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1、1.7正整数的正约数个数与总和正整数的正约数个数与总和机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、自然数的正约数的个数及所有正约一、自然数的正约数的个数及所有正约数的和数的和定义定义1.7 d(n)表示自然数表示自然数n的所有正约数的个数的所有正约数的个数(通常也通常也成为除函数成为除函数)，如，如d(2)=2， d(4)=3；S(n)表示自然数表示自然数n的所有正约数的和，如的所有正约数的和，如S(2)=1+2=3， S(4)=1+2+4=7.定理定理1.4.4 设设n=p1 1p2 2pn n, 则有：则有： d(n)=( 1+1) ( 2+1) ( n+1).n特别地，p为质数的充分必要条件
2、是：机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明：证明： n=p1 1p2 2pn n n的任意正约数都可以写成以下形式：的任意正约数都可以写成以下形式： n= p1x1p2x2pnxn (0 xi i).上式中的每一个上式中的每一个xi都可以取都可以取0, 1, , i这这( i +1)个不同个不同的值，而每一个的值，而每一个xi又可以与其他又可以与其他xj (xi xj )任意组成任意组成a的的正约数，根据排列组合中的分布计数原理，总共有：正约数，根据排列组合中的分布计数原理，总共有： ( 1+1) ( 2+1) ( n+1)中可能性，故中可能性，故n的正约数共有的正约数共有( 1+1) (
3、2+1) ( n+1)个个.注：注：上述定理说明上述定理说明一个大于一个大于1的整数的正约数的个数，等的整数的正约数的个数，等于它的标准分解式中每个质因数的指数加于它的标准分解式中每个质因数的指数加1的连乘积的连乘积.机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论 若若(a, b)=1，则，则d(ab)=d(a)d(b). 定理定理 若若(a, b)=1，则，则S(ab)=S(a)S(b). n例1 求n例2 求满足 的最小正整数n.n例3 若n=paqb ,其中p、q为不同质数，a、b均大于等于1，且n2有15个正约数，求例4 一个形如2k3m的正整数，其所有正约数的和为403，求这个正整数.例5 有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数，其中有一个质约数的末位数字是1，求这个四位数.例6 自然数A和B的正约数个数分别是12和10，且A，B的标准分解式中只含有质因数3和5，（A，B）=75，求A+B.例7 求1998的所有正约数的倒数之和.思考题n1、求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，共有10个约数.n2、求不大于200且恰有15个正约数的正整数.n3、若a=695+5 694+10 693+10 692+5 69+1，求n4、求720所有正约数的倒数之和。作业：P65-66：2、3、7、8、9、13
