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1、二项式定理二项式定理-(1)-(1) (a+b) (a+b) C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？问题：问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数代表着这些项在展开式各项前的系数代表着这些项在展开式 中中出现的次数出现的次数a4 a3b a2b2 ab3 b4都都不不取取b取
2、取一一个个b 取取两两个个b 取取三三个个b 取取四四个个b 项项系数系数C40C41C42C43C44(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？发现规律：发现规律：对于（对于（a+ba+b）n n= =的展开式中的展开式中a an-rn-rb br r的系数是在的系数是在n n个括号中，恰有个括号中，恰有r r个个括号中取括号中取b(b(其余括号中取其余括号中取a)a)的组合数的组合数 . .那么，那么，我们能不能写出我们能
3、不能写出(a+b)(a+b)n n的展开式？的展开式？ 将将(a+b)n展开展开的结果的结果又又是是怎怎样样呢？呢？ 归纳提高归纳提高 引出定理，总结特征引出定理，总结特征二项展开式定理二项展开式定理:一般地，对于一般地，对于n N*n N*，有：，有： 这个公式表示的定理叫做这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式定理，公式，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做叫做二项展开式的通项二项展开式的通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.展开式展开式
4、二项式系数二项式系数r+1n+12.二项式系数规律：二项式系数规律：3.指数规律：指数规律：（1）各项的次数）各项的次数和均为和均为n；（2）二项和的）二项和的第一项第一项a的次数的次数由由n逐次降到逐次降到0， 第二项第二项b的次数的次数由由0逐次逐次升到升到n.1.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1个项个项二项展开式定理二项展开式定理:特别地特别地: 2、令、令a=1，b=x1、把、把b用用- -b代替代替 (a-b)n= Cnan-Cnan-1b+ +(-1)rCnan-rbr + +(-1)nCnbn01rn3、二项展开式定理二项展开式定理:注：注：1）注意对二项式定理的）
5、注意对二项式定理的灵活应用灵活应用.2）注意区别）注意区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念二项式系数二项式系数为为 ；项的系数项的系数为：为：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积解解:解解:第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 第六项的系数为第六项的系数为 (2)1.1.二项式定理：二项式定理： (nN(nN* *) )。特点：特点：二项展开式共有二项展开式共有n+1n+1项；项； 二项展开式按二项展开式按a 的降幂和的降幂和b 的升幂排列，且各的升幂排列，且各项中项中a和和b的指数和都等于的指数和都等于n n； 二项展开式各项的系数依次为二项展开式各项的系
6、数依次为 2.2.二项展开式的通项：二项展开式的通项：3.3.二项式系数：是指二项展开式中各项的组合数，即：二项式系数：是指二项展开式中各项的组合数，即：二项展开式系数：二项展开式系数：是指二项展开式中各项的系数是指二项展开式中各项的系数二项式系数二项式系数一定为正，项的系数可正，可负。一定为正，项的系数可正，可负。 解解:第四项系数为第四项系数为280 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？例例4(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项
7、；如果没有，说明理由没有，说明理由.解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则：由题意可知，由题意可知，故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项项，常数项常数项常数项即常数项即 项项.例例4(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.解：解： 的展开式的通项公式为：的展开式的通项公式为：点评：点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由求常数项、有理项等特殊项问题一般由通通项公式入手分析项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的，综合性强，考点多且对思维的严密
8、性要求也高严密性要求也高.有理项即有理项即整数次幂整数次幂项项 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？练习：练习：1、求、求 的展开式常数项的展开式常数项 解解:2、求、求 的展开式的的展开式的中间项中间项 解解:展开式共有展开式共有10项项,中间两项是第中间两项是第5、6项项课堂小结：课堂小结： 二项式定理是初中多项式乘法的延二项式定理是初中多项式乘法的延伸，又是后继学习概率的基础，要理解和伸，又是后继学习概率的基础，要理解和掌握好展开式的规律，利用它对二项式展掌握好展开式的规律，利用它对二项式展开，进行相应的计算与证明；开，进行相应的计算与证明； 要注意要注意“系数系数”、“二项式系数二项式系数”等概念的区别与联系，对二项式展开式的等概念的区别与联系，对二项式展开式的特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式. .
