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1、管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 一、无可行解一、无可行解 例例1、用单纯形表求解下列线性规划问题、用单纯形表求解下列线性规划问题解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量、剩余变量、人工变量得到：解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量、剩余变量、人工变量得到： 填入单纯形表计算得：填入单纯形表计算得：1管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况迭迭代代次次数数基变基变量量CBx1 x2 s1 s2 s3 a1b比值比值20 30 0 0 0 -M0s1s2a100-M3 10 1 0 0 01 0 0 1 0 01 1 0 0 -1 11503040150/1040/1zjcj-zj-
2、M -M 0 0 M -M20+M 30+M 0 0 -M 0-40M1x2s2a1300-M3/10 1 1/10 0 0 0 1 0 0 1 0 07/10 0 -1/10 0 -1 115302515/(3/10)30/125/(7/10)zjcj-zj9-7/10M 30 3+M/10 0 M -M11+7/10M 0 -3-M/10 0 -M 0 450-25M2x2x1a13020-M0 1 1/10 -3/10 0 01 0 0 1 0 00 0 -1/10 -7/10 -1 1 6304zjcj-zj20 30 3+M/10 11+7M/10 M -M0 0 -3-M/10 -
3、11-7M/10 -M 0780-4M2管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 从第二次迭代的检验数都小于零来看，可知第从第二次迭代的检验数都小于零来看，可知第2次迭代所得的基本可次迭代所得的基本可行解已经是最优解了，其最大的目标函数值为行解已经是最优解了，其最大的目标函数值为780-4M。我们把最优解。我们把最优解x1=30,x2=6,s1=0,s2=0,s3=0,a1=4,代入第三个约束方程得代入第三个约束方程得x1+x2-0+4=40,即有：即有：x1+x2=3640. 并不满足原来的约束条件并不满足原来的约束条件3，可知原线性规划问题无可行解，或者说，可知原线性规划问题无可行解，或
4、者说其可行解域为空集，当然更不可能有最优解了。其可行解域为空集，当然更不可能有最优解了。 像这样只要求线性规划的像这样只要求线性规划的最优解里有人工变量大于零最优解里有人工变量大于零，则此线性规划，则此线性规划无可行解无可行解。二、无界解二、无界解 在求目标函数最大值的问题中，所谓无在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件下目标函数值可以取界解是指在约束条件下目标函数值可以取任意的大。下面我们用单纯形表来求第二任意的大。下面我们用单纯形表来求第二章中的例子。章中的例子。例例2 2、用单纯形表求解下面线性、用单纯形表求解下面线性规划问题。规划问题。 3管管 理理 运运 筹筹 学学4几
5、种特殊情况 迭迭代代次次数数基基变变量量CBx1 x2 s1 s2b比值比值1 1 0 00s1s2001 -1 1 0-3 2 0 1161zjcj-zj0 0 0 0 1 1 0 001x1s2101 -1 1 0 0 -1 3 119zjcj-zj1 -1 1 00 2 -1 01填入单纯形表计算得：填入单纯形表计算得：解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量，得标准型如下：解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量，得标准型如下：4管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 从单纯形表中，从第一次迭代从单纯形表中，从第一次迭代x2的检验数等于的检验数等于2，可知所得的基本可行，可知所得的基本
6、可行解解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最优解。同时我们也知道如果进行第不是最优解。同时我们也知道如果进行第2次迭代，那次迭代，那么就选么就选x2为入基变量，但是在选择出基变量时遇到了问题：为入基变量，但是在选择出基变量时遇到了问题： =-1, =-1,找找不到大于零的比值来确定出基变量不到大于零的比值来确定出基变量。事实上如果我们碰到这种情况就可以。事实上如果我们碰到这种情况就可以断定断定这个线性规划问题是无界这个线性规划问题是无界的，也就是说在此线性规划的约束条件下，的，也就是说在此线性规划的约束条件下，此目标函数值可以取得无限大。从此目标函数值可以取得无限大。从1次迭代的单纯形
7、表中，得到约束方程：次迭代的单纯形表中，得到约束方程： 移项可得：移项可得：5管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 由于由于M可以是任意大的正数，可知此目标函数值无界。可以是任意大的正数，可知此目标函数值无界。 上述的例子告诉了我们在单纯形表中识别线性规划问题是无界的方法：上述的例子告诉了我们在单纯形表中识别线性规划问题是无界的方法：在某次迭代的单纯形表中，如果在某次迭代的单纯形表中，如果存在着一个大于零的检验数存在着一个大于零的检验数 ，并且，并且该列该列的系数向量的每个元素的系数向量的每个元素aij(i=1,2,m)都小于或等于零都小于或等于零，则此线性规划问，则此线性规划问题题是无
8、界是无界的，一般地说此类问题的出现是由于建模的错误所引起的。的，一般地说此类问题的出现是由于建模的错误所引起的。三、无穷多最优解三、无穷多最优解例例3、用单纯形法表求解下面的线性规划问题。、用单纯形法表求解下面的线性规划问题。6管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 解：此题我们用图解法已求了解，现在用单纯形表来求解。解：此题我们用图解法已求了解，现在用单纯形表来求解。填入单纯形表计算得：填入单纯形表计算得：7管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况迭迭代代次次数数基变基变量量CBx1 x2 s1 s2 s3b比值比值50 50 0 0 00s1s2s30001 1 1 0 02 1 0
9、 1 00 1 0 0 1300400250300/1400/1250/1zjcj-zj0 0 0 0 050 50 0 0 001s1s2x200501 0 1 0 -12 0 0 1 -10 1 0 0 15015025050/1150/2zjcj-zj0 50 0 0 5050 0 0 0 0125002x1s2x2500501 0 1 0 -10 0 -2 1 10 1 0 0 1505025050/1250/1zjcj-zj50 50 50 0 00 0 -50 0 0150008管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 这样我们求得了最优解为这样我们求得了最优解为x1=50,x2
10、=250,s1=0,s2=50,s3=0,此线性规划的最此线性规划的最优值为优值为15000。这个最优解是否是惟一的呢？由于在第。这个最优解是否是惟一的呢？由于在第2次迭代的检验数中次迭代的检验数中除了基变量的检验数除了基变量的检验数 等于零外，等于零外，非基变量非基变量s3的检验数也等于的检验数也等于零零，这样我们可以断定此线性规划问题有无穷多最优解。不妨我们把检验，这样我们可以断定此线性规划问题有无穷多最优解。不妨我们把检验数也为零的非基变量选为入基变量进行第数也为零的非基变量选为入基变量进行第3次迭代。可求得另一个基本可次迭代。可求得另一个基本可行解，如下表所示：行解，如下表所示：迭代迭
11、代次数次数基基变变量量CBx1 x2 s1 s2 s3b50 50 0 0 03x1s3x2500501 0 -1 1 00 0 -2 1 10 1 2 -1 010050200zjcj-zj50 50 50 0 00 0 -50 0 015000 从检验数可知此基本可行解从检验数可知此基本可行解x1=100,x2=200,s1=0,s2=0,s3=50,也是最优解也是最优解9管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 四、退化问题四、退化问题 在单纯形法计算过程中，确定出基变量时有时存在两个以上的相同的在单纯形法计算过程中，确定出基变量时有时存在两个以上的相同的最小比值，这样在下一次迭代中就
12、有了一个或几个基变量等于零，这称之最小比值，这样在下一次迭代中就有了一个或几个基变量等于零，这称之为退化。为退化。例例4.用单纯形表，求解下列线性规划问题。用单纯形表，求解下列线性规划问题。解：加上松驰变量解：加上松驰变量s1,s2,s3化为标准形式后，化为标准形式后，填入单纯形表计算得：填入单纯形表计算得：10管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况迭迭代代次次数数基基变变量量CBx1 x2 x3 s1 s2 s3b比值比值2 0 3/2 0 0 00s1s2s30001 -1 0 1 0 02 0 1 0 1 01 1 1 0 0 12432/14/23/1zjcj-zj0 0 0 0
13、0 02 0 3/2 0 0 001x1s2s32001 -1 0 1 0 0 0 2 1 -2 1 00 2 1 -1 0 12010/21/2zjcj-zj2 -2 0 0 0 00 2 3/2 -2 0 042x1x2s32001 0 1/2 0 1/2 00 1 1/2 - 1 1/2 00 0 0 1 -1 1 2012/(1/2)0/(1/2)zjcj-zj2 0 1 0 1 00 0 1/2 0 -1 0411管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 在以上的计算中可以看出在在以上的计算中可以看出在0次迭代中，由于比次迭代中，由于比值值b1/a11=b2/a21=2为最小比值，
14、导致在第为最小比值，导致在第1次迭代中次迭代中出现了退化，基变量出现了退化，基变量s2=0。又由于在第。又由于在第1次迭代出现次迭代出现了退化，基变量了退化，基变量s2=0，又导致第，又导致第2次迭代所取得的目次迭代所取得的目标函数值并没有得到改善，仍然与第标函数值并没有得到改善，仍然与第1次迭代的一样次迭代的一样都等于都等于4。像这样继续迭代而得不到目标函数的改善，。像这样继续迭代而得不到目标函数的改善，当然减低了单纯形算法的效率，但一般来说还是可当然减低了单纯形算法的效率，但一般来说还是可以得到最优解的。像本题继续计算如下：以得到最优解的。像本题继续计算如下：12管管 理理 运运 筹筹 学
15、学4几种特殊情况迭迭代代次次数数基基变变量量CBx1 x2 x3 s1 s2 s3b比值比值2 0 3/2 0 0 03x1x3s323/201 -1 0 1 0 00 2 1 - 2 1 00 0 0 1 -1 1 2012/11/1zjcj-zj2 1 3/2 -1 3/2 00 -1 0 1 -3/2 044x1x3s123/201 -1 0 0 1 -10 2 1 0 -1 20 0 0 1 -1 1 221zjcj-zj2 1 3/2 0 1/2 10 -1 0 0 -1/2 -1513管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 得到了最优解得到了最优解x x1 1=1=1，x x2
16、 2=0=0，x x3 3=2=2，s s1 1=1=1，s s2 2=0=0，s s3 3=0=0，其最优值为，其最优值为5 5。 但有时候当出现退化时，即使存在最优解，而迭代过程总是重复解的但有时候当出现退化时，即使存在最优解，而迭代过程总是重复解的某一部分迭代过程，出现了计算过程的循环，目标函数值总是不变，永远某一部分迭代过程，出现了计算过程的循环，目标函数值总是不变，永远达不到最优解。达不到最优解。 下面一个是由给出的循环的例子。下面一个是由给出的循环的例子。例例5 5 目目标标函数函数 ：min f =min f =（3/43/4）x x4 4+20x+20x5 5（1 12 2）x
17、 x6 6+6x+6x7 7. . 约约束条件：束条件：x x1 1+ +（1 14 4）x x4 48x8x5 5x x6 6+9x+9x7 7=0=0， x x2 2+ +（1 12 2）x x4 412x12x5 5（1 12 2）x x6 6+3x+3x7 7=0=0， x x3 3+x+x6 6=1=1， x x1 1，x x2 2，x x3 3，x x4 4，x x5 5，x x6 6，x x7 70.0.14管管 理理 运运 筹筹 学学4几种特殊情况 这个例题的确存在最优解，但用一般单纯形表法，经过这个例题的确存在最优解，但用一般单纯形表法，经过6 6次迭代后得到的单纯形表与第次
18、迭代后得到的单纯形表与第0 0次单纯形表一样，而目标函数次单纯形表一样，而目标函数都是零，没有任何变化，这样迭代下去，永远达不到最优解。都是零，没有任何变化，这样迭代下去，永远达不到最优解。为了避免这种现象，我们介绍勃兰特法则。为了避免这种现象，我们介绍勃兰特法则。 首先我们把松弛变量（剩余变量）、人工变量都用首先我们把松弛变量（剩余变量）、人工变量都用x xj j表表示，一般松弛变量（剩余变量）的下标号列在决策变量之后，示，一般松弛变量（剩余变量）的下标号列在决策变量之后，人工变量的下标号列在松弛变量（剩余变量）之后，在计算人工变量的下标号列在松弛变量（剩余变量）之后，在计算中，遵守以下两个
19、规则：中，遵守以下两个规则：（1 1）在所有检验数大于零的非基变量中，选一个下标最小的）在所有检验数大于零的非基变量中，选一个下标最小的作为入基变量。作为入基变量。（2 2）在存在两个和两个以上最小比值时，选一个下标最小的）在存在两个和两个以上最小比值时，选一个下标最小的基变量为出基变量。基变量为出基变量。 这样就一定能避免出现循环。这样就一定能避免出现循环。 15管管 理理 运运 筹筹 学学单纯性法小结化标准性:建立模型个 数取 值右 端 项等式或不等式极大或极小新加变量系数两个三个以上xj0xj无约束xj 0 bi 0bi 0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解。4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。17
