 方法方法2：证明原等式的等价关系，：证明原等式的等价关系， 方法方法3：利用作差法利用作差法； ；在化简证明过程中在化简证明过程中要注意两边都有意义的条件下才恒等。要注意两边都有意义的条件下才恒等。（1）同角三角函数的基本关系式）同角三角函数的基本关系式（前提是（前提是“同角同角”， 因此因此 ） 本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法？本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法？（应用极为广泛；巧用“1” ， ）
