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1、第第2章章函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数2.1.3 2.1.3 函数的简单性质函数的简单性质-奇偶性奇偶性观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗？两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗？(2) 怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 对于这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们对于
2、这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们的函数值相等。的函数值相等。 即即f(-x)=f(x),这时我们称这样的函数为这时我们称这样的函数为偶函数偶函数.情景创设情景创设观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗？(2) 怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？情景创设情景创设f(x)=xf(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2)
3、 f(-1)=-1=-f(1) 对于这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们对于这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们的函数值也成相反数。的函数值也成相反数。 即即f(-x)=-f(x),这时我们称这样的函数为这时我们称这样的函数为奇函数奇函数.f(x)=1/x注：注： 2 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定也一定是定义域内的一个自变量（即是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称定义域关于原点对称）数学构建数学构建3 3、奇、偶函数定义的逆
4、命题也成立，即、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立有成立. . 若若f(x)f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(- -x)=f(x)有成立有成立. .5、奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数点对称，那么就称这个函数为奇函数.4、偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，轴对称，那么就称这个函数为偶函数那么就称这个函数为偶函数.说明说明：
5、奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： A、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性（1）若则是偶函数；）若则是偶函数；（2）若对于定义域内的一些，使）若对于定义域内的一些，使 则是偶函数；则是偶函数；（3）若对于定义域内的无数个，使若对于定义域内的无数个，使 则是偶函数；则是偶函数；（4）若对于定义域内的任意，使若对于定义域内的任意，使 则是偶函数；则是偶函数；（5）若则不是偶函数。）若则不是偶函数。对于定义在对于定义在 上的函数，上的函数，【练习【练习1】判断：】判断：判断定义域是否判断定义域是否关于数原点对称关于数原点对称验证验证下结
6、论下结论(1)、先看（求）定义域，看是、先看（求）定义域，看是否关于原点对称；否关于原点对称；(2)、验证、验证f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：(3)、下结论、下结论【练习【练习2】下列判断是否正确】下列判断是否正确【练习【练习3】、判断下列函数的奇偶性：】、判断下列函数的奇偶性：(1)解：定义域为解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x)即即f(-x)=f(x)f(x)偶函数偶函数(2)解：定义域为解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)即即f(-x)=-f(x)f(x)奇
7、函数奇函数(3)解：定义域为解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数奇函数(4)解：定义域为解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x)即即f(-x)=f(x)f(x)偶函数偶函数9思考题：思考题：1、函数、函数y5是奇函数还是偶函数是奇函数还是偶函数 ？2、函数、函数y0是奇函数还是偶函数是奇函数还是偶函数 ？YYYYxx偶函数偶函数是偶函数也是奇函数是偶函数也是奇函数例例3、已知函数、已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图轴右边的图象如下图，画出在象如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.
8、xy0解：画法略相等相等思考：思考：从图像你有何发现？从图像你有何发现？ab-a-b在对称区间上奇函数单调性同在对称区间上奇函数单调性同, ,偶函数单调性反偶函数单调性反本课小结1、两个定义：对于、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x, 如果都有如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、三个性质：、三个性质： 一个函数为奇函数一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数一个函数为偶函数 它的图象关于它的图象关于y轴对称轴对称在对称区间上奇函数单调性同在对称区间上奇函数单调性同, ,偶函数单调性反偶函数单调性反。利用对称性求函数的解析式利用对称性求函数的解析式
