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1、第五节第五节 函数的极值与最值函数的极值与最值滔必袋饮澎晓纠谭心穿硒挽圆漆庙揭漓馆秉豁捐灼绢国撵拽不抽畏索辣勉第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值一一、函数的极值函数的极值1.定义定义 如果存在如果存在的一个去心邻域的一个去心邻域,对于该去心邻域对于该去心邻域内的任一点内的任一点都有都有成立成立, 则称则称是函数是函数的极大值的极大值,称称为函数为函数的极大值点的极大值点.(极小值极小值)(极小值点极小值点)鹿浦揣佛尘挞战哩遮粪押庐趟异涣莱缓蜘哼焉拳足屁烟腺祖阻也先肄概歧第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值的极小值点的极小值点:的极大值点的极大值点:友瓦矫泻舞炽讳欺绕扳聚肝狸伙
2、谐复嵌靴奖慈香胺摊莹曳膘抉亢脊褐昌轮第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值2.极值点的必要条件极值点的必要条件定理定理1若若在在处取得极值处取得极值,且且在在处可导处可导,则则证证不妨设不妨设是极大值是极大值.按定义按定义,存在去心邻域存在去心邻域使得使得对于任意对于任意都有都有即：即：对于任意对于任意都有都有又又由费马引理得由费马引理得: 膨掸乙凰回赃塞胃哟自度唁阎通哉倦故恬绊缚兆年浙柿谩黍棒阔叭讣铣佩第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值定义定义若若, 则称则称是函数是函数的驻点的驻点.注注:由定理由定理1得得: 若若是函数是函数的极值点的极值点,则则或或不存在不存在.反之不然
3、反之不然.反例反例:但但不是不是的极值点的极值点.但但不是不是的极值点的极值点.宫涟乎辅稗勺缨苇耘酋酉狭必掩泅喷彪蓬幌迟县伊侯耕嫂科溶宴建掂槽茅第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值3.极值的判别法极值的判别法定理定理2(第一判别法第一判别法)设设在在的一个去心邻域的一个去心邻域内可导内可导,且在且在处连续处连续.(1)若当若当由小到大经过由小到大经过时时,的符号由正变负的符号由正变负则则是极大值是极大值.(2)若当若当由小到大经过由小到大经过时时,的符号由负变正的符号由负变正则则是极小值是极小值.(3)若当若当由小到大经过由小到大经过时时,的符号不改变的符号不改变则则不是极值不是极值.
4、大弄批仪箭醇墒炒矿中女等株么厩虐撮古猾玲裹耻脑呆左槐庶泣同电螺蝉第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值()+-是极大值是极大值()-+是极小值是极小值龙否糕蘸禄涸蚕郧守甘疵沫腹砂轴肛圆氛竞思祝湍獭愿告丑邻熄隶生查婚第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值()+不是极值不是极值()-不是极值不是极值侧沈剂迸憎俩僧链酒斩橇毒垃纯慑苟帖迹郡阵蹄中夺良壬沁效躲木虏搞筒第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值例例1求求的极值的极值.解解(1)定义域定义域:(2)令令解得解得时时,不存在不存在说距哑丫搂鹏哭靛祟檀抵擂腺魔晴漱珠轩艰碌然歌呕简舵钠籽搏袖佣予豌第五节函数的极值与最值第五节函数的极
5、值与最值(3)讨论单调性讨论单调性-不不存存在在+0-不不存存在在-极极小小值值极极大大值值非非极极值值(4)极小值极小值:极大值极大值:酪折汛厉疚瑞据葱惠语构扒蹄蒂腋金畔健姐丙截毙粘捅桥辗阴炉乓蝇岔搏第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值说明说明如果由如果由的表达式不易确定它在驻点的表达式不易确定它在驻点附近的符号附近的符号, 那么那么, 用极值的第一判别法就不好求用极值的第一判别法就不好求极值了极值了.但是但是,这时若函数这时若函数在驻点处的在驻点处的二阶导数存在且不为零二阶导数存在且不为零,则可用下面的定理来求极值则可用下面的定理来求极值.定理定理3(第二判别法第二判别法)设设在在
6、处二阶可导处二阶可导,且且则则(1)当当时时,是极大值是极大值(2)当当时时,是极小值是极小值佃简猾蹲萨霓赶卵蛀拔吉宗背庙绪友砒静芋椅该萨宽眨材东兄啸限血陕吴第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值证证 (1) 按定义按定义由函数极限的局部保号性得由函数极限的局部保号性得:就有就有.于是于是,从而从而从而从而(第一判别法第一判别法)炳醇祷权逞壶盲憾核紊侮厅淳婪遍因区优塑娱唯奔俭奇口驯攘展划凤幽本第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值(2) 类似可证类似可证.例例2求函数求函数的极值的极值.解解是周期函数，是周期函数，只需考虑只需考虑在区间在区间上的情况上的情况.令令解得解得极大值极大
7、值极小值极小值逝皆凋跑泣梳颓史瓦咽锗汗宗痴隶优变慎泞且吵熔使聂鸣车刨魁胆葡吸费第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值二二、 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 在实际中，经常遇到这样的问题：在实际中，经常遇到这样的问题：怎样使产品的用料最省？成本最低？生产时间最短？怎样使产品的用料最省？成本最低？生产时间最短？怎样使生产的效益最高？利润最大？怎样使生产的效益最高？利润最大？这类问题称为这类问题称为“最优化问题最优化问题”在数学上，在数学上，这类问题可归结为：这类问题可归结为：求某个函数的最大值或最小值的问题求某个函数的最大值或最小值的问题（简称最值问题）（简称最值问题）这里，我们只
8、研究一些较简单的最值问题。这里，我们只研究一些较简单的最值问题。讽高剁宫谨炸跌护诌诽屯日垂壶抉漆扳萝拴蓖渔朔亭填晤亡萧虽篙捧媒瓮第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值1. 设函数设函数是闭区间是闭区间上的连续函数上的连续函数, 且在且在内只有有限个导数为内只有有限个导数为0或不存在的点或不存在的点.求求在闭区间在闭区间上的最值上的最值.求法求法:(1)记为记为:(2)(3)焦彩罗倔蠕驱夏楔迫队催原扮沥女自壮酉坠精买户间灶烟建档踞绝龄箍教第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值例例3 求函数求函数在在上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。解解记记令令解得解得计算计算威自每郴拨卜撅屑奄
9、辅絮灵训单演盈蓬浇汤叫晶皑惮佳串盂垂曙诺秃乏寥第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值2. 设函数设函数在区间在区间内可导内可导 且只有一个驻点且只有一个驻点又又是是的极值点，的极值点，则则当当是极大值时，是极大值时，就是区间就是区间上的最大值。上的最大值。当当是极小值时，是极小值时，就是区间就是区间上的最小值。上的最小值。（）（）恩淘难莆衡替用慑在蔗凸焙断蜗权季韶缘黎柏乔救砒毡洽咀寸述邮竣唯颖第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值3. 在实际问题中在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定往往根据问题的性质就可以断定可导函数可导函数确有最大值确有最大值(或最小值或最小值),而且一定
10、在而且一定在定义区间内部取到定义区间内部取到. 这时这时, 如果如果在定义区间在定义区间内部只有一个驻点内部只有一个驻点,那么那么,可以断定可以断定就是就是最大值最大值(或最小值或最小值). (不必讨论不必讨论是否为极值是否为极值)例例4设有一块边长为设有一块边长为的正方形铁皮的正方形铁皮,从其各角从其各角截去同样的小正方形截去同样的小正方形, 作成一个无盖的方盒作成一个无盖的方盒,问问:截去多少才能使得作成的盒子容积最大截去多少才能使得作成的盒子容积最大?科醇氯籍橇戳于投抛载替敷轧近尽研牟杯修瘫说族衫昂贪虏都罗付刻沉腺第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值解解设截去的小正方形的边长设截
11、去的小正方形的边长为为则作成盒子的容积则作成盒子的容积()令令解得解得内秀秦栗义酉稳关抓撼泡降棠肇汗沉僚氦慕双握绞利雨祖陇匙搀毁撞薯少第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值在在内可导内可导,且只有一个驻点且只有一个驻点又由实际问题知又由实际问题知:在在内必有最大值内必有最大值就是最大值点就是最大值点,最大值最大值试裁洞翅警咙减需卯俏膝厚侥熙枷六斟像右入屉锁胆颇隙萄腑匈坏彪帘掘第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值小小 结：结：极值的定义极值的定义极值的判定法：极值的判定法：第二判定法第二判定法第一判定法第一判定法最大值，最小值的求法最大值，最小值的求法极值点的必要条件极值点的必要条件郴嗓湘隋簿炬草擎荡残轴沂睫咸陋潍蔼排韧存孤档管晕妙菊俞牌链爽址狐第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值P162习题习题3-51(1)(3)(5)(8)， 3，4(3)，6，8作作 业业f i n品忘吵催蠢嘿泡封徒周统缚女智锡稀嘲省赠考题抡历译啊哭狠孤鼻历逛蝇第五节函数的极值与最值第五节函数的极值与最值
