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1、第十讲第十讲 归纳与猜想归纳与猜想 在解决数学问题时，往往从特殊探求一般；或者从现有的条件、结论，通在解决数学问题时，往往从特殊探求一般；或者从现有的条件、结论，通过观察、类比、联想，进而猜想我们未知的知识和结论。这种思考方法就是归过观察、类比、联想，进而猜想我们未知的知识和结论。这种思考方法就是归纳与猜想。纳与猜想。 归纳和猜想是学习数学、解决数学问题的行之有效的方法之一。它能使复归纳和猜想是学习数学、解决数学问题的行之有效的方法之一。它能使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从特殊问题中总结出一般规律。我们若杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从特殊问题中总结出一般规律。我们若对一些我们不熟
2、悉的甚至无从下手的数学问题进行有目的观察试验、归纳、猜对一些我们不熟悉的甚至无从下手的数学问题进行有目的观察试验、归纳、猜想常能得到一些有益的启发，为解决数学问题提供一定的方向和依据。想常能得到一些有益的启发，为解决数学问题提供一定的方向和依据。例例1 分数分数分子分子 9 16 25 36 1+2 2+2 3+2 4+2 分母分母 5 12 21 32 与序号的关系与序号的关系 (1+2)24 (2+2)2 4 (3+2)2 4 (4+2)2 4 (n+2)2(n+2)24第第n个数是个数是序号序号 1 2 3 4 n在一列数下标在一列数下标出各数的序号出各数的序号若一列数中的各个数字都可以
3、划分出若干部分，则可一个部分一个部分若一列数中的各个数字都可以划分出若干部分，则可一个部分一个部分地逐一进行观察、归纳地逐一进行观察、归纳要注意观察，分解出一列数中不随序号改变的数和运算！要注意观察，分解出一列数中不随序号改变的数和运算！若一列数的大小由前向后变化若一列数的大小由前向后变化“速度速度”较快，则这列数的形成常常与乘方运算有较快，则这列数的形成常常与乘方运算有关关一、如何归纳在一列数之中存在的规律一、如何归纳在一列数之中存在的规律 观察与序号的关系观察与序号的关系 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 要注意观察各部分之间的关系要注意观察各部分之间的关系探索一列数中存在的规律之方
4、法一：观察数与它所在序号之间的关系探索一列数中存在的规律之方法一：观察数与它所在序号之间的关系例例2 有一组数：有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律，请观察这组数的构成规律， 用你发现的规律确定第用你发现的规律确定第8个数为个数为 1+126+11 2+35+510+717+9 37+1350 探索一列数中存在的规律之方法二：观察相邻的项或前几项，找出由前一项探索一列数中存在的规律之方法二：观察相邻的项或前几项，找出由前一项（或前几项）表示后一项的规律这样只要知道第一项（或前几项），就可以逐（或前几项）表示后一项的规律这样只要知道第一项（或前几项），就可以逐一将随后的
5、项表示出来一将随后的项表示出来 序号序号 数数 与前一个数的关系与前一个数的关系1234567812510172637提高训练提高训练2（2008年湖北十堰中考题）观察下面两行数：年湖北十堰中考题）观察下面两行数： 2， 4， 8， 16， 32， 64， 5， 7， 11， 19， 35， 67， 根据你发现的规律，取每行数的第根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它个数，求得它们的和是们的和是 第第行的第行的第10个数是个数是210=1024第第行的第行的第10个数是个数是1024+3=1027它们的和是它们的和是1024+1027=2051二、如何归纳算式之中存在的规律二、如何归纳
6、算式之中存在的规律例例3 已知下列等式已知下列等式 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102依此规律，第依此规律，第n个式子为个式子为_ 首先注意到算式首先注意到算式中不变的部分中不变的部分然后归纳随着序然后归纳随着序号变化的部分号变化的部分注意等式两注意等式两边的关系边的关系(1+2+3+n)2=213+23+33+n3 = 12=32 =62 =102 =（1+2）2 （1+2+3）2 （1+2+3+4）2 12 三、如何归纳数表之中存在的规律三、如何归纳数表之中存在的规律例例41观察每行（或每列）的第一（或最后）个数观察每行（或每列）的第一（或
7、最后）个数字与它所在的行数（或列数）之间的数量关系字与它所在的行数（或列数）之间的数量关系 2观察每行（或每列）的数字与它周围（上、观察每行（或每列）的数字与它周围（上、 下、左、右）数字间的数量关系下、左、右）数字间的数量关系 从第从第2行开始，两个相邻数的和等于上一行行开始，两个相邻数的和等于上一行正对这两个数中间的那个数或者说，从正对这两个数中间的那个数或者说，从第第1行开始，每个数减去它下一行与它相行开始，每个数减去它下一行与它相近的偏左的数等于下行偏右的数例如近的偏左的数等于下行偏右的数例如第第10行行第第9行行第第8行行雨露招生试题雨露招生试题在小时候，我们就用手指练习过数数，一个
8、小朋友按如图所在小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到示的规则练习数数，数到2009时对应的指头是（时对应的指头是（ ）A大拇指大拇指B食指食指C中指中指D无名指无名指这里，实际上也是给了一个简单的数表，如下：这里，实际上也是给了一个简单的数表，如下：1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 1317 16 15 14 18 19 20 21 观察每行（或每列）数字的个数观察每行（或每列）数字的个数 除第除第1行外（以下同），每行行外（以下同），每行4个数个数观察数字的排列方式和特征观察数字的排列方式和特征 奇数行由小到大，第奇数行由小到大，第1个
9、数是偶数个数是偶数偶数行由大到小，第偶数行由大到小，第1个数是奇数个数是奇数观察每行（或每列）的第一（或最后）个数字观察每行（或每列）的第一（或最后）个数字与它所在的行数（或列数）之间的数量关系与它所在的行数（或列数）之间的数量关系 从第从第2行开始，偶数行第行开始，偶数行第1列各行第列各行第1个数字是个数字是5+4(n 1) n 是行数是行数 从第从第1行开始，奇数行第行开始，奇数行第5列各行第列各行第1个数字是个数字是5+4(n 1) n 是行数是行数2009是奇数，是奇数，2009 5=4501所以所以2009恰好在第恰好在第502行第行第1列列3000 5=4748余余32997在在7
10、49行第行第5列列3000在在750行第行第2列列或或3001在在750行第行第1列，列，3000在该行第在该行第2列列第第1个个第第2个个第第4个个第第3个个若将图形补成大正方形，若将图形补成大正方形，四、如何归纳图形之中存在的规律四、如何归纳图形之中存在的规律例例5因为第因为第n个图形都比它第个图形都比它第n 1个图形多出个图形多出n 个个“ ”和和1个个“ ”,即多即多2n+2根火柴棒根火柴棒 第第1个个第第2个个第第4个个第第3个个方法一方法一 、从相邻图形的变化找规律、从相邻图形的变化找规律所以第所以第8个图形有火柴棒个图形有火柴棒4+（22+2）+（23+2）+（28+2）=88（
11、根火柴棒）（根火柴棒）方法二、方法二、 从图形的整体变化找规律从图形的整体变化找规律则第第n个大正方形有火柴棒个大正方形有火柴棒2n(n+1)根根若以大正方形的若以大正方形的对角角线将它一分将它一分为二，二，则大正方形的一半有火柴棒大正方形的一半有火柴棒n(n+1)根根因原来第因原来第n个个图形火柴棒比形火柴棒比n(n+1)根多根多2n根，有根，有n2 +3n根根, 所以第所以第8个个图形有形有82+38=88根火柴棒根火柴棒方法三方法三 、从图形的数量指标找规律、从图形的数量指标找规律 第第1个个第第2个个第第4个个第第3个个火柴棒数目火柴棒数目 4 10 18 28试验试验 ：12=1 2
12、2=4 32=9 42=16差差 3 6 9 12 差恰好都差恰好都是是3的倍数的倍数所以第所以第n个图形有火柴棒个图形有火柴棒n2+3n （根）（根） 第第8个图形有火柴棒有个图形有火柴棒有64+24=88（根）（根）将将“图列图列”转转化为数列化为数列由于从左到右数目增加较快，所以第由于从左到右数目增加较快，所以第n个图形的火柴棒数可能与个图形的火柴棒数可能与n 2有关有关例例6 一个长方形把平面分成两部分，那么一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形个长方形最多最多 把平面分成多少部分？把平面分成多少部分？画一画，试一试！通过画图不但要得出结果，更重要画一画，试一试！通过画图不但要得出
13、结果，更重要的是从中总结出一般的规律的是从中总结出一般的规律画出第一个长方形，显然它把平面分成两部分画出第一个长方形，显然它把平面分成两部分第第2个长方形有四条边，每条边都可以挂一下原长方形的每个长方形有四条边，每条边都可以挂一下原长方形的每个角，这样就产生最多的个角，这样就产生最多的8个交点，这个交点，这8个交点自然把第个交点自然把第2个个长方形分成长方形分成8段（有直的、有弯的），每段把原先的部分又段（有直的、有弯的），每段把原先的部分又多分出一个部分，新增多分出一个部分，新增8个，所以个，所以2+8=10（个部分），（个部分）， 第第3个长方形的每条边现在可以挂到原有个长方形的每条边现在
14、可以挂到原有2个长个长方形的方形的8个角，最多可产生个角，最多可产生16个交点，同理这个交点，同理这16个交点把第三个长方形本身分成个交点把第三个长方形本身分成16段，每段段，每段穿过一个部分，又新增加穿过一个部分，又新增加16个部分，个部分，共共2+8+16=26（个部分）。（个部分）。第第4个长方形的每条边现在可以挂到原有个长方形的每条边现在可以挂到原有3个长方形的个长方形的12个角，最多可产生个角，最多可产生24个交点，同理这个交点，同理这24个交点把第个交点把第四个长方形本身分成四个长方形本身分成24段，每段穿过一个部分，又新段，每段穿过一个部分，又新增加增加24个部分，共个部分，共2
15、+8+16+24=50（个部分）。（个部分）。在解决类似于在解决类似于“一个图形一个图形，二个图形，二个图形，n个图形个图形”这样的问题时，常常需要从第一个图形开始，逐次增加图这样的问题时，常常需要从第一个图形开始，逐次增加图形个数，观察其中的变化，总结、归纳出变化中的规律。形个数，观察其中的变化，总结、归纳出变化中的规律。第二个长方形怎样画使得到的部分最多？第二个长方形怎样画使得到的部分最多？基础训练基础训练130 2（1）3，（，（2）7 （3）11（4）11，6 311 ， 2n1. 4（1）18，22；（；（2）4 n+2 5A提高训练提高训练1B2解法解法1：从图形变化看后图从图形变
16、化看后图 比前图都多比前图都多3个，所以第个，所以第20图图 比第比第1图多图多3（20 1)=57个共个共57+3=60个个解法解法2：从整体变化看每图实际是三角形，每条边上星数比序号多从整体变化看每图实际是三角形，每条边上星数比序号多1，所以，所以 第第20个图形有星个图形有星3（20+1）- 3=603把满足只有两个面涂色的立方体如图：把满足只有两个面涂色的立方体如图： 41 +00 42+41 43+42 归纳归纳 4n+4(n1)=8n4提高训练提高训练4树枝数树枝数 1 3 8 18 38观察图形找规律（观察相邻两图形间的关系）观察图形找规律（观察相邻两图形间的关系）从第（从第（3
17、）图开始每个图都是中间）图开始每个图都是中间2个树枝，左右两边的树枝都等于个树枝，左右两边的树枝都等于前一个图形中的树枝，即如果第前一个图形中的树枝，即如果第n个图有个图有m个树枝，那么第个树枝，那么第n+1个图个图就有（就有（2+2m）个树枝）个树枝 所以第所以第4个图树枝有个图树枝有2+28=18个，第个，第5个图树枝有个图树枝有2+218=38个个第第6个图树枝有个图树枝有2+238=78，第，第7个图有树枝个图有树枝2+278=158个个提高训练提高训练 5首先熟悉表中的规律首先熟悉表中的规律10 a 21 1234246836912481216第一行是连续的自然数第一行是连续的自然数
18、第第2行行=2第第1行，第行，第3行行=3第第1行，行，若若10在第在第1行，则行，则a下的数应为下的数应为113，不可能，不可能若若10在第在第2行，则行，则a下的数应为下的数应为64=24，不可能，不可能然后看数字然后看数字10在第几行在第几行因因10不能被不能被3、4整除，所以它不在第整除，所以它不在第3、4行行若若10在第在第5行，则行，则a下的数应为下的数应为37=21，这时，这时a=18若若10在第在第10行，则行，则a下的数应为下的数应为212=24, 不可能不可能所以正确答案所以正确答案为为a=18成就测试成就测试1n+3 2每每8个数字占个数字占2行，前行，前48个数字占个数
19、字占12行，行， 所以所以47应在第应在第12行，第行，第2列列第一列第一列第二列第二列第三列第三列第四列第四列第五列第五列第一行第一行2468第二行第二行16141210第三行第三行18202224第四行第四行323028263（1）13， （2）每一个图案都比上一个多每一个图案都比上一个多3个白个白 色方格，第色方格，第n个图案应比第一个图案个图案应比第一个图案 多多3(n1)个白色方格，因为第一个图案个白色方格，因为第一个图案 是是4个白色方格，所以第个白色方格，所以第n个图案有个图案有 4+3(n1)= 3n+1 45图形中，从左下角的一个点都引出图形中，从左下角的一个点都引出 4条线，而每条对角线上的点数（除左下条线，而每条对角线上的点数（除左下 角的一个点外）恰好等于图形的序号角的一个点外）恰好等于图形的序号n与与 1的差的差 所以第所以第n的图中有的图中有4(n1)+1=4n3第第2个个s=5第第1个个s=1第第3个个s=9第第4个个s=13
