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1、第八节第八节 洛必达法则洛必达法则一、未定式一、未定式例如例如,例如例如,例如例如,例如例如,例如例如,例如例如,例如例如,二、定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .证证定义辅助函数定义辅助函数则有则有例例1 1解解例例2 2解解不是未定式不是未定式, ,不能不能用洛必达法则用洛必达法则注意：每一步都要验证定理条件注意：每一步都要验证定理条件.几点说明几点说明:并且可以依次类推并且可以依次类推, ,直到求出所要求的极限为止直到求出所要求的极限为止.
2、.例例3 3解解不是未定式不是未定式, ,不能用法则不能用法则三、定理定理2 2几点说明几点说明:并且可以依次类推并且可以依次类推, ,直到求出所要求的极限为止直到求出所要求的极限为止. .例例4 4解解不是未定不是未定式式, ,不能用不能用法则法则例例5 5解解注：洛必达法则是求未定式的一种有效方法注：洛必达法则是求未定式的一种有效方法, ,计算过计算过程中可与各种求极限的方法结合使用程中可与各种求极限的方法结合使用, , 效果更好效果更好. .例例6 6 求求解解tan x x (x0)原式原式应用洛必达法则注意事项应用洛必达法则注意事项:2. 假设假设例如例如3.3.应用洛必达法则求极限
3、时应用洛必达法则求极限时, ,如果出现乘积因式极如果出现乘积因式极限存在且不为限存在且不为0,0,可把此因子提取出可把此因子提取出, ,对余下的未定对余下的未定式再应用洛必达法则式再应用洛必达法则. .4. 4. 洛必达法则可连续用洛必达法则可连续用, ,但一定要步步检查但一定要步步检查( (是否是否为为 ), ),5.5.计算过程中可与各种求极限的方法结合使用计算过程中可与各种求极限的方法结合使用. . 步步整理步步整理( (如约去公因子如约去公因子, ,提出有确定极限的因子提出有确定极限的因子).).解解例例7 7说明说明:例如例如在某些情况下洛必达法则不能解决在某些情况下洛必达法则不能解
4、决 计算问题计算问题 . 用洛必达法则用洛必达法则而而四、关键关键 将其化为将其化为 型或型或 型未定式型未定式.例例9 9解解步骤步骤:例例1010解解解解 原式原式例例11 11 步骤步骤:利用对数或指数利用对数或指数例例1212解解三种未定式都化为三种未定式都化为 型未定式型未定式.步骤步骤:例例1313例例1414解解解解五、注意五、注意数列未定式不可直接使用洛必达法则数列未定式不可直接使用洛必达法则 , 必须先化必须先化成一般函数未定式成一般函数未定式,再使用洛必达法则再使用洛必达法则.例例2020分析分析 为用洛必达法则为用洛必达法则 , 必须改必须改求求解解六、小结洛必达法则洛必达法则练习练习2.解解3.解解4.解解思考题思考题思考题解答思考题解答不一定不一定例例显然显然极限不存在极限不存在但但极限存在极限存在
