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1、第六十一讲 条件概率与独立事件走进高考第一关 考点关回 归 教 材1.条件概率一般地,设A、B为两个事件,且P(A)0,称P(B/A)= 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.2.事件的独立性(1)设A、B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立.如果A、B相互独立,则A与 , 与B, 与 也是相互独立的.(2)相互独立事件同时发生的概率的计算公式是P(AB)=P(A)P(B).(3)推广:如果事件A1、A2,AN相互独立,那么这N个事件同时发生的概率,等于每于事件发生的概率的积,即P(A1A2AN)=P(A1)P(A2)P(AN).考 点 训 练1.(2008
2、湖北卷)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹、咏行炎约、假设甲闹钟准时的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时的概率是_.解析解析:甲、乙两闹钟均不准时的概率为甲、乙两闹钟均不准时的概率为(1-0.80)(1-0.90)=0.02. 两闹钟准时响的概率为两闹钟准时响的概率为1-0.02=0.98.答案答案:0.982.(2008浙江卷改编)一袋中共有10个大小相同的黑球和白球,若从袋中任意摸出2个球,至少有一个白球的概率为 ,则白球的个数为_.现从中不放回地取球,每次取一球,取两次,已知第二次取得白球,则第一次取得黑球的概率为_.解析
3、解析:4粒种子恰有粒种子恰有2粒发芽粒发芽,相当于相当于4次独立重复试验次独立重复试验,有有2次发次发生的概率生的概率.因此所求概率为因此所求概率为答案答案:B解读高考第二关 热点关题型一 条件概率例1一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭中有一个是女孩,问这时另一个小孩是男孩的概率是多少、分析分析:一个家庭的两个小孩只有一个家庭的两个小孩只有4种可能种可能;两个男孩两个男孩;第一个第一个是男孩是男孩,第二个是女孩第二个是女孩;第一个是女孩第一个是女孩,第二个是男孩第二个是男孩;两个两个女孩女孩.而且这四个基本事件的发生是等可能的而且这四个基本事件的发生是等可能的.解:根
4、据题意,设基本事件为,A表示“其中一个是女孩”,B表示“其中一个是男孩”.则=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),A=(男,女),(女,男),(女,女),B=(男,男),(男,女),(女,男),P(AB)= ,P(A)= ,问题是求在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B/A)= .因此所求的概率为 .点评:(1)求条件概率的步骤:用字母表示有关事件;求出P(AB),P(A);代入公式P(B/A)= .(2)注意公式的变形应用.P(AB)=P(B/A)P(A),P(A/B)=变式1:一只口袋内装有2个白球和2个黑球,求:(1)先摸出1个白球不放回,再摸出一个白球的概率;(2
5、)先摸出1个白、蚍呕睾、再摸出一个白球的概率 .解解:(1)设设“先摸出先摸出1个白球不放回个白球不放回”为事件为事件A,“再摸出一个白再摸出一个白球球”为事件为事件B,则则“先后两次摸到白球先后两次摸到白球”为为AB,先摸一球不先摸一球不放回放回,再摸一球共有再摸一球共有43种结果种结果.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1,“再摸出一个白球”为事件B1,“两次都摸到白球”为事件A1B1,则点评:先摸出一个白球后放回或不放回,影响到后面取球的概率,应注意到两个事件同时发生的概率是不同的.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2某企业生产的产品有一等品与二等品两种,按每箱10件进行包装,每箱
6、产品均需质检合格后方可出厂,质检办法规定:从每箱产品中任意抽取4件进行检验,若二等品不超过1件,就认为该箱产品合格;否则认为是不合格,已知某箱产品中有2件二等品.(1)求该箱产品被某质检员检验合格的概率;(2)若甲、乙两质检员分别对该箱产品进行检验,求甲、乙两人得出结论不一致的概率.解:(1)设“该箱产品被某质检员检验合格”为事件A,则 (2)设“甲的质检结论为合格”这一事件为B,“乙为质检结论为合格”这一事件为C.甲、乙结论不一致,包含甲、乙两人中的一人认为合格,另一人认为不合格共两种情况.点评:公式P(AB)=P(A)P(B)成立的前提条件是A、B为相互独立事件.对于较复杂的问题,要分清事
7、件的构成,注意概率的转化.变式2:(2009全国)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求的分布列及数学期望.解:记AI表示事件:第I局甲获胜,I=3,4,5,BJ表示事件:第J局乙获胜,J=3,4.(1)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利.因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5,
8、由于各局比赛结果相互独立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3、4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6=0.648.(2)的可能取值为2,3.由于各局比赛结果相互独立,所以P(=2)=P(A3A4+B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.60.6+0.40.4=0.52,P(=3)=1-P(=2)=1-0.52=0.48.的分布列为23P0.520.48E=2P(=2)+3P(=3)=20.52+30.48=2.48.笑对高考第三关 技巧关概率的
9、综合问题求较复杂的事件的概率一般可分步进行:(1)列出题中涉及的各事件,并用适当的符号表示;(2)弄清各事件之间的关系,列出关系式;(3)根据各事件之间的关系,准确选择概率公式进行计算.典例甲、乙、丙三位大学生,同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为 ,且三人能否被选中;相互之间是无关的.(1)求3人都被选中的概率;(2)求只有2人被选中的概率;(3)3人中有几个人被选中的事件最容易发生、考 向 精 测1.(2009全国)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核.
10、(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.解:(1)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理.要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人.(2)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则 .(3)AI表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有I名男工人,I=0,1,2.BJ表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有J名男工人,J=0,1,2.B表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人AI与BJ独立,I,J=0,1,2,且B=A0B2+A1B1+A2B0.故P(B)=P(A0B2+A1
11、B1+A2B0)=P(A0)P(B2)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B0)2.(2009陕西卷)据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率;(2)假设一月份与二月份被消费者设诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.解解:解法一解法一:(1)设事件设事件A表示表示“一个月内被投诉的次数为一个月内被投诉的次数为0”,事事件件B表示表示“一个月内被诉投的次数为一个月内被诉投的次数为1”, P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.(2)设事件AI表示“第I
12、个月被投诉的次数为0”,事件BI表示“第I个月被投诉的次数为1”,事件CI表示“第I个月被投诉的次数为2”,事件D表示“两个月内共被投诉2次”.P(AI)=0.4,P(BI)=0.5,P(CI)=0.1(I=1,2),两个月中,一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2+A2C1),一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2),P(D)= P(A1C2+A2C1)+ P(B1B2)=P(A1C2) P(A2C1) +P(B1B2),由事件的独立性得P(D)=0.40.1+0.10.4+0.50.5=0.33.解法二:(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”,事件B表示“一个月内被
13、投诉的次数不超过1次”.P(A)=0.1,P(B)=1-P(A)=1-0.1=0.9.(2)同解法一.课时作业(六十一) 条件概率与独立事件一、选择题1.(2007浙江卷浙江卷)甲、乙两人进行乒乓球比赛甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为比赛规则为“3局局2胜胜”,即以先赢即以先赢2局者为胜局者为胜,根据经验根据经验,每局比赛中甲获胜的每局比赛中甲获胜的概率为概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是则本次比赛甲获胜的概率是( )A.0.216B.0.36C.0.432D.0.648解析:方法一:(估值法)由于每局比赛中甲胜的概率为0.6,所以采用“3局2胜”制,甲获胜的概率也大.由选择支超过12
14、的概率只有D.故选D.方法二,甲获胜有两种情况:2:0,2:1.甲获胜的概率为:P= 0.62+ 0.60.40.6=0.648.答案答案:D2.(2010保定摸底)甲、乙两同学下棋,赢一局得2分,和一局得1分,输一局得-1分,连下三局,得分多者为胜,则甲获胜的概率为( )解析:下三局,每局都有赢、和、输三种可能,共有基本事件为33=27种,甲获胜分三类:胜一局,和二局,有3种;胜二局,另一局和、输均可,有6种;胜三局,有1种.故甲获胜的概率为 .答案答案:C3.抛掷甲、乙两枚骰子,若事件A:甲骰子的点数小于3,事件B:甲、乙两枚骰子的点数和等于6.则P(B/A)的值等于( )解析解析:事件事
15、件A包含的基本事件有包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),共共12个个,而而AB包含包含(1,5),(2,4)共共2个个.答案答案:C4.某地一农业科技实验站,对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为0.8,出芽后的幼苗成活率为0.9,在这批水稻种子中,随机的抽取一粒,则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A.0.02B.0.08C.0.18D.0.72解析:方法一:估值知选D.方法二:设这粒种子发芽为事件A,发芽又成长为幼苗为事件B,则P(A)=0.8,P(
16、B/A)=0.9,这粒种子发芽又成长为幼苗为事件AB,由条件概率公式得P(AB)=P(B/A)P(A)=0.90.8=0.72.答案答案:D5.设有两个独立事件A和B同时不发生的概率为P,A发生B不发生与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率为( )答案答案:C二、填空题6.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率为_.解析解析:第一名同学没有抽到中奖券第一名同学没有抽到中奖券,还剩还剩3张张,其中有其中有1张能中奖张能中奖,因此最后一名同学抽到中奖券的概率为因此最后一名同学抽到中奖券的概率为 .答案答案:7.
17、6位同学参加百米短跑比赛,赛场共有6条跑道,已知甲同学被排在第一跑道,则乙同学被排在第三跑道的概率为_.解析解析:已知甲同、已知甲同、旁诘谝慌艿、其他同学有排法旁诘谝慌艿、其他同学有排法 种种,乙同乙同学排在第三跑道学排在第三跑道,其他其他4位同学有位同学有 种排法种排法,故所求的概率为故所求的概率为 .答案答案:8.在10个球中,有6个红球和4个白球(各不相同),不放回地依次摸出两个球,在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸出红球的概率是_.解析解析:第一次摸出一个红球后不放回还剩下第一次摸出一个红球后不放回还剩下9个球个球,其中有其中有5个个红球红球,因此第二次摸出红球的概率为因此第二次摸出
18、红球的概率为 .答案答案:9.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球,从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,则两次摸出的球恰颜色不同的概率为_.解析解析:分两类分两类:第一次是白球第一次是白球,第二次是黑球第二次是黑球.其概率为其概率为P1= .或者第一次是黑球或者第一次是黑球,第二次是白第二次是白球球,其概率为其概率为P2= . 所求的概率为所求的概率为P=P1+P2= .答案答案:三、解答题10.1号箱中有号箱中有2个白球和个白球和4个红球个红球,2号箱中有号箱中有5个白球和个白球和3个红个红球球,现随机地从现随机地从1号箱中取出一球放入号箱中取出一球放入2号箱中号箱中,然后从然后从2号箱随号箱随机取出一球机取出一球,问从问从2号箱取出红球的概率是多少、号箱取出红球的概率是多少、11.(2009重庆卷)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株,设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ,且各株大树是否成活互不影响,求移栽的4株大树中:(1)至少有1株成活的概率;(2)两种大树各成活1株的概率.12.(2008湖南卷)甲、乙、丙参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 ,且面试是否合格互不影响.求:(1)至少有一人面试合格的概率.(2)没有签约的概率.
