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1、 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛小结小结 思考题思考题 作业作业constant term infinite series11.2 常数项级数常数项级数的审敛法的审敛法 第第1111章章 无穷级数无穷级数1 11.2 常数项级数的审敛法常数项级
2、数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目1. 定义定义正项级数正项级数2. 收敛的充要条件收敛的充要条件单调增加数列单调增加数列这时这时, 只可能有两种情形只可能有两种情形:positive term series一、一、正项级数正项级数及其审敛法及其审敛法定义定义11.211.2(2) 若若sn有上界有上界,2 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开
3、始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目定理定理11.7(11.7(基本定理基本定理) )注注正项级数可以任意加括号正项级数可以任意加括号, 对收敛的正项级数对收敛的正项级数, 正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列sn有界有界. 其其敛散性不变敛散性不变,其和也不变其和也不变.3 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经
4、展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 例例 判定判定 的敛散性的敛散性.解解由由定理定理11.711.7知知,故级数的部分和故级数的部分和可与另可与另一个一个已知已知敛散性的敛散性的正项正项级数级数比较来确定比较来确定.该正项该正项级数收级数收敛敛.这个例启示我们这个例启示我们:判定一个判定一个正项正项级数级数的的敛散性敛散性,由于由于正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列有界有界.4 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药
5、，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目3. 比较审敛法比较审敛法证证定理定理11.811.8即部分和数列有界即部分和数列有界.则则收收敛敛收收敛敛发散发散发散发散收收敛敛.所以所以因为因为5 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫
6、精准扶贫”项目项目不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 发散发散发散发散发散发散证证所以所以6 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解 (1)(2)调和级数调和级数发散发散用用比较审敛法比较审敛法发散发散. .例例 讨论讨论 的收敛性的收敛性. 前前n项的和项的和前前n项的和项的和7 1
7、1.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目收敛收敛. .正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列sn有界有界即即sn有界有界,8 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家
8、对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 或或(2)将将p-级数加括号如下级数加括号如下:248它的各项它的各项均不大于均不大于下述下述正项正项级数的对应项级数的对应项9 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 这是收敛的等比级数这是收敛的等比级数,故由比较判别法知故由比较判别法知 p 1时时, p-级数级数公比公比收敛收敛.10 11.2
9、 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目(1) 几何级数几何级数使用使用正项正项级数的比较判定法时级数的比较判定法时,常用的比较级数常用的比较级数一些级数的敛散性一些级数的敛散性, 作为比较的标准作为比较的标准.需要知道需要知道(2) p-级数级数(3) 调和级数调和级数发散发散11 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始
10、对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性.解解 而等比级数而等比级数所以所以, 原级数收敛原级数收敛.由由比较审敛法比较审敛法收敛收敛. (1) 12 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，
11、已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解 因为因为而而是发散的是发散的p-级数级数.所以所以, 原级数原级数 发散发散.由由比较审敛法比较审敛法13 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解 因为因为所以所以, 原级数原级数收敛收敛. p - 级数级数, 收敛收敛.由由比较审敛法比较审敛法14 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户
12、贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目4. 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定理定理11.911.9(1) 如果如果且级数且级数则级数则级数(2) 如果如果且级数且级数则级数则级数15 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫
13、工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目证证由比较审敛法知由比较审敛法知,则则(1) 如果如果且级数且级数16 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目证证(2) 如果如果且级数且级数则级数则级数(2) 可知可知反证法反证法由由(1)可推出级数可推出级数与已知矛盾与已知矛盾,17 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根
14、本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目注注由比较审敛法可推出如下快速的审敛法由比较审敛法可推出如下快速的审敛法当分母当分母, 分子关于分子关于n的最高次数分别为的最高次数分别为 p和和q,级数级数收敛收敛;级数级数发散发散.如如,收敛收敛.级数级数18 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原
15、因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解级数级数收敛收敛.级数级数发散发散.例例 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式,因为因为19 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解而级数而级数收敛收敛故级数故级数收敛收敛.20 11.2 常数项级数的审
16、敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解而级数而级数收敛收敛,21 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 研究生考题数学一研究生考题数学一,
17、 选择选择4分分为正项级数为正项级数. 下列结论中正确的是下列结论中正确的是(A)(B)(C)(D)则级数则级数收敛收敛.若存在非零常数若存在非零常数使得使得则级数则级数若级数若级数收敛收敛, 则则若级数若级数发散发散,则存在非零常数则存在非零常数使得使得发散发散.22 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目即即所以所以,发散发散.23 11.2 常数项级数
18、的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目证证定理定理11.1011.10达朗贝尔达朗贝尔,17171783, 法国数学家、力学家、哲学家法国数学家、力学家、哲学家(1)5. .比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 判定法判定法) ) 收敛收敛,发散发散,方法方法失效失效,24 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后
19、药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目也收敛也收敛.由由(1)式的式的左边相加左边相加,的各项小于的各项小于右边相加收敛的等比级数右边相加收敛的等比级数的对应项的对应项, 所以所以由级数的基本性质由级数的基本性质,得得(1)右边右边,25 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国
20、家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目发散发散; 由由(1)式的式的如如: :比值审敛法失效比值审敛法失效.(1)左边左边,类似可证类似可证.26 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数. . 例例 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性由级数本身就能断定敛散性由级数本
21、身就能断定敛散性.27 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目比值审敛法失效比值审敛法失效, 解解改用比较极限审敛法改用比较极限审敛法因为因为28 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近
22、年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目敛散性敛散性.解解故当故当级数级数发散发散.级数级数收敛收敛;29 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例 证明级数证明级数并估计以级数的部分和并估计以级数的部分和sn近似代替和近似代替和s所所解解以级数的部分和以级数的部分和sn近似代替和近似代替和s是收敛的是收敛的,产生的误差产生的误差
23、.所产生的误差为所产生的误差为:因为因为故级数收敛故级数收敛.30 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目31 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开
24、了“精准扶贫精准扶贫”项目项目2. 若用比值判别法判定级数发散若用比值判别法判定级数发散注注3. 一旦出现一旦出现 要用其它方法判定要用其它方法判定.级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零. 后面将用到这一点后面将用到这一点.或或4. 条件是充分的条件是充分的,1. 适用于适用于un中中的若干连乘积的若干连乘积但非必要但非必要.收敛收敛(或商或商)形式形式.不存在时不存在时,32 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年
25、来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目收敛收敛不存在不存在.收敛收敛因为因为所以所以所以所以33 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.解解 因为因为所以所以又因为又因为所以所以,收敛收敛, 再由再由比较判别法比较判别法知知,原级数也收敛原级数也收敛.34 11.2 常数项级数的审敛法常数项
26、级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例 利用级数收敛性利用级数收敛性, 证明证明证证 考查级数考查级数由于由于故级数故级数 收敛收敛.由由级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件知知,所以所以35 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，
27、然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例 证明证明:级数级数 发散发散.证证因因故故从而从而由级数收敛的必要条件由级数收敛的必要条件, 知级数知级数 发散发散.36 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目这里用比值法判断级数的收敛性时这里用比值法判断级数的收敛性时,虽然如此虽然如此, 也还能利用比值也还能利用比值
28、,求出比值的极限为求出比值的极限为1,比值审敛法失效比值审敛法失效.从而得到一般项不收敛于零从而得到一般项不收敛于零.因为因为恒大于恒大于1,37 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目所以所以级数收敛级数收敛.定理定理11.1111.11柯西柯西(Cauchy) (法法)17891857适用于适用于:以以n为指数幂的因子为指数幂的因子6. 根值审敛法根值审
29、敛法 (柯西判别法柯西判别法)收敛收敛,发散发散,方法方法失效失效,因为因为38 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目判定判定 的敛散性的敛散性.解解根值审敛法根值审敛法其中其中所以所以, 级数发散级数发散.注注例例39 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视
30、，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.解解 因为因为所以所以, 当当a 0时时,级数级数收敛收敛;当当a 1时非负时非负若设若设由于反由于反常积分常积分即反即反常积分发散常积分发散,故可断定级数故可断定级数发散发散, 且连续且连续. 由于由于 从而级数从而级数也发散也发散. 所以在所以在 函数函数 f (x)单调减少单调减少.柯西积分判别法柯西积分判别法47 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然
31、后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为莱布尼茨莱布尼茨 (Leibniz) (德德) 16461716定义定义11.311.3alternate series交错级数交错级数. .定理定理11.1311.13( (莱布尼茨定理莱布尼茨定理) )二、二、交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :其余项其余项rn的绝对值的绝对值则则级数收敛级数收敛,48 11.2 常数项级
32、数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目证证由条件由条件(1): 分析分析又又数列数列s2n是单调增加的是单调增加的.数列数列s2n是有界的是有界的.所以所以49 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来
33、国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.也是一个交错级数也是一个交错级数.由条件由条件(2):所以所以, 级数收敛于和级数收敛于和s,所以所以所以所以50 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目注注比较比较un与与un+1大小的方法有三种大小的方法有三种: (1) 比值法比值法?(
34、3) 由由un找出一个连续可导函数找出一个连续可导函数 f (x),考察考察? (2) 差值法差值法用莱布尼茨定理判别交错级数用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时是否收敛时, 要考察要考察un与与un+1大小大小,51 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解所以所以, 原级数原级数收敛收敛.此级数为此级数为例例 判别级数判别级数的收敛性的收敛性.交错级数
35、交错级数.因为因为所以所以52 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目注注不满足也不满足也条件条件(2) 条件条件(1) 莱布尼茨定理条件中莱布尼茨定理条件中就是说就是说, 只是只是充分充分条件条件.是是收敛的必要条件收敛的必要条件.不是必要条件不是必要条件.仍有可能是收敛的仍有可能是收敛的.莱布尼茨定理莱布尼茨定理则级数则级数收敛收敛.如果交错级数满足条件
36、如果交错级数满足条件:如如不满足莱布尼茨定理的条件不满足莱布尼茨定理的条件:但级数但级数收敛收敛.某些交错级数即使条件某些交错级数即使条件(1)53 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目任意项级数任意项级数任意项级数任意项级数正项级数正项级数思想是思想是:un可正可正, 可负可负, 可可0.绝对收敛绝对收敛. .条件收敛条件收敛. .三、绝对收敛与条件收敛
37、三、绝对收敛与条件收敛54 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目证证 绝对收敛绝对收敛与与收敛收敛设设级数级数正正定理定理11.1411.14收敛收敛.绝对收敛绝对收敛. .显然显然,有以下重要关系有以下重要关系:必定收敛必定收敛. 比较审敛法比较审敛法55 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后
38、药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解故原级数故原级数例例 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.任意项级数任意项级数收敛收敛绝对收敛绝对收敛.因为因为56 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例解解 (1)所以原
39、级数所以原级数收敛收敛.绝对收敛绝对收敛.是是条件收敛条件收敛还是还是绝对收敛绝对收敛.是等比级数是等比级数,判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性, 对收敛级数要指明对收敛级数要指明57 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解因为因为又又(2)由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知,从而级数从而级数(2)由于使用的是由于使用的是比值判别法比
40、值判别法而判定的级数而判定的级数(2)因此因此级数级数发散发散,不绝对收敛不绝对收敛.不绝对收敛不绝对收敛,发散发散.级数级数(2)是是断定断定正项级数正项级数58 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目通常先考查它通常先考查它若使用比值法或若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不这时级数的通项不对交错级数对交错级数,
41、利用无穷级数的性质将级数拆开利用无穷级数的性质将级数拆开如不是绝如不是绝对收敛的对收敛的,便可断言级数发散便可断言级数发散.可用可用莱布尼茨定理莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段然后讨论敛散性也是常用手段.为两个级数为两个级数,(用正项级数的审敛法用正项级数的审敛法),讨论讨论任意项级数任意项级数的收敛性时的收敛性时,是否绝对收敛是否绝对收敛趋于零趋于零),再看它是否条件收敛再看它是否条件收敛.59 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症
42、下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同绝对收敛级数不因改变项的位置绝对收敛级数不因改变项的位置 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质的性质的性质. .定理定理11.1511.15而改变其和而改变其和 ( (即绝对收敛级数具有可交换性即绝对收敛级数具有可交换性). ). 定理定理11.1611.16 ( 绝对收敛级数的乘法绝对收敛级数的乘法 )其和分别为其和分别为 则对所有乘积则对所有乘积ui vj (i , j =1,2,)按按任意顺序任意顺序排排列得到的级数列得到的级
43、数设级数设级数都绝对收敛都绝对收敛, ,也绝对收敛也绝对收敛,其和为其和为s.条件收敛级数不具有这两条性质条件收敛级数不具有这两条性质. . 注注证证(略略).证证(略略).60 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例解解由于由于收敛收敛.正项级数正项级数61 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，
44、然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例解解绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛(B) 绝对收敛绝对收敛.(A) 发散发散.(C) 条件收敛条件收敛.(D) 收敛或发散与收敛或发散与k的取值有关的取值有关.62 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经
45、展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解解因而因而由性质由性质,发散发散.例例研究生考题研究生考题, 选择选择, 3分分(B) 发散发散.(A) 绝对收敛绝对收敛.(C) 条件收敛条件收敛.(D) 收敛性与收敛性与a的取值有关的取值有关.63 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 判别级数判别级数 是否收敛是否收敛? 如果如果收敛收敛, 是绝对收敛还是条件收敛
46、是绝对收敛还是条件收敛?解解 因为因为为为交错级数交错级数.正正64 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目根据根据比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式:知知发散发散. 即原级数即原级数不是绝对收敛不是绝对收敛.(1)65 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度
47、重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目因为因为为为交错级数交错级数.由于由于(2)所以级数所以级数且为且为条件收敛条件收敛.故级数满足莱布尼茨定理的两条件故级数满足莱布尼茨定理的两条件,收敛收敛,66 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 考研考研(
48、数学数学 一一), 选择选择4分分设有两个数列设有两个数列级数级数an, bn,(A)(B)(C)(D)C67 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 正项级数正项级数审敛法的思维程序审敛法的思维程序四、小结四、小结1.2.若若 比值、根值法比值、根值法; 若失效若失效3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式4.6. 充要条件充要条件7. 按基本性质按基
49、本性质8.?比较审敛法比较审敛法发散发散;5. 积分判别法积分判别法68 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目任意项级数任意项级数审敛法的思维程序审敛法的思维程序3. 交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)1.?发散发散2. 绝对收敛绝对收敛4. 按基本性质按基本性质5.69 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因
50、，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目思考题思考题1是非题是非题是是由比较极限审敛法知由比较极限审敛法知收敛收敛.非非如如收敛收敛,发散发散.(1)(2)70 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目思考题思考题2是非题是非题是是如如发散发散,收敛收敛.(1)(2)若任意项级数若任意项级数是否是否必定必定发散发散?是否是否必定发散必定发散?否否 由由绝对收敛绝对收敛与与收敛收敛的关系的关系.71 11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目作作 业业习题习题11.2(49611.2(496页页) )72
