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1、第一章第一章 矢量分析与场论矢量分析与场论标量场和矢量场标量场和矢量场梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度矢量场的初等运算矢量场的初等运算矢量场的微、积分矢量场的微、积分 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理场的图示法场的图示法1.1 1.1 常用坐标系正交系常用坐标系正交系 - -x x X=C X=C；是一截距；是一截距为C C且与且与X X轴的平面的平面直角直角 x,y,z - x,y,z -y y Y=C Y=C；是一截距；是一截距为C C且与且与Y Y轴的平面的平面 - -z z Z=C Z=C；是一截距；是一截距为C C且与且与Z Z轴的平面的平面 0 0 =C=C；是一；是一Z Z轴为轴心半心半
2、径径为C C的柱面的柱面圆柱柱 , ,z 0 ,z 0 2 2 =C=C；是一；是一过Z Z轴的半平面子午面的半平面子午面 - -z z Z=C Z=C；是一截距；是一截距为C C且与且与Z Z轴的平面的平面 0r 0r r=C r=C；是一；是一O O点点为中心中心C C为半径的球面半径的球面球面球面 r, r, , 0 0 =C=C；O O为顶点点Z Z为中心中心轴C C为半半顶角角 的的圆锥面面 0 0 2 2 =C=C；是一；是一过Z Z轴的半平的半平面子午面面子午面方式方式 坐标坐标 取值范围取值范围 几何意义几何意义z z z zz zx xy yO OO OO Ox xx0 y0
3、 z0x0 y0 z0r r x xy y 0 0 0 z00 z0r0 r0 0 0 0 0 三种正交系的相互关系三种正交系的相互关系z zx xy y r r X=cos = rsin cosY=sin = rsin sinZ=rcosr2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2= rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r)cos = (x/r) cos = (y/r)cos = (z/r)cos2 +cos2 +cos2 = 11.2 1.2 标量与矢量标量与矢量物理量通常是时间和空间的函数物理量通常是时间和空间的函数描画空间的数学言语是坐标描画空间的数学言语
4、是坐标描画物理量的数学言语是标量和矢量描画物理量的数学言语是标量和矢量标量标量A A：只需大小没有方向的物理量：只需大小没有方向的物理量矢量矢量A A：即有大小又有方向且符合平行四边形法那么的物理量。：即有大小又有方向且符合平行四边形法那么的物理量。 算数量：算数量：0 0代数量：代数量：00不不变量：量：ABAB标量与矢量复数1.3 1.3 标量场与矢量场标量场与矢量场物质粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。场：某一物理量在空间的分场
5、：某一物理量在空间的分布称场布称场标量场：其物理量为标量的标量场：其物理量为标量的场场矢量场：其物理量为矢量的矢量场：其物理量为矢量的场场场物理量场场 A或或A静态场静态场: AM 均匀场均匀场: At动态场动态场 均匀平面场均匀平面场: Az,t) 普通时变场普通时变场: A(M,t)1.4 1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢坐标单位矢量、常矢、变矢单位矢量单位矢量 eA : eA : 模模( (大小大小) )为为1,1,以矢量以矢量 A A 的方向为方向的矢量。的方向为方向的矢量。 坐标单位矢量：指坐标线矢量上的单位矢量。坐标单位矢量：指坐标线矢量上的单位矢量。 假设将坐标线标上方向那么该坐
6、标线称坐标(线)矢量e直角：直角：球面：球面：ex ey ez圆柱：柱： e ej ezerej对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量：常矢：大小和方向均不变的矢量。常矢：大小和方向均不变的矢量。变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。有了单位矢量,矢量A就可表现为如下方式： = Axex + Ay ey + Az ez = A e + Ae + Az ez= Ar er+Ae+AeA = A eA ？eexerezeyeejA矢量场的不变性A eAA1eA = A/A 1.5 1.5 源点、场点、矢径、间隔矢量源点、场点、矢径、间隔矢量矢径矢径(r)
7、(r)：由：由O O点指向空间任一点点指向空间任一点M M的矢量的矢量OM OM 用用 r r 表示称矢径。表示称矢径。 r = x ex + y ey + z ez = e + z ez = r er 矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。源点：源所占有的空源点：源所占有的空间位置称源点，用符号位置称源点，用符号SS表示。表示。场点：除源以外的其它空点：除源以外的其它空间位置称位置称场点，用符号点，用符号P P表示。表示。间隔矢量隔矢量 R R：由源点指向：由源点指向场点的矢量，点的矢量， 用符号用符号 R R 表示。表示。 R = r - r R =
8、 r - r场点：点：r = x ex + y ey + z ez = e + z ez = r err = x ex + y ey + z ez = e + z ez = r er源点：源点：r = xex + yey + zez = r = xex + yey + zez = e+zez = rere+zez = rer源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：SPRrr1.5 1.5 源点、场点、矢径、间隔矢量源点、场点、矢径、间隔矢量例：知，例：知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：求：A及及r 在点在点P(1,2,2)的
9、值，且图示。的值，且图示。 留意：矢径和矢量的区别留意：矢径和矢量的区别解：解： 求求值 r = x ex + y ey + z ez 由由题意可知：意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入将此代入A及及r 得：得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez rA 图示示P(1,2,2)1.6 1.6 矢量的初等运算矢量的初等运算矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除且以各矢量同在某一点为前提加减乘设：A = Axex + Ay ey + Az ez， B = Bxex + By ey + Bz ezAB = (Ax Bx ) ex +
10、 (Ay By ) ey + ( Az Bz ) ez 标乘点乘叉乘A = Axex + Ay ey + Azez AB = ABcos(AB ) = AxBx + AyBy + Az Bz 性质：1、假设 AB = 0 那么 AB 2、 AA = A2 AB = ABsin(AB )en = ex ey ez Ax Ay AzBx By Bz性质：1、假设 AB = 0 那么 AB 2、 AA = 0ABABen1.6 1.6 矢量的初等运算矢量的初等运算矢量初等运算规那么(设：A 、B、C 都是矢量)A+B = B+A ; A(BC) = (AB ) CAB =BA ; A(B+C) =
11、AB+ACAB = - BA ; A (B+C) = AB+AC A(BC) = B (CA) = C (AB)(AB) C A (BC) ; A (BC) (AB) CA (BC) = (A C) B - (AB) C Ax Ay Az ABC = BCA = CAB = Bx By Bz Cx Cy Cz 假假设 B=C 那么那么 AB = A C及及AB = A C 成立成立假假设 AB = A C及及AB = A C 那么那么 B=C不一定成立不一定成立结论：等式两边可同时“点和“叉， 但不能随意消去一样的量CAB1.7 1.7 坐标变换坐标变换1、不同坐、不同坐标系的系的变换例：例：
12、=1/x2 + y2 + z2 = 1/2 + z2 = 1/ r2、坐、坐标平移平移例：假例：假设电荷荷q位于坐位于坐标原点原点O，那么，那么电位位=kq /x2 + y2 + z2 假假设将将电荷荷q 置于坐置于坐标点点 s(xyz)处,求求电位位的表达式。的表达式。解：将坐解：将坐标点点 s定定义为新坐新坐标系系(u,v,w)的原点的原点O那么：那么：=kq /u2 + v2 + w2 = kq /(x-x)2 + (y-y)2 + (z-z)2OOuwvzxyqq3、坐、坐标旋旋转坐坐标系是一系是一钢架，架，当某一当某一轴替代另一替代另一轴时， 其它其它轴也也应相相应变换。OxzyOy
13、xzOxzy原坐标原坐标新坐标新坐标1.7 1.7 坐标变换坐标变换4 4、坐、坐标单位矢量的位矢量的变换设：u u 和和 v v 分分别为正交坐正交坐标系系ev1 = cos(ev1eu1)eu1ev1 = cos(ev1eu1)eu1 cos(ev1eu2)eu2 cos(ev1eu2)eu2cos(ev1eu3 )eu3 cos(ev1eu3 )eu3 = (ev1 eu1 ) eu1 = (ev1 eu1 ) eu1 (ev1 eu2) eu2 (ev1 eu2) eu2(ev1 eu3 ) eu3 (ev1 eu3 ) eu3 同理：同理： ev2 = (ev2 eu1 ) eu1
14、ev2 = (ev2 eu1 ) eu1 (ev2 eu2) eu2 (ev2 eu2) eu2(ev2 eu3 ) (ev2 eu3 ) eu3 eu3 ev3 = (ev3 eu1 ) eu1 ev3 = (ev3 eu1 ) eu1 (ev3 eu2) eu2 (ev3 eu2) eu2(ev3 eu3 ) eu3 (ev3 eu3 ) eu3 用矩用矩阵表示：表示： ev1 ev1 eu1 ev1 eu2 ev1 ev1 eu1 ev1 eu2 ev1 eu3 eu1ev1 eu3 eu1 ev2 = ev2 eu1 ev2 eu2 ev2 = ev2 eu1 ev2 eu2 ev2
15、eu3 eu2ev2 eu3 eu2 ev3 ev3 eu1 ev3 eu2 ev3 ev3 eu1 ev3 eu2 ev3 eu3 eu3 ev3 eu3 eu3 eu1eu3eu2ev1以上讨论的是普通正交系的转换，由此可得：以上讨论的是普通正交系的转换，由此可得：直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换1.7 1.7 坐标变换坐标变换exezeyer方法一：方法一：由普通式，且由普通式，且设：u u为直角坐直角坐标系、系、 v v为球坐球坐标
16、系，那么有：系，那么有： er er ex er ey er er er ex er ey er ez exez ex e = e ex e ey e = e ex e ey e ez eye ez ey e e ex e ey e e ex e ey e ez ez e ez ez cos cos cos ex = er(+90,) ex er(+90,) ey er(+90,) ez ey er(90,+90)ex er(90,+90)ey er(90,+90)ez ez sin cos sin sin cos ex= sin(+90) cos sin (+90) sin cos (+90
17、) ey sin90 cos(+90) sin90 sin(+90) cos90 ez sin cos sin sin cos ex= cos cos cos sin -sin ey -sin cos 0 ez 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换1.7 1.7 坐标变换坐标变换方法二：方法二：exezeyer er = sin cos ex + sin sin ey+ cos ezezexeysinsinsinere = cos cos ex + cos sin ey sin ezexezeyerezexeycoscosercosee = -sin e
18、x + cos ey exeye例：知，在点例：知，在点P(1,1,0)处有一常矢量有一常矢量 A = 2ex + 4 ey + 2 ez 求：求：A在在该点的球坐点的球坐标表达式。表达式。 求：求：A在在(2,2,2)点点处的直角坐的直角坐标和球坐和球坐标表达式。表达式。对于点于点(1,2,2)： sin = 1， sin=1/ 2， cos=0， cos=1/ 2 因此：因此：ex = 1/2er-1/2e ， ey = 1/2er+1/2e , ez = e A = 32er 2 e +2 e对于点于点(2,2,2) ： sin = sin= cos= cos=1/2 因此：因此：ex
19、= 1/2er+1/2e -1/2e , ey = 1/2er+1/2e +1/2e ez = 1/2 er-1/2 e 球：球： A =(3+2)er +(3 -2)e 2e 直：直：ex ,ey ,ez为常矢常矢 ，因此，因此A不随点不随点变化化 A = 2ex +4ey +2ezex = sin cos er + cos cos e - sin e ey = sin sin er + cos sin e + cos e ez = cos er sin e 解：解：以上以上结果果显示：示： 同一矢量同一矢量 ，在同一点其直坐，在同一点其直坐标和球坐和球坐标表达式是完全不同的。表达式是完全不
20、同的。 但由矢量但由矢量场的不的不变性可知：性可知：对于点于点(1,2,2)： A = 32er 2 e +2 e = 2ex + 4 ey + 2 ez对于点于点(2,2,2) :A =(3+2)er +(3 -2)e 2e= 2ex +4ey +2ez 同一常矢量同一常矢量 ，在不同点其直坐，在不同点其直坐标下的表达式是不下的表达式是不变的，的， 而球坐而球坐标下的表达式是完全不同的。下的表达式是完全不同的。这提示我们不要由于表达式的差别而忘了它们的不变性这提示我们不要由于表达式的差别而忘了它们的不变性即：无论他选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。即：无论他选择那种坐标，所得到的场性能
21、都是一样的。这阐明除直坐标外：这阐明除直坐标外：坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也能够变。坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也能够变。对于每一种坐标系每个坐标点都与独一的一组坐标轴对应对于每一种坐标系每个坐标点都与独一的一组坐标轴对应对于柱或球坐于柱或球坐标系每条系每条或或r射射线都与独一的一都与独一的一组坐坐标轴对应1.8 1.8 微分元微分元 微分元是矢量微、积分的根底。微分元是矢量微、积分的根底。坐坐标线元元dxdxdydydzdzdddddzdzdrdrrdrd rsind rsind 坐坐标平面元平面元dd 假假设: : 那么那么d=d=x=c, dydzx=c, dydzy=c,
22、 dxdzy=c, dxdzz=c, dxdyz=c, dxdy=c, =c, ddzddz=c, ddz=c, ddzz=c, z=c, ddddr=c, r=c, r2sinddr2sindd=c, =c, rsindrdrsindrd=c, =c, rdrdrdrd坐坐标体元体元dvdvdxdydzdxdydz dddz dddz r2sindrddr2sindrdddx=dy=dz=d=d=dz=dr=d=d=ex ey ez e ej ezer e e坐标元坐标元恣意元恣意元坐坐标元元dxdx直直 dy dydzdzdd柱柱 d ddzdzdrdr球球 d dddendx =dy =
23、dz =d =d =dz =dr =d =d = en en en en en en en enenyxzendxdzdydz=dxdyezdz=-dxdyezyxzdzdd=dedd=ddze yxzddrrddl = -dxex+dyey+dzez = de +dej+dzez = drer- rde +rsinde en ds dz s yxzdxdydz l dlyxzdrsinddrer-rder rdrdr 弧弧长元元( (切切线)dl = dle )dl = dle 直：直：= dx+dy+dz =dxexdyeydzez = dx+dy+dz =dxexdyeydzez dl=
24、dx2+dy2+dz2dl=dx2+dy2+dz2柱：柱：= d+d+dz=de dejdzez = d+d+dz=de dejdzez dl=d2+(d)2+dz2dl=d2+(d)2+dz2球：球：=dr+d+d=drerrde rsinde =dr+d+d=drerrde rsinde dl=dr2+(rd)2+(rsind)2dl=dr2+(rd)2+(rsind)2 曲面元曲面元( (切面切面) ds = dsen ) ds = dsen 直直: =dx+dy+dz=dydzexdxdzeydxdyez : =dx+dy+dz=dydzexdxdzeydxdyez ds=(dydz)
25、2+(dxdz)2+(dxdy)2ds=(dydz)2+(dxdz)2+(dxdy)2柱柱: =d+d+dz=ddzeddzejddez : =d+d+dz=ddzeddzejddez ds=(ddz)2+(ddz)2+(dd)2ds=(ddz)2+(ddz)2+(dd)2球球: =dr+d+d : =dr+d+d =r2sindderrsindrderdrdej =r2sindderrsindrderdrdej ds=(r2sindd)2+(rsindrd)2+(rdrd)2ds=(r2sindd)2+(rsindrd)2+(rdrd)2dd概念：1.8 1.8 微分元微分元坐标：空间某点的
26、位置可用三个坐标坐标：空间某点的位置可用三个坐标( (例：例：xyz)xyz)独一确定。独一确定。坐标线：例：当坐标线：例：当y=a,z=c(a,cy=a,z=c(a,c为常数为常数) )而而 x x 延续变化所构成的轨迹延续变化所构成的轨迹 称称 x x 坐标线。显然坐标线。显然 和和 坐标线为一族同心圆和半坐标线为一族同心圆和半圆。圆。 坐坐标线元：指与坐元：指与坐标元元对应的坐的坐标线，即坐，即坐标线上由坐上由坐标元引起的元引起的 一微小一微小线段。段。显然，与然，与dd，dd对应的是一微小的曲的是一微小的曲线， 很微小，很微小，可可视为直直线因此与坐因此与坐标轴重合。重合。这阐明：明：
27、坐坐标线元可用矢量表示，方向以坐元可用矢量表示，方向以坐标轴方向方向为基准。基准。 过某点引出的三条坐某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。元是相关垂直的。坐标面元坐标面元: :两条相关垂直的坐标线元构成的平面两条相关垂直的坐标线元构成的平面, ,显然这是一矩形。显然这是一矩形。弧弧长元元( (切切线)dl: )dl: 由空由空间某点某点P P可引出多条恣意曲可引出多条恣意曲线，由，由P P点起沿某点起沿某曲曲线取一小段取一小段( (即增量即增量l ) ,l ) ,且且过P P点作点作该曲曲线的切的切线，切，切线上与上与增量增量l l 相相应的切的切线元元dl dl 称弧称弧长元，元，显然它是恣
28、意方向上的然它是恣意方向上的线元。元。曲面元曲面元( (切面切面) ds) ds：与恣意曲面在某点的增量：与恣意曲面在某点的增量s s 相相对应的切面元。的切面元。坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴, ,方向为坐标增大的方向。方向为坐标增大的方向。 显然，只需显然，只需x,y,zx,y,z轴的方向不变，其它坐标轴的方向轴的方向不变，其它坐标轴的方向会变。会变。坐标元：坐标的微分量。坐标元：坐标的微分量。1.9 1.9 矢量积分矢量积分矢量矢量场通常是通常是时间、空、空间的函数，而的函数，而时间、空、空间分分别是独立的，是独立的，对它它们的的积分可分分可分别讨论
29、，以使，以使计算算简化。化。对时间的积分对时间的积分对空间的积分对空间的积分1 1、对时间的积分、对时间的积分设：A = A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3A dt = A1eu1 dt + A2 eu2 dt + A3 eu3 dt = eu1 A1 dt + eu2 A2 dt + eu3 A3 dt本教材假定所研本教材假定所研讨的的对象是不运象是不运动的，即坐的，即坐标原点原点O O静止。静止。因此，因此，单位坐位坐标矢量是不随矢量是不随时间而而变化的化的它它们可以提到可以提到积分号外。分号外。例：矢量例：矢量 A = t2xex + 2ty ey + z ez A = t2
30、xex + 2ty ey + z ez 求：求：1 A dt 1 A dt 0解：解： 1 A dt =(3t2xex + 2ty ey + z ez )dt = 3xex t2 dt + y ey2t dt+ z ez dt = xex + y ey + z ez 0101010101.9 1.9 矢量积分矢量积分标性标性矢性矢性A dl = Acos(A,dl) dl =(Axdx + Ay dy + Az dz) = (Ad+Ajd+Azdz) =(Ardr+ Ard +Ajrsind) A ds = Acos(A,ds) ds =Axdydz + Aydxdz + Azdxdy =Ad
31、dz+Ajddz+Azdd =Arr2sindd+Arsindrd+Ajrdrdfdv =f dxdydz =f dddz = f r2sindrdd 2 2、对空间的积分、对空间的积分标性标性矢性矢性根据积分结果可分为两类根据积分结果可分为两类 f dl = exfdx + eyfdy + ez fdzA dl = exAxdl + eyAydl + ezAzdl e d = ex cosd + ey sin d = 0 - - -例：例： e d e d -解：解： e = excos + eysin 一、定义：1.10 1.10 矢量微分矢量微分设：A (u1, u2, u3 , t)=
32、 A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3A (u1 +u1, u2, u3 , t) - A (u1 , u2, u3 , t) A u1 u1= limu1 0 假设：假设：二、公式：三、运算那么：称矢量那么：称矢量 A A 是对自变量是对自变量 u1 u1 偏导数。依此类推可得其它偏导数偏导数。依此类推可得其它偏导数Au1=+ Au1u1A(AB)u1Bu1Au1 = A + B(AB)u1Bu1Au1 = A+ BCu1 = 0；(A+B)u1Bu1Au1 = +假设：假设：u1 = u1 (t),u1 = u1 (t),At那么那么: = Au1du1dt = A2u1u2A2
33、u2u1由式由式可将矢量可将矢量A A 的偏的偏导数用分量方式表示数用分量方式表示Au1A1u1A3u1= eu1+eu2+eu3+A1+A2A3 A2u1eu1 u1eu2u1eu3 u11.10 1.10 矢量微分矢量微分设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu31 1、对坐标单位矢量的偏导、对坐标单位矢量的偏导 = 0；te时间：时间：空间空间球：(er,e ,ej ) r = 0；柱：(e ,ej , ez ) (z,r,) = 0；直：(ex , ey , ez ) (x,y,z,r,) = 0；e = ejej = -ee = ej证
34、：证：将式代入原式： e = excos + eysin ej = - exsin + eycos e = (excos + eysin ) = - exsin + eycos = ej 与式相比，原式得证运算对时间的微分对时间的微分对空间的微分对空间的微分对坐标单位矢量的偏导对坐标单位矢量的偏导对矢量函数的偏导对矢量函数的偏导设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导AtA1tA3t= eu1 + eu2 + eu3A2t直： A Ax Ay Az
35、x x x x = ex+ ey + ez ； 时间：时间：空间空间柱：A A A Az = e + ej + ez 2 2、对矢量函数的偏导、对矢量函数的偏导 A A A Az = e + Aej + ej - Ae + ez A Ar A A = er + Are + e - Aer + ej球：A Ar A A r r r r = er + e + ej = Axex + Ay ey + Az ez = Ar er + Ae + Ae Au1A1u1A3u1= eu1+eu2+eu3+A1+A2A3 A2u1eu1 u1eu2u1eu3 u1= A e + Ae + Az ez1.11
36、1.11 三度、二式、一定理三度、二式、一定理以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进展了讨论以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进展了讨论下面将对数学场论作引见下面将对数学场论作引见三度：三度： 梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度二式：二式： 格林恒等式格林恒等式一定理：亥姆霍兹定理一定理：亥姆霍兹定理定义定义表达式表达式辅助量辅助量性质性质公式公式1.11 1.11 三度、二式、一定理三度、二式、一定理梯度梯度: :是一矢量，研讨数量场是一矢量，研讨数量场u u沿某途径变化率可达最大的问题。沿某途径变化率可达最大的问题。由数量由数量场u 的某点可延伸出的某点可延伸出许多条直多条直线途径途径l
37、,而而这每一个每一个 l 又又 分分别是每一族曲是每一族曲线在在该点的切点的切线 (如如图示示) 。由。由导数的定数的定义可知，可知，数量数量场u 沿曲沿曲线只需是同一族曲只需是同一族曲线包括切包括切线 l 在内其在内其变化率是相化率是相同的。因此可将研同的。因此可将研讨数量数量场 u 沿曲沿曲线变化的化的问题转化化为沿直沿直线变化的化的问题。显然只需沿着不同的直然只需沿着不同的直线途径途径l 其其变化率才不同，但化率才不同，但只需沿其中的一条途径只需沿其中的一条途径l 变化其化其变化率可达最大。化率可达最大。 du dlG最大 G = grad u = eG定义在某数量场定义在某数量场u u
38、 中某一点中某一点M0 M0 处，存在这样的一处，存在这样的一个矢量个矢量G G，函数，函数u u 在点在点M0 M0 沿沿G G的方向发生变化，其变化率最大且模的方向发生变化，其变化率最大且模G G正好等于变化率，正好等于变化率，即定义式：即定义式： 我们称矢量我们称矢量G G为为u u 在点在点M0M0处的梯度，用符号处的梯度，用符号grad u grad u 表示。由该定义可得如下关系：表示。由该定义可得如下关系：由此定义式可导出更具实意图义的表达式由此定义式可导出更具实意图义的表达式M0 ullGlG u u u x y z 直：gradu = ex+ ey + ez u u u z柱
39、：gradu = e + ej + ez u u u r r rsin 球：gradu = er + e + ej表达式表达式 x y z = ( ex+ ey + ez )u =u z= ( e + ej + ez )u =u r r rsin = ( er + e + ej )u =u 哈密哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符算符，是一矢性的微分算符有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进展有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进展梯度梯度 u u u x y z du = dx+ dy + dz 对u 求全微分，那么有：对上式两边同时除以dl ，及又dl /dl = el , 那么有:= ( e
40、x+ ey + ez )dl u u u x y z又dl = dxex+dyey+dzez ： = ( ex+ ey + ez ) el du u u u dl x y z 推导，以直坐标为例：推导，以直坐标为例：为运算方便，令： 那么有:du/dl=A el ex+ ey + ez=A u u u x y zA是一微分矢量。当是一微分矢量。当u给定后给定后,A在某点的大小和方向是确定不变的在某点的大小和方向是确定不变的el是某途径方向与是某途径方向与u无关。无关。 u可沿不同的途径可沿不同的途径l 变化，即变化，即el可变。可变。du/dl 假设要到达最大，那么u必需沿eA方向变化，即el
41、 = eA因此du/dl=A el =A eA el 应改为：du/dlA最大 =A eA eA =A 这就是说，当u沿A方向变化时，其变化率达最大且正好= A的模 或对上式两边同乘以eA ： du/dlA最大 eA =A eA =A将此与定义相比可知， A就是梯度即：G= A 证毕假设对假设对u u 分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。 辅助量辅助量 方导游数方导游数数量场数量场u u沿某途径沿某途径l l 的变化率称方导游数，记作的变化率称方导游数，记作du/dldu/dl性质性质 共有共有6 6条条 1 1、标量场、标量场u
42、 u的梯度是矢量。的梯度是矢量。2、简化了全微分的表达式：化了全微分的表达式：du =Gdl3 3、方、方导游数是梯度在游数是梯度在该ln ln 方向上的一个分量的模。方向上的一个分量的模。 由前面的推由前面的推导中知：中知：du/dl=G eldu/dl=G ellil2l1Gdu/dl4 4、G G方向方向总是指向是指向u u增大的方向，即增大的方向，即u2 u2 u1 (u1 (在在G G方向上方向上) ) 证:lG du dlG最大 G = eG = G eGl1l2u1u2lG du dlG 即： = G 0又又 各各lnln的方向包括的方向包括lG lG 方向在内均以方向在内均以M
43、0M0为起点向外，起点向外， 即即 各各lnln上的上的l2l2总是是l1 l1 这就是就是说，假，假设dl = l2 - l1 dl = l2 - l1 那么那么dl dl 0 0M0 du u2 - u1 dlG l2 - l1 因此： = 0 u2 - u1 0证毕证毕梯度梯度5 5、G G方向方向为等位等位线( (或面或面) )的法向，即的法向，即eG = en eG = en 等值面：指在三维数量场等值面：指在三维数量场u(x,y,z)u(x,y,z)中，将空间不同位置上但具有相中，将空间不同位置上但具有相等等场值的各点所连成的面。其表达式为：场值的各点所连成的面。其表达式为：u(x
44、,y,z) = Cu(x,y,z) = C证: u(x,y,z) = C du = 0 : u(x,y,z) = C du = 0 因此：因此：du/dl=G el du/dl=G el =Gcos(eG ,el )= 0 =Gcos(eG ,el )= 0 又又 G0 cos(eG ,el ) = 0 G0 cos(eG ,el ) = 0 故：故：eG eleG el 又又 el el 为等位等位线( (或面或面) )的切的切线 eG = en eG = en 证毕等值线：指在二维数量场等值线：指在二维数量场u(x,y,)u(x,y,)中，将空间不同位置上但具有相等中，将空间不同位置上但具
45、有相等场值的各点所连成的线。其表达式为：场值的各点所连成的线。其表达式为：u(x,y,) = C u(x,y,) = C 性质性质梯度梯度eGel6 6、 u = 0 u = 0或或00该式都成立，即式都成立，即该式不能式不能阐明梯度明梯度场能否存在。能否存在。该式式阐明：明： 梯度梯度场假假设存在必是无旋存在必是无旋场。en公式公式梯度梯度例：求例：求u=1-(x/a)2+(y/b)2u=1-(x/a)2+(y/b)2在点在点Mo(a/2,b/2)Mo(a/2,b/2)处 沿曲沿曲线1=(x/a)2+(y/b)21=(x/a)2+(y/b)2的内法的内法线的方的方导游数。游数。Cu =CuC
46、 = 0(uv)=uv(u v)= uvvu(u/v)= (vuuv)/v2f (u)= f (u) u又又 u 2x 2 x a2 a = =2a2a u 2y 2 y b2 b = =2 b2 bMoMoenG=u =( ex + ey )2a2 b那么在点那么在点MoMo处的梯度为：处的梯度为：解：解： du/dl=G el du/dl=G el 由由题意意 el =-en el =-en 即求即求du/dl du/dl =G ( -en )=G ( -en )MoMoMoMo令：令：u=0 u=0 可可见其等位其等位线与与题中的曲中的曲线一一样，这意味着意味着eG = en eG =
47、en 另外，分析上式：另外，分析上式：eG = - en eG = - en 可可见, du/dl =G ( -en ) =G eG = G , du/dl =G ( -en ) =G eG = G = 2(a2 + b2 )/ab= 2(a2 + b2 )/abMoMoMoMoMoMoMoMo1 1、矢量线力线：一种假想的线。、矢量线力线：一种假想的线。v矢量线上任一点的切向就是矢量矢量线上任一点的切向就是矢量A在该点的方向；在该点的方向；v矢量矢量A的大小正比于过的大小正比于过M0点且与力线正交的单位面点且与力线正交的单位面v 积上的矢量线的根数。即力线的疏密表征积上的矢量线的根数。即力线
48、的疏密表征A 的大小；的大小；垂直垂直过曲面曲面通量定通量定义中的曲面是有向曲面即中的曲面是有向曲面即S 是是 矢量，方向以矢量矢量，方向以矢量线穿出穿出为正，有正，有闭及不及不闭面二面二类。 散度散度: :是一标量，研讨矢量场是一标量，研讨矢量场A A在某点处其通量对体积的变化率。在某点处其通量对体积的变化率。辅助量辅助量 通量通量散度散度力线力线通量通量2 2、矢量场的通量、矢量场的通量通量通量:指矢量指矢量A垂直垂直经过某一曲面的矢量某一曲面的矢量线的的总根数。根数。 反映了矢量反映了矢量场通量源的分布情况。通量源的分布情况。曲面：曲面：闭曲面：闭曲面：Ads =Ads =Ads = =
49、 S S由通量及矢量由通量及矢量A 的大小，不难导出求通量的表达式：的大小，不难导出求通量的表达式：散度散度定义设有一矢量场定义设有一矢量场 A(M) A(M)，于场中某一点，于场中某一点M0 M0 处处作一包含作一包含M0M0点点 在内的任一闭曲面在内的任一闭曲面(S),(S),所包的空间所包的空间区域区域 的体积大小用的体积大小用 V V表示，矢量表示，矢量A(M)A(M)穿过该曲面穿过该曲面(S)(S)的通量为的通量为 。那么此通量。那么此通量 在在M0M0点对体积点对体积 V V 的变化率称矢量的变化率称矢量A(M) A(M) 在在点点M0M0处的散度，处的散度， 用符号用符号divA
50、divA表示。表示。 Ax Ay Az x y z 直： divA = + + A A A Az z柱： divA = + + + Ar A A 2Ar ctgA r r rsin r r球： divA = + + + + divA = = 称定义式称定义式 lim v0(M0) V VAds V即即: : lim v0(M0)=A=A=A表达式表达式设: A=Axex +Ay ey +Az ez =A e+Ae+Az ez=Ar er+Ae+AeM0散度散度推导，以直坐标为例：设推导，以直坐标为例：设: A=Axex +Ay ey +Az ez : A=Axex +Ay ey +Az ez
51、Ads = = = Ax dydz + Ay dxdz + Az dxdy 由奥氏公式：由奥氏公式： Ax Ay Az x y z ( + + ) dV= Ax Ay Az x y z = ( + + ) VM0由中值定理：由中值定理： = ( + + )上式两端同除以上式两端同除以V V： Ax Ay Az V x y zM0对上式取极限：对上式取极限： Ax Ay Az V x y z = ( + + ) = divA(M0)M0 lim v0(M0)常数常数 M0 M0为恣意确定点故可不表恣意确定点故可不表现出来，即：出来，即：divA(M0) divAdivA(M0) divA Ax
52、Ay Az x y z divA = + + 证毕证毕dS=dydzex + dxdzey+dxdyez 1 1、矢量场、矢量场A A的散度是一个标量；的散度是一个标量；性质性质 共有共有4 4条条 散度散度 2 2、散度定理、散度定理( (矢量场的高斯定理矢量场的高斯定理) )： =Ads =Ads =AdV s 该公式公式阐明了区域明了区域中中场A A 与与边境境S S上的上的场A A 之之间的关系的关系 3 3、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度；、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度；A=v 通量源密度即：即： 4 4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；、矢量场的散度代表矢量
53、场的通量源的分布特性；a) 假假设0那么那么A0 ，闭合面内有合面内有产生矢量生矢量线的正源的正源c) 假假设 = 0那么那么A = 0 处处成立，成立，闭合面内无源合面内无源 A为无无源源场A为有源场为有源场b) 假假设0那么那么A0 ，闭合面内有吸收矢量合面内有吸收矢量线的的负源源(div A =0 (div A =0 无源无源(div A (div A 0 0正源正源) )(div A 0负源负源)公公 式式散度散度(CA )=CA;C = 0;(AB)=AB; (u A)= uA+Au例：知例：知 求：求： E EE= er q4per2OrqPS解：解： 选择球坐球坐标，那么，那么A
54、r = A = A =0Ar = A = A =0 q4per2Ar A A 2Ar ctgA r r rsin r r球： divE = + + + + E = - + = 0 q2per3q2per3r 0当当r = 0或或0时： =Eds s=EdV =r2sindd=q/e q4per2E= (q/e) (r)(q/e)(r)dV =1 1、环量、环量 环量的意量的意义：假假设矢量矢量场环量量为零，那么矢量零，那么矢量场是无是无涡漩的流漩的流动； 反之，矢量反之，矢量场存在着存在着涡漩状的流漩状的流动。而。而环量正反量正反 映了矢量映了矢量场漩漩涡源的分布情况。源的分布情况。 在矢量场
55、在矢量场A A的空间中，取一有向闭合途径的空间中，取一有向闭合途径l l ，矢量，矢量A A沿沿l l 的积分的积分( (即矢量即矢量A A的环路积分的环路积分) )称环量称环量 。即：。即：Adl = =2 2、环量面密度、环量面密度rotn Arotn AlM0enS SAdl S limS0(l M0)在场矢量在场矢量A A空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M0M0取一面元取一面元 S S，其边境曲线为，其边境曲线为l l ，面元法线方向为，面元法线方向为en en 。那么。那么A A沿沿l l 的环量的环量 对面元对面元 S S的变化率，的变化率，称称A A在点在点M0M0处沿处
56、沿enen方向的环量面密度，用符号方向的环量面密度，用符号rotn Arotn A表示。表示。rotn A= 即：即：环量面密度意义环量面密度意义: :表示矢量场表示矢量场A A 在点在点M0 M0 处沿处沿enen方向的漩涡源密度方向的漩涡源密度旋度旋度旋度旋度: :是一矢量是一矢量, ,反映矢量场反映矢量场A A在场某点处环量对在场某点处环量对面积的最大变化率面积的最大变化率旋度旋度环量环量环量面密度环量面密度辅助量辅助量定义假设在矢量场定义假设在矢量场 A(M) A(M)中某一点中某一点M0 M0 处，存在这样处，存在这样的一个矢量的一个矢量R R，矢，矢 量场量场 A(M) A(M)由
57、点由点M0M0处沿处沿R R方向所得的环量对面方向所得的环量对面积的变化率积的变化率( (即环即环 量面密度量面密度) )达最大且正好等于模达最大且正好等于模R R，那么称矢，那么称矢量量R R为矢量场为矢量场A(M) A(M) 在点在点M0M0处的旋度，用符号处的旋度，用符号rot Arot A表示。表示。由该定义可得如下关系：由该定义可得如下关系： R= rotA = eR = eR = ReR limSR0(l M0) SRSRAdl SR 即即: : limSR0(lM0)旋度旋度 显然，在场矢量显然，在场矢量A A空间中，围绕空间空间中，围绕空间某点某点M0M0可取很多个边境曲线为可
58、取很多个边境曲线为l l、 面元为面元为 S S、法线方向各异、法线方向各异( (如图如图) )的平面。在点的平面。在点M0M0处沿不同处沿不同enen方向上的环量面密度方向上的环量面密度(rotn A)(rotn A)各不一样，但有一个可达最大。各不一样，但有一个可达最大。由此定义式可导出更具实意图义的表达式由此定义式可导出更具实意图义的表达式enM0旋度旋度表达式表达式设: A=Axex +Ay ey +Az ez =A e+Ae+Az ez=Ar er+Ae+Ae= AAz Ay Ax Az Ay Axy z z x x y = ( - ) ex + ( - ) ey + ( - ) e
59、z直： rotA = R = ex ey ez x y zAx Ay Az柱： rotA = R = = Ae ej ez zA A Az球： rotA = R = = Aer re rsinej r Ar rA rsin A 11r2sin推导，以直坐标为例：设推导，以直坐标为例：设: A=Axex +Ay ey +Az ez : A=Axex +Ay ey +Az ez 由斯托克斯公式：由斯托克斯公式：Az Ay Ax Az Ay Axy z z x x y( - )dydz + ( - )dxdz + ( - )dxdy = =SAdl = = = Ax dx + Ay dy + Az
60、dz ； llAz Ay Ax Az Ay Axy z z x x y令：令：B = ( - ) ex + ( - ) ey + ( - ) ez又又 dS=dydzex + dxdzey+dxdyez ； 及中及中值定理，定理， = BdS= Ben dS = Ben S = BdS= Ben dS = Ben SSSM0上式两端同除以上式两端同除以SS并且取极限：并且取极限：M0Adl S limSR0(lM0) = Ben = Ben M0 M0为恣意确定点恣意确定点故故 可不表可不表现出来。出来。环量面密度假设要到达最大，那么必需沿环量面密度假设要到达最大，那么必需沿eBeB方向变化，
61、即方向变化，即en en = eB= eBmax limSR0(lM0) = BAdl SB 两端同乘两端同乘eBeB：且与定义比较：且与定义比较：eBeB 可得：可得：B=R=A= rotAB=R=A= rotA旋度旋度1 1、矢量场、矢量场A A的旋度仍为矢量，是空间坐标的函数；的旋度仍为矢量，是空间坐标的函数；旋度旋度性质性质 共有共有6 6条条 3 3、 由前面的推由前面的推导知：知： rotn A = rot A en rotn A = rot A en 这阐明：明：旋度旋度R R在任一方向在任一方向enen上的投影上的投影( (即分量即分量) )等于该方向的环量面密度等于该方向的环
62、量面密度矢量场矢量场A 的环路积分等于该矢量场的环路积分等于该矢量场A 的旋度经过该曲面的通量的旋度经过该曲面的通量6 6、假、假设rot A =0 rot A =0 处处成立，成立，A A为无旋无旋场。力。力线呈无旋呈无旋涡的流的流动形状，形状，力力线有有头尾。此尾。此时， =0 =0 即即A A的的环路路积分与路分与路经无关故又称保守无关故又称保守场。 假假设rot A 0rot A 0这表：表：A A为有旋有旋场，其力，其力线无无头无尾。无尾。4 4、 A 0 A 0 即即 A =0 A =0或或0 0 该式均成立。式均成立。2 2、斯托克斯定理、斯托克斯定理: : 这阐明：这阐明：Ad
63、l = AdS sl5 5、矢量、矢量场的旋度的旋度值表征空表征空间中旋中旋涡源的密度；源的密度； 即：即： A = J J A = J J 旋旋涡源密度源密度该式阐明旋度场是一无源场，但不能阐明旋度场能否存在。该式阐明旋度场是一无源场，但不能阐明旋度场能否存在。公公 式式 (CA )=CA;C = 0; (AB)=AB;(uA)= uAAu(AB)=B(A)A(B)旋度旋度例：知例：知 求：求： H HH= e = H e I2pI H = = 0e ej ez z0 H 0 1解：解： 选择柱坐标选择柱坐标 0= I =I (x)(y)ez dS s H = I H = I (x)(y)e
64、z (x)(y)ez Hdl HdS =sl当当 = 0或或0时： 亥姆霍兹定理：在有限区域内，恣意矢量亥姆霍兹定理：在有限区域内，恣意矢量场由矢量场的散度、旋度和边境条件即场由矢量场的散度、旋度和边境条件即矢量场在有限区域边境上的分布独一确矢量场在有限区域边境上的分布独一确定。它可表现为：定。它可表现为：矢量矢量场(F) = (F) = 梯度梯度场(Fs) + (Fs) + 旋度旋度场(Fl) = -u + A (Fl) = -u + A 梯度场是一有源无旋场：梯度场是一有源无旋场： Fs Fs的力线是有头有尾的发散线的力线是有头有尾的发散线旋度场是一无源有旋场：旋度场是一无源有旋场： Fl
65、 Fl的力线是无头无尾的闭合线的力线是无头无尾的闭合线 u u 梯度梯度场的的标量位量位 A A 旋度旋度场的矢量位的矢量位 u 0 u 0 ， A 0 A 0 即：梯无旋，旋即：梯无旋，旋无散无散 u 0 u 0 ， A 0 A 0 这阐明：明：讨论： 场、源、度的关系、源、度的关系 =Fsdl = =Fsdl = 0 0l =Fsds = Qs Fs = Fs = vv =Fldl = =Fldl = i i l =Flds = 0s Fl = J Fl = J矢量矢量场(F) = (F) = 梯度梯度场(Fs) + (Fs) + 旋度旋度场(Fl) = -u + A (Fl) = -u
66、+ A A 0 A 0 那么：那么： F = - F = - u u 讨论： 怎怎样判判别场F的属性的属性对式式两两边求散度：求散度： F = - u + A 假假设：F F 存在，那么存在，那么 F =0 F =0 阐明明F F中没有梯度中没有梯度场但必有旋度但必有旋度场 假假设 F 0 F 0 阐明明F F中有梯度中有梯度场但不一定有旋度但不一定有旋度场结结论论 F =0 F =0 ， F F为纯梯度梯度场 F 0 F 0，F 0F 0，F F为合成合成场 F =0 F =0，F F为纯旋度旋度场假假设：F F 存在，那么存在，那么F=0 F=0 阐明明F F中没有旋度中没有旋度场但必有梯
67、度但必有梯度场 假假设F 0 F 0 阐明明F F中有旋度中有旋度场但不一定有梯度但不一定有梯度场=00 u 0 u 0 那么：那么：F = F = A A 对式式两两边求旋度：求旋度： F = - u + A=00亥姆霍兹定理在电磁场实际中的意义亥姆霍兹定理在电磁场实际中的意义是研讨电磁场的一条主线是研讨电磁场的一条主线矢量矢量F F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F F的旋度源密度的旋度源密度场域边境条件场域边境条件普通场普通场 电磁场电磁场电荷密度电荷密度 ：产生梯度场：产生梯度场电流密度电流密度J J：产生旋度场：产生旋度场场域边境条件场域边境条件 假假设矢量矢量场A A 在某区域在某
68、区域 内，内，处处有：有： A 0 A 0 和和A 0 A 0 那么在那么在该区域区域 内，内，场A A为调和和场 例：例：抠出源点的静出源点的静电场留意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。留意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。讨论： 调和和场1.12 1.12 微分算子微分算子 x y z 直： = ( ex+ ey + ez ) z柱：柱：= ( e + ej + ez ) r r rsin 球： = ( er + e + ej ) 有以下三种方式有以下三种方式 ：u =grad u A =div A A = rot A其它方式其它方式(如下如下)无意无意义：
69、u 、A、u 哈密哈密尔顿算符，是一矢性的一算符，是一矢性的一阶微分算符微分算符=2 拉普拉辛算符，是一拉普拉辛算符，是一标性的二性的二阶微分算符微分算符留意留意与各与各符号的符号的对应,不要盲目替代不要盲目替代形形式式标性性: 2 u =u = div grad u矢性矢性: 2 A =(A) - (A) = grad div A- rot rotA 2 2 2 x2 y2 z2 直：2 = + + 2 2 2 2 22 z2 柱：柱：2 = ( + + + ) 2 2 2 2 ctg r2 r22 r2sin22 r r r2 球：2 = + + + + z = ( e + ej + ez
70、 ) A A=A e+Ae+Az ez柱：柱： z = ( e + ej + ez ) (A e+Ae+Az ez )1.13 1.13 场的图示法场的图示法( (一种辅助分析、计算的方法一种辅助分析、计算的方法) )1 1、矢量线不是一条而是一族；、矢量线不是一条而是一族；2 2、矢量线互不相交、矢量线互不相交( (除奇特点除奇特点) )3 3、有源场的矢量线至少有一部、有源场的矢量线至少有一部分是有头有尾的发散线；分是有头有尾的发散线；4 4、无源场的矢量线全部都是无、无源场的矢量线全部都是无头无尾的闭合线；头无尾的闭合线；等位线等位线( (面面) )矢量线矢量线方式方式表达式表达式性质性
71、质关系关系标量场标量场( u) ( u) 矢量场矢量场(A)(A)u(x,y,z) = C dx dy dz Ax Ay Az = = 假设假设A = grad u A = grad u 那么那么A A 线与等位线线与等位线( (面面) )正交正交1 1、等位、等位线( (面面) )不是一个而是不是一个而是一族。一族。CC为恣意常数；恣意常数；2 2、等位、等位线( (面面) )互不相交；互不相交； MM点只与一个坐点只与一个坐标值对应3 3、同一等位、同一等位线( (面面) )能能够分裂分裂成几部分存在；例：成几部分存在；例： u(x,y,) = x y=Cu(x,y,) = x y=C4
72、4、等位、等位线( (面面) )是一是一闭合合线( (面面) )，只需，只需 域足域足够大；大； dl dlA dlA=0例：求矢量场例：求矢量场A=y ex - x ey 过点过点(1,0,0)的矢量线方程。的矢量线方程。解：解： dx dy Ax Ay = Aydx = Ax dy 由题意 -xdx = y dy 取取积分：分： -xdx = y dy x y 1 0 x y 1 0-x2/2 = y2/2整理得整理得 ：x2/2 +y2/2 = 1/2 x2 +y2 = 1由由题意意 ： Az = 0 dz = 0 z = 0 dx dy dz Ax Ay Az = = 那么有：那么有：故矢量线方程：故矢量线方程： x2 +y2 = 1 ，z = 00 z = ( e + ej + ez ) A A=A e+Ae+Az ez柱：柱： z = ( e + ej + ez ) (A e+Ae+Az ez ) (A e ) (Ae ) z = ( e + ej + ez ) 第一章习题第一章习题
