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1、第七节第七节 解析函数与调和函数解析函数与调和函数的关系的关系 一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考一、调和函数的定义定义定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.拉普拉斯拉普拉斯二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系两者的关系定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理, 证毕证毕2. 共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 区域区域D内的解析函数
2、的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数和函数. .3. 偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而从而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1 得得一个解析函数一个解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为答案答案课堂练习课堂练习例例2 解解所求解析函数为所求解析函数为4. 不定积分法不定积分法不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程:将上两式积分将上两式积分, 得得例例3 3解解根据调和函数的
3、定义可得根据调和函数的定义可得所求解析函数为所求解析函数为用不定积分法求解例用不定积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 例例4 4解解例例5 解解用不定积分法求解例用不定积分法求解例2中的解析函数中的解析函数 例例6 解解两边同时求导数两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得三、小结与思考 本节我们学习了调和函数的概念、解析函数本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应应注意注意的是的是: 1. 任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数. 2. 满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux= vy, vx= uy,的的v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数, u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .
