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1、侵权必究,第十二章 全等三角形,12.3,角的平分线的性质,第,1,课时,角平分线的性质,目录页,讲授新课,当堂练习,课堂小结,新课导入,新课导入,教学目标,教学重点,学习目,标,1.,通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理,.,（难点）,2.,能运用角的平分线性质解决简单的几何问题,.,（重点）,新课导入,问题,1,：,再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,对折,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等,的角,.,你有什么办法？,A,O,B,C,新课导入,问题,2,：,如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？,问题3：,如图，是一个角
2、平分仪，其中,AB=AD,BC=DC.,将点,A,放在角的顶点,AB,和,AD,沿着角的两边放下,沿,AC,画一条射线,AE,AE,就是角平分线，你能说明它的道理吗,?,A,B,C,(,E,),D,其依据是,SSS,，两全等三角形的,对应角相等,.,讲授新课,典例精讲,归纳总结,讲授新课,1,尺规作角平分线,问题,：,如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？,A,B,O,做一做：,请大家找到,用尺规作角的平分线的方法，并,说明作图,方法与仪器的,关系,.,提示：,(1),已知什么？求作什么？,(2),把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样
3、在作图中体现这个过程呢,?,(3),在平分角的仪器中，,BC=DC,，怎样在作图中体现这个过程呢？,(4),你能说明为什么,OC,是,AOB,的平分线吗？,讲授新课,A,B,M,N,C,O,已知,:,AOB,.,求作：,AOB,的平分线,.,仔细观察步骤,作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢,!,作法：,（,1,）以点,O,为圆心，适当长为半径画弧，交,OA,于点,M,，交,OB,于点,N,.,（,2,）分别以点,MN,为圆心，大于,MN,的长为半径画弧，两弧在,AOB,的内部相交于点,C,.,（,3,）画射线,OC,.,射线,OC,即为所求,.,已知：平角,AOB.,求作：平角,A
4、OB,的角平分线,.,结论：,作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法,.,A,B,O,C,如,图所,示，已知,AOB,，求作：,AOM,AOB,.,练一练,导引：,要作射线,OM,，使,AOM,AOB,，其实质是作,AOB,的平分线,A,B,O,作法：,(1),以点,O,为圆心，适当长为半径画弧，交,OA,于点,E,，交,OB,于点,F,；,(2),分别以点,E,，,F,为圆心，大于,EF,的长为半径画弧，两弧在,AOB,的内部交于点,C,；,(3),画射线,OC,；,(4),同理，作,AOC,的平分线,OM.AOM,即为所求,(,如上图所示,),角平分线的性质,2,1,.
5、,操作测量,：取点,P,的三个不同的位置，分别过点,P,作,PD,OA,，,PE OB,点,D,、,E,为垂足，测量,PD,、,PE,的长,.,将三,次数据填入下表：,2.,观察测量结果，猜想线段,PD,与,PE,的大小关系，写出结果：,_,PD,PE,第一次,第二次,第三次,PD=PE,C,O,B,A,p,D,E,实验：,OC,是,AOB,的平分线，点,P,是射线,OC,上,的,任意,一点,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,已知：如图，,AOC,=,BOC,点,P,在,OC,上，,PD,OA,，,PE,OB,，垂足分别为,D,，,E,.,求证：,PD=PE,.,P,A,O,B,
6、C,D,E,证明：,PD,OA,，,PE,OB,，,PDO,=,PEO,=90.,在,PDO,和,PEO,中，,PDO,=,PEO,，,AOC=BOC,，,OP=OP,，,PDO,PEO,(AAS).,PD=PE,.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,验证猜想,性质定理：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,应用所具备的条件：,（,1,）角的平分线；,（,2,）点在该平分线上；,（,3,）垂直距离,.,定理的作用：,证明线段相等,.,应用格式：,OP,是,AOB,的平分线，,PD=PE,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个,.,PD,OA,PE,OB,，,B,A,D,O,P
7、,E,C,知识要点,如图，在,ABC,中，,C,90,，,AD,平分,CAB,，,DE,AB,于,E,，,F,在,AC,上，,BE,FC,，求证：,BD,DF,.,导引：,要证,BD,DF,，可考虑证两线段所在的,BDE,和,FDC,全等，两个三角形中已有一,角和一边相等，只要再证,DE,CD,即可，这,可由,AD,平分,CAB,及垂直条件证得,例,1,在,BDE,和,FDC,中，,DE,=,CD,DEB,=,C,BE,=,FC,BDE,FDC,BD,=,DF,.,证明：,AD,平分,CAB,，,DE,AB,于,E,，,C,90,，,DE,DC,.,如图，,AM,是,BAC,的平分线，点,P,
8、在,AM,上，,PDAB，PEAC，,垂足分别是,D,、,E，PD=4cm，,则,PE=_cm.,B,A,C,P,M,D,E,4,温馨提示：,存在两条垂线段直接应用,例,2,A,B,C,P,变,式：,如图,，,在,Rt,ABC中，AC=BC,C,90,，,AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.,（1）则点P到AB的距离为_.,D,4,温馨提示：,存在一条垂线段构造应用,A,B,C,P,变式：,如图，在,Rt,ABC中，AC=BC，C90,0,，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，,AB=14.,（,2,）求,APB,的面积,.,D,（,3,）求PDB的周长,.,AB,P,D,=2
9、8.,由垂直平分线的性质，可知，,PD=PC=4,，,=,1,、应用角平分线性质：,存在,角平分线,涉及,距离问题,2、联系角平分线性质：,面积,周长,条件,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,知识与方法,当堂练习,当堂反馈,即学即用,当堂练习,2,、,ABC,中,C=90,AD,平分,CAB,，且,BC,=8,，,BD,=5,，则点,D,到,AB,的距离是,.,A,B,C,D,3,E,1,、如图，,DE,AB,，,DF,BG,，垂足分别是,E,，,F,，,DE=DF,，,EDB,=60,，则,EBF,=,度，,BE,=,.,60,BF,E,B,D,F,A,C,G,当堂练习,3,、
10、如图，在,ABC,中，,AB,=,AC,，,AD,是,BAC,的角平分线，,DE,AB,，,DF,AC,，垂足分别是,E,、,F,，则下列四个结论：,AD,上任意一点到点,C,、点,B,的距离相等；,AD,上任意一点到,AB,，,AC,的距离相等；,BD,=,CD,，,AD,BC,；,BDE,=,CDF,其中，正确的个数是（）,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,D,当堂练习,4,、如图，已知在,ABC,中，,CD,是,AB,边上的高线，,BE,平分,ABC,，交,CD,于点,E,，,BC,50,，,DE,14,，则,BCE,的面积等于,_,350,当堂练习,5,、如图，在直线,M
11、N,上求作一点,P,，使点,P,到射线,OA,和,OB,的距离相等,.,解：如图，过,O,作,AOB,的平分线，与直线,MN,交于点,P,，,点,P,即为所求作的点,当堂练习,E,D,C,B,A,6,8,10,6,、在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：,(1)哪条线段与DE相等？为什么？,(2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长.,解：,(1),DC=DE.,理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等,.,（,2,）在,Rt,CDB,和,Rt,EDB,中，,DC,=,DE,，,DB,=,DB,，,Rt,CDB,Rt,EDB,(HL),，,BE,BC=,8.
12、,AE,AB-BE=,2.,AED,的周长,=,AE+ED+DA=,2+6=8.,当堂练习,7,、如图，已知,AD,BC,，,P,是,BAD,与,ABC,的平分线的交点，,PE,AB,于,E,，且,PE,=3,，求,AD,与,BC,之间的距离,.,解：过点,P,作,MN,AD,于点,M,，交,BC,于点,N,.,AD,BC,，,MN,BC,，,MN,的长即为,AD,与,BC,之间,的距离,.,AP,平分,BAD,PM,AD,PE,AB,，,PM,=,PE.,同理，,PN,=,PE.,PM,=,PN,=,PE=,3,.,MN=,6.,即,AD,与,BC,之间的距离为,6.,当堂练习,8,、如图所示，D是ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.,证明：,CD,是,ACG,的平分线，,DE,AC,，,DF,CG,，,DE,DF,.,在,Rt,CDE,和,Rt,CDF,中，,Rt,CDE,Rt,CDF,(HL),，,CE,CF,.,课堂小结,归纳总结,构建脉络,课堂小结,角平分线,尺规作图,属于基本作图，必须熟练掌握,性质定理,一个点：,角平分线上的点；,二距离：,点到角两边的距离；,两相等：,两条垂线段相等,辅助线,添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,
