《常微分方程：5.2 线性微分方程组的一般理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程：5.2 线性微分方程组的一般理论（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、齐次线性方程组的通解结构4.2 线性微分方程组的一般理论齐次线性方程组的通解结构一阶线性微分方程组:称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.非齐线性微分方程组.齐次线性方程组的通解结构一一 齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组1 1 叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理定理定理2证明证明:则有则有所以所以齐次线性方程组的通解结构2 2 2 2 函数向量组线性相关与无关函数向量组线性相关与无关函数向量组线性相关与无关函数向量组线性相关与无关齐次线性方程组的通解结构证明证明:例例1证明:函数向量组在任何区间都是线性相关的.齐次线性方程组的通解结构例例1证明:函数向量组证明证明:要使齐次线性方程组的通解结
2、构则需因为所以故线性无关.齐次线性方程组的通解结构3 3 3 3 函数向量组线性相关与无关的判别准则函数向量组线性相关与无关的判别准则函数向量组线性相关与无关的判别准则函数向量组线性相关与无关的判别准则(1) Wronsky(1) Wronsky行列式行列式行列式行列式由这n个向量函数所构成的行列式称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式齐次线性方程组的通解结构(2)定理3证明证明:相关,齐次线性方程组的通解结构(3)定理4证明证明:“反证法”则现在考虑函数向量由定理2知,齐次线性方程组的通解结构由(5.17)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾矛盾注1:注2:齐次线性方程组的通解
3、结构(4)定理5 (5.15)一定存在一定存在n个线性无关的解个线性无关的解.证明证明:由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在满足初始条件且齐次线性方程组的通解结构4 通解结构及基本解组定理6证明证明:由已知条件,齐次线性方程组的通解结构又因为从而可知齐次线性方程组的通解结构即它们构成n维线性空间的基,现在考虑函数向量由定理2知,由(5.20)知,因此,由解的存在唯一性定理,应有即齐次线性方程组的通解结构推论1 (5.15)的线性无关解的最大个数等于n.基本解组基本解组:为(5.15)的一个基本解组.注1: (5.15)的基本解组不唯一.注2: (5.15)所有解的集合构成一个n维线性空
4、间.注3:由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.齐次线性方程组的通解结构首先有:线性相关.证明:齐次线性方程组的通解结构即有即向量组(*)是线性相关的.齐次线性方程组的通解结构反之,如果向量组(*)是线性相关,当然有 从而,从4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,从本节定理3,4,5立即分别推出第四章定理3,4,5.齐次线性方程组的通解结构推论2齐次线性方程组的通解结构5 解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵.则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵.基解矩阵- 以基
5、本解组为列构成的矩阵.齐次线性方程组的通解结构齐次线性方程组的通解结构注1: 行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关.如矩阵注2:齐次线性方程组的通解结构例3验证是方程组基解矩阵.解:由于又由于证明:证明:于是有由此可得即有例4验证是方程组基解矩阵,并求其通解.解:又由于其通解为齐次线性方程组的通解结构二二 非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组1 非齐线性微分方程组解的性质性质性质1性质性质2齐次线性方程组的通解结构性质性质32 通解结构定理定理7这里C是确定的常数列向量.证明: 由性质2知,即这里C是确定的常数列向量.齐次线性方程组的通解结构3 常数变易公式则(5.15)的通解为其中C是
6、任意的常数列向量,下面寻求(5.14)形如的解, 把(5.24)代入(5.14),得(1) 一阶线性微分方程组的常数变易公式齐次线性方程组的通解结构从而反之,可验证(5.26)是方程组(5.14)满足初始条件的特解.因此,(5.24)变为齐次线性方程组的通解结构定理8(1) 向量函数是(5.14)的解,且满足初始条件(2) 方程组(5.14)的通解为注1:注2: 公式(5.26)或(5.27)称为(5.14)的常数变易公式.齐次线性方程组的通解结构例5求方程组的通解.解: 由例4知是对应齐次方程的基解矩阵,由(5.26)得方程的特解为齐次线性方程组的通解结构所以,原方程的通解为齐次线性方程组的
7、通解结构例6试求初值问题的解.解: 由例3知是对应齐次方程的基解矩阵,齐次线性方程组的通解结构故方程满足初始条件的解是齐次线性方程组的通解结构(2) n阶线性微分方程的常数变易公式则(5.7)的基本解组为从而其基解矩阵为齐次线性方程组的通解结构齐次线性方程组的通解结构推论推论3的基本解组,那么非齐线性方程的满足初始条件解为齐次线性方程组的通解结构公式(5.29)称为(5.28)的常数变易公式.方程(5.28)的通解可表为齐次线性方程组的通解结构但是齐次线性方程组的通解结构而通解是齐次线性方程组的通解结构例7 试求方程的一个解.解:易知对应齐线性方程的基本解组为由(5.31)求方程的一个解,这时故齐次线性方程组的通解结构所以也是原方程的一个解.齐次线性方程组的通解结构作业作业P200 1, 2, 3,4,7,8,9(c),10
