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1、三角形全等的条件三角形全等的条件(HL)(HL)学习目标1.探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等教学重点:理解，掌握三角形全等的条件HL2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维3.提高应用数学的意识教学难点:应用HL解决有关问题三角形全等的条件三角形全等的条件(HL)(HL)复复 习：习：1、判定两个三角形全等的条件有哪些？、判定两个三角形全等的条件有哪些？边角角边SAS2、根据以上条件，、根据以上条件，对于直角三角形，除了直角相等的条于直角三角形，除了直角相等
2、的条件外，件外，还要要满足什么条件，足什么条件，这两个直角三角形就全等？两个直角三角形就全等？ABCABC直角三角形直角三角形ABC可以表示可以表示为RtABC边边边SSS角角角角边AAS角角边角角ASA讨讨 论：论： 对于于RtABC中，中，B=B=90，还要要满足什么条件，足什么条件，ABCABC？ABCABC(1) 添加添加AB=AB，BC=BC，利用，利用“SAS可可证证明明ABCABC。(2) 添加添加AB=AB，A=A，利用，利用“ASA可可证证明明ABCABC。(3) 添加添加A=A，AC=AC ，利用，利用“AAS可可证证明明ABCABC。得出得出结论：(1)两直角两直角边对应
3、相等的两个直角三角形全等。相等的两个直角三角形全等。(2)一直角一直角边和一和一锐角角对应相等的两个直角三角形全等。相等的两个直角三角形全等。(3)斜斜边和一和一锐角角对应相等的两个直角三角形全等。相等的两个直角三角形全等。如果添加如果添加AB=AB，AC=AC，能否，能否证明明 ABCABC？ABCABC探探 究：究：MN画一个画一个RtABC，使，使AB=AB，AC=AC，1、画、画MBN=90；2、在射、在射线BM上截取上截取BA=BA；3、以、以A为圆心，心，AC长为半径画弧，交射半径画弧，交射线BN于于C，4、连接接AC。斜斜边、直角、直角边(HL)斜斜边和一条直角和一条直角边对应相
4、等的两个直角三角形全等。相等的两个直角三角形全等。判定公理：判定公理： 有斜有斜边和一条直角和一条直角边对应相等的相等的两个直角三角形全等两个直角三角形全等.条件条件1条件条件2前提前提斜斜边和一条直角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。相等的两个直角三角形全等。斜斜边、直角、直角边(HL)ABCABC在在RtABC和和RtABC中中 RtABCRtABCHL数学表达式：数学表达式：Ac=AcAB=AB选择题 1.使两个直角三角形全等的条件是使两个直角三角形全等的条件是 2.如如图，ADBE,垂足垂足C是是BE的中点，的中点，AB=DE,假假设要要证 ABC DEC,可以根据可以根据 A
5、EDBC错了了不不对恭喜恭喜你你,答答对了了再再试一一下下A一个一个锐角角对应相等相等B两个两个锐角角对应相等相等C一条一条边对应相等相等D斜斜边和一条直角和一条直角边对应相等相等A边边边公理公理 D 边角角边公理公理C角角边角公理角公理 B 斜斜边、直角、直角边公理公理错了了再再试一一下下不不对恭喜恭喜你你,答答对了了练练 习：习：1、以下所、以下所给给的条件中不能判断两个直角三角形全等的是的条件中不能判断两个直角三角形全等的是 A、两条直角、两条直角边对应相等相等 B、斜、斜边和一条直角和一条直角边对应相等相等 C、一个、一个锐角和一角和一边对应相等相等 D、一角和一、一角和一边对应相等。
6、相等。2、如、如图图，AB=DC，BEAD，CFAD，垂足，垂足为为E、F，那么在以，那么在以下条件中下条件中选择选择一个就可以判定一个就可以判定RtABE RtDCF有有 个个(1) B=C (2)ABCD (3)BECF (4)AFDEA、1个个 B、2个个 C、3个个 D、4个个ABEFCDDD 如如图图， ACB = ADB=90，要，要证证明明ABC BAD，还还需一个什么条件？需一个什么条件？把把这这些条件都写出来，并在相些条件都写出来，并在相应应的括号内填写出判定它的括号内填写出判定它们们全等的理全等的理由。由。 1 2 3 4 ABDCAD=BC DAB= CBABD=AC D
7、BA= CABHL HLAASAAS(1)(1)如如图：ACBCACBC，BDADBDAD，AC=BD.AC=BD.求求证：BC=AD.BC=AD.ABCD证明：明： AC BC，BD AD， C和和D都是直角。都是直角。在在RtABC和和RtBAD中，中，AB=BAAC=BD RtABC Rt BAD BC=ADHL全等三角形全等三角形对应边相等相等 2 2 2 2如图，如图，如图，如图，C C C C是路段是路段是路段是路段ABABABAB的中点，两人从的中点，两人从的中点，两人从的中点，两人从C C C C同时出发，以一样的速度分别沿两条直线行同时出发，以一样的速度分别沿两条直线行同时出
8、发，以一样的速度分别沿两条直线行同时出发，以一样的速度分别沿两条直线行走，并同时到达走，并同时到达走，并同时到达走，并同时到达D D D D，E E E E两地，此时，两地，此时，两地，此时，两地，此时，DAABDAABDAABDAAB，EBABEBABEBABEBAB，D D D D、E E E E与路段与路段与路段与路段ABABABAB的距离相等吗？为什的距离相等吗？为什的距离相等吗？为什的距离相等吗？为什么？么？么？么？BDACE实际问题实际问题数学问题数学问题求证：。求证：。求证：。求证：。CD 与与CE 相等相等吗？证明：明： DA AB，EB AB， A和和B都是直角。都是直角。A
9、C=BCDC=EC RtACD Rt BCE HL DA=EB在在RtACD和和RtBCE中，中，又又C是是AB的中点，的中点， AC=BC C到到D、E的速度、的速度、时间时间一一样样， DC=ECBDACE全等三角形全等三角形对应边相等相等如图，如图，AB=CDAB=CD，AE BCAE BC，DF BCDF BC， CE=BF. CE=BF. 求证：求证：AE=DF.AE=DF.ABCDEF课课本本1 14 4页页练练习习= =F F= =即即= =。如图，如图，AB=CDAB=CD，AE BCAE BC，DF BCDF BC， CE=BF. CE=BF. 求证：求证：AE=DF.AE=
10、DF.ABCDEF课课本本1 10 03 3页页练练习习证明：证明：证明：证明： AEBCAEBCAEBCAEBC，DFBCDFBCDFBCDFBC和和和和都是直角三角形。都是直角三角形。都是直角三角形。都是直角三角形。又又又又= = = =F F F F= = = =即即即即= = = =。在在在在和和和和中中中中判断两个直角三角形全等的方法有：判断两个直角三角形全等的方法有：(1)： ；(2)： ；(3)： ；(4)： ；SSSSASASAAAS(5)： ；HL 1、 如图，有两个长度一样的滑梯，左边如图，有两个长度一样的滑梯，左边滑梯的高度滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度与右边滑梯
11、水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角相等，两个滑梯的倾斜角 ABC和和 DFE大小有大小有什么关系？什么关系？ 问题问题问题问题 & & 探索探索探索探索ABCDEF 1、 如图，有两个长度一样的滑梯，左边如图，有两个长度一样的滑梯，左边滑梯的高度滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角相等，两个滑梯的倾斜角 ABC和和 DFE大小有大小有什么关系？什么关系？ 问题问题问题问题 & & 探索探索探索探索ABCDEF解：ABC+DFE=90.理由如下：在RtABC和RtDEF中,那么BC=EF, AC=DF . RtABCRtDEF (HL).
12、ABC=DEF(全等三角形对应角相等).又 DEF+DFE=90,ABC+DFE=90. 延伸延伸 & 拓展拓展 如图，如图，E，F分别为线段分别为线段AC上的两个点，上的两个点，且且DEAC于于E点，点，BFAC于于F点，假设点，假设AB=CD，AF=CE，BD交交AC于于M点点.求证：求证：MB=MD，ME=MF；ABCDEFM 如图，如图，E，F分别为线段分别为线段AC上的两个动点，上的两个动点，且且DEAC于于E点，点，BFAC于于F点，假设点，假设AB=CD，AF=CE，BD交交AC于于M点点. 当当E、F两点移动至如图的位置时，其余两点移动至如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否
13、成立？假设成立，请条件不变，上述结论能否成立？假设成立，请给予证明给予证明.延伸 拓展DABCEFM：如：如图，ACCB，DBCB，AB=DC，求，求证：ACD=DBAABDC如如图，AD、AD分分别是是ABC和和ABC中中BC、BC边上的高，且上的高，且AB=AB，AD=AD，假，假设使使ABCABC，请补充条件只需填写一个你充条件只需填写一个你认为适当的条件适当的条件_。ABCDABCD这节课你有那些收获这节课你有那些收获? ：如：如图,在在ABC和和BAD中，中，AC BC, AD BD,垂足分垂足分别为C,D,BC=AD, 求求证：AC=BD.ABDC旧知回忆旧知回忆判断两个三角形全等
14、的方法判断两个三角形全等的方法我我们已已经学了哪些呢？学了哪些呢？SSSSSSSASSASASAASAAASAAS 三边三边对应对应相等的两个三角相等的两个三角形全等。形全等。( (简写简写成成“边边边或边边边或“SSSDEFABC“边角边或边角边或“SAS 两边两边和它们和它们夹夹角角对应相等的两个对应相等的两个三角形全等。三角形全等。( (简写简写成成DEFABC“有两有两边及其中一及其中一边的的对角角对应相等的相等的两个三角形不一定全等。两个三角形不一定全等。ABCD“角边角或角边角或“ASA 两角两角和它们的和它们的夹夹边边对应相等的两个三对应相等的两个三角形全等。角形全等。( (简写
15、成简写成DEFABCDEFABC 两个角和其中一个两个角和其中一个角的对边对应相等的两角的对边对应相等的两个三角形全等个三角形全等. .简写简写成成“角角边或角角边或“AAS 如图，如图，ABCABC中，中， C =90C =90，直角边是直角边是_、_，斜边是，斜边是_。CBA我们把直角我们把直角ABCABC记作记作RtRtABCABC。ACBCAB 以上的四种判以上的四种判别三角形全等的三角形全等的方法能不能用来判方法能不能用来判别Rt全等呢？全等呢？思考：思考： 舞台背景的形状是舞台背景的形状是两个两个直角直角三角形三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三为了美观，工作人员想知道这两
16、个直角三角形角形是否全等是否全等，但每个三角形都，但每个三角形都有一条直有一条直角边被花盆遮住无法测量角边被花盆遮住无法测量。情境问题1:情境问题1: 舞台背景的形状是舞台背景的形状是两个两个直角直角三角形三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形角形是否全等是否全等，但每个三角形都，但每个三角形都有一条直有一条直角边被花盆遮住无法测量角边被花盆遮住无法测量。你能帮工作人员想个方法吗？你能帮工作人员想个方法吗？ABDFCE情境问题1: B= F=Rt 那么利用那么利用 可判定全等；可判定全等； 假假设测设测得得AB=DF， A= D， 那么利用那么利用
17、 可判定全等；可判定全等； A SA假假设测设测得得AB=DF， C= E， A AS假假设测设测得得AC=DE， C= E， 那么利用那么利用 可判定全等；可判定全等； A AS假假设测设测得得AC=DE， A= D， 那么利用那么利用 可判定全等；可判定全等； A AS假假设测设测得得AC=DE， A= D，AB=DE， 那么利用那么利用 可判定全等；可判定全等； S ASABDFCE情境问题2: 如果工作人员只带了一条皮尺，如果工作人员只带了一条皮尺，能完成这项任务吗？能完成这项任务吗？ABDFCE 工作人员是这样做的，他测量了每个三工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角
18、边和斜边，发现它们角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三两个直角三角形是全等的。你相信他的结论吗？角形是全等的。你相信他的结论吗？情境问题2: 对于两个直角三角形，假设满对于两个直角三角形，假设满足一条直角边和一条斜边对应相等足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？时，这两个直角三角形全等吗？ABDFCE 任意画出一个任意画出一个任意画出一个任意画出一个RtABC,C=90RtABC,C=90RtABC,C=90RtABC,C=90。BCABBAA按照下面的步骤画按照下面的步骤画RtRtABCABC 作作MC N
19、=90; 在射线在射线C M上取段上取段B C =BC; 以以B 为圆心为圆心,AB为半径画弧，交为半径画弧，交 射线射线C N于点于点A ; 连接连接A B .CCMNP13P13P13P13探探探探 究究究究 8 8 8 8请你动手画一画请你动手画一画再画一个再画一个再画一个再画一个RtRtABCABC，使得，使得，使得，使得C= 90C= 90， BC=BCBC=BC，AB=AB= ABAB。 把你所画的三角形撕出来，把你所画的三角形撕出来，与原三角形进展比较，看是否与原三角形进展比较，看是否能重合？能重合？亲亲 自自 实实 践践 任意画出一个任意画出一个任意画出一个任意画出一个RtAB
20、C,C=90RtABC,C=90RtABC,C=90RtABC,C=90。再。再。再。再画一个画一个画一个画一个RtABCRtABCRtABCRtABC，使得，使得，使得，使得C= 90C= 90C= 90C= 90， BC=BCBC=BCBC=BCBC=BC，AB=AB=AB=AB= ABABABAB。BBAA按照下面的步按照下面的步骤画一画画一画 作作MC N=90; 在射线在射线C M上取段上取段B C =BC; 以以B 为圆心为圆心,AB为半径画弧，交为半径画弧，交 射线射线C N于点于点A ; 连接连接A B .CCMNP13P13P13P13探探探探 究究究究 8 8 8 8请你动
21、手画一画请你动手画一画B C A BCA现象：象：两个直角三角形能重合。两个直角三角形能重合。说明：当一个直角三角形的一条直角当一个直角三角形的一条直角边和和斜斜边确定确定后，后，那么它的形状和大小那么它的形状和大小也被也被确定确定.判定公理：判定公理： 有斜有斜边和一条直角和一条直角边对应相等的相等的两个直角三角形全等两个直角三角形全等.条件条件1条件条件2前提前提斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等形全等. .简写：简写：“斜边、直角边或斜边、直角边或“HL“HLA B=ABA C= AC（ 或或BC= BC）RtABC Rt ABC(H L)直角三角形全等的判定方法：直角三角形全等的判定方法：证明：在明：在RtABC与与Rt ABC中中 通过刚刚的探索，发现工作人通过刚刚的探索，发现工作人员的做法员的做法是完全正确的是完全正确的。知识回忆知识回忆Knowledge Knowledge ReviewReview祝您成功！
