高教版普通物理学chapter

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1、3-1 刚体模型及其运体模型及其运动3-2 力矩力矩 转动惯量量 定定轴转动定律定律3-3 定定轴转动中的功能关系中的功能关系3-4 定定轴转动刚体的角体的角动量定理和角量定理和角动量守恒定律量守恒定律3-5 进动3-6 理想流体模型理想流体模型 定常流定常流动 伯努利方程伯努利方程3-7 牛牛顿力学的内在随机性力学的内在随机性 混沌混沌第三章第三章 刚体和流体的运动刚体和流体的运动 既考虑物体的质量，既考虑物体的质量， 又考虑形又考虑形状和大小，但忽略其形变的状和大小，但忽略其形变的物体模型物体模型。一、刚体一、刚体刚体（刚体（rigid body）：）： 刚体可看作是质量连续分布的且任意两

2、质量刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离保持不变的质点系。元之间相对距离保持不变的质点系。3-1 刚体模型及其运体模型及其运动二、平动和转动二、平动和转动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动（平动（translation）。 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。平动时，刚体内各质点在任一时平动时，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刻具有相同的速度和加速度。刚体内任何一个质点的运动

3、，都可代表整个刚体的刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动，如质心。运动，如质心。1. 平动平动 如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动就叫做圆周运动，这种运动就叫做转动（转动（rotation），这一，这一直线就叫做直线就叫做转轴转轴。 如果转轴是固定不动的，就叫做如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动（定轴转动（fixed-axis rotation） 。 可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加动的叠加 。如：门、如：门、 窗的转动等。窗的转动等。如：车轮的滚动。如：车轮的

4、滚动。2. 转动转动3. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 定轴转动时，定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴做刚体上各点都绕同一固定转轴做不同半径的圆周运动。不同半径的圆周运动。 在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但在相同时间内转过的角度相同，称为在相同时间内转过的角度相同，称为角位移角位移，它可，它可以用来描述整个刚体的转动。以用来描述整个刚体的转动。 做定轴转动时，刚体内各点具做定轴转动时，刚体内各点具有相同的有相同的角量角量，包括，包括角位移、角速角位移、角速度和角加速度。度和角加速度。但不同位置的质点但不同位置的质点具有不同的具有不同的线量线量

5、，包括，包括位移、速度位移、速度和加速度和加速度。 线量与角量的关系：线量与角量的关系：角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度角量：角量：对于对于匀角加速转动匀角加速转动，则有，则有 匀加速直线运动：匀加速直线运动：做直线运动的质点：做直线运动的质点：1个自由度个自由度做平面运动的质点：做平面运动的质点： 2个自由度个自由度做空间运动的质点：做空间运动的质点： 3个自由度个自由度质点：质点：(x, y, z) i = 3 三、自由度三、自由度 所谓所谓自由度自由度就是决定系统在空间的位置所需要就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。的独立坐标的数目。C(x,y,z)物体有几个自由度，

6、它的运动定律就归结为几个独物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立的方程。立的方程。i = 3个平动自由度个平动自由度 + 2个转动自由度个转动自由度= 5个自由度个自由度刚性细棒：刚性细棒：运动刚体：运动刚体：自由刚体有自由刚体有 6个自由度：个自由度：随质心的平动随质心的平动 + 绕过质心轴的转动绕过质心轴的转动确定质心位置确定质心位置 3个平动自由度个平动自由度 (x, y, z)确定确定过质心轴过质心轴位置位置 2个转动自个转动自由度由度 ( ， )确定确定定轴转动角定轴转动角位置位置 1个转动个转动自由度自由度 ( )1. 只有垂直转轴的外力分量才产生只有垂直转轴的外力分量才产

7、生沿转轴方向的力矩沿转轴方向的力矩Mz ，而平行于转，而平行于转轴的外力分量产生的力矩轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被则被轴承上支承力的力矩所抵消。轴承上支承力的力矩所抵消。 对对O点的力矩：点的力矩：一、力矩一、力矩大小：大小：说明说明3-2 力矩力矩 转动惯量量 定定轴转动定律定律 是转轴到力作是转轴到力作用线的距离，称为用线的距离，称为力臂力臂。 2.3. 在转轴方向确定后，力对转轴在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用正负号表示。的力矩方向可用正负号表示。刚体所受的关于定轴的合力矩：刚体所受的关于定轴的合力矩：二二、角速度矢量、角速度矢量角速度的方向：与刚体转动角速度的方向：与刚

8、体转动方向呈右手螺旋关系。方向呈右手螺旋关系。 在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。因在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。因此，此，计算中可用正负表示角速度的方向。计算中可用正负表示角速度的方向。 线速度和角速度之间的矢量关系线速度和角速度之间的矢量关系 ：三、定轴转动定律三、定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得应用牛顿第二定律，可得 对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元受外力受外力和内力和内力采用自然坐标系，上式切向分量式为采用自然坐标系，上式切向分量式为 对刚体内各个质点的相应式子，相加得对刚体内各个质点的相应式子，相加得 对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则对于成对的内力，对同

9、一转轴的力矩之和为零，则 称为刚体对转轴称为刚体对转轴的的转动惯量转动惯量。 刚体在做定轴转动时，刚体的角刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。惯量成反比。刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：与平动定律比较：与平动定律比较：四、转动惯量四、转动惯量定义：定义： 刚体为质量连续体时：刚体为质量连续体时：单位单位( SI )： 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量转动惯量取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质量分布以及

10、转轴的位置。量分布以及转轴的位置。（ r 为质元为质元dm到转轴的距离）到转轴的距离）例例3-1 求均质细棒求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量：的转动惯量： (1) 转轴通过中心转轴通过中心C与棒垂直，与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端转轴通过棒的一端O与棒垂直。与棒垂直。解：解：(1)(2)CxOxdxdmdxdm 可见，转动惯量因转轴位置可见，转动惯量因转轴位置不同不同而变，故必须指明而变，故必须指明是关于某轴的转动惯量。是关于某轴的转动惯量。平行轴定理（平行轴定理（parallel axis theorem）通过任一转轴通过任一转轴A的转动惯量的转动惯量：CxdxdmAh（取（取C

11、为坐标原点）为坐标原点） 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对通过质心等于对通过质心的平行转轴的转动惯量的平行转轴的转动惯量 JC 加上刚体质量加上刚体质量 m 乘以两平乘以两平行转轴间距离行转轴间距离 h 的平方。的平方。例例3-2 求质量求质量 m 半径半径 R 的的 (1) 均质圆环，均质圆环， (2) 均质圆盘均质圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。对通过直径的转轴的转动惯量。解：解：(1) 圆环：圆环：dmO dm(2) 圆盘：圆盘： 可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。例例3-3 物体：物体：m1、m2(m1)， 定滑轮：定滑

12、轮：m、r，受摩擦受摩擦阻力矩为阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的加速度和绳的张力。加速度和绳的张力。解：解：由于考虑滑轮的质量和所受由于考虑滑轮的质量和所受的的摩擦阻力矩摩擦阻力矩，问题中包括平动和转动。问题中包括平动和转动。轮不打滑：轮不打滑： 联立方程，可解得联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a， 。 此装置称此装置称阿特伍德机阿特伍德机可用于测量重力加速度可用于测量重力加速度 g r例例3-4 一一半半径径为为R，质质量量为为m均均质质圆圆盘盘，平平放放在在粗粗糙糙的的水水平平桌桌面面上上。设设盘盘与与桌桌面面间间摩摩擦擦因因数数为为

13、，令令圆圆盘盘最最初初以以角角速速度度 0 绕绕通通过过中中心心且且垂垂直直盘盘面面的的轴轴旋旋转转，问问它它经经过多少时间才停止转动？过多少时间才停止转动？rRdr d e 把把圆圆盘盘分分成成许许多多环环形形质质元元，每每个个质质元元的的质质量量 dm= red dr， e是是 盘盘 的的厚厚度度，质质元元所所受受到到的的阻阻力力矩为矩为 r dmg 。解：解： 圆盘所受阻力矩为圆盘所受阻力矩为 m=eR2由定轴转动定律：由定轴转动定律：一、力矩的功一、力矩的功1. 平行于定轴的外力对质元不做功。平行于定轴的外力对质元不做功。2. 由于刚体内两质元的相对距离不变，内力做由于刚体内两质元的相

14、对距离不变，内力做功之和为零。功之和为零。 说明说明3-3 定定轴转动中的功能关系中的功能关系合外力对刚体做的元功：合外力对刚体做的元功：力矩的功：力矩的功：设作用在质元设作用在质元 mi上的外力上的外力 位于转动平面内。位于转动平面内。二、刚体的转动动能二、刚体的转动动能刚体的转动动能刚体的转动动能刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。等于刚体转动动能的增量。三、定轴转动的动能定理三、定轴转动的动能定理由定轴转动定律，若由定轴转动定律，若J 不变，不变，则物体在则物体在 dt 时间内转过角位移时间内转过角位移 d

15、时，外力矩所时，外力矩所做元功为做元功为 四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能以地面为势能零点，刚体和地以地面为势能零点，刚体和地球系统的重力势能：球系统的重力势能： zOi例例3-5 一质量为一质量为m ，长为，长为 l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在O点，点，距距A端端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，点转动，求：求：(1)水平位置的角速度和角加速度；水平位置的角速度和角加速度；(2)垂直位置垂直位置时的角速度和角加速度。时的角速度和角加速度。解：解：(1)水平位置水平位置方向：方向： COBACOBA(2)垂直位置垂直位置 一、刚体的角

16、动量一、刚体的角动量因因，所以所以 的大小为的大小为质元质元 对对O 点的角动量为点的角动量为 刚体关于刚体关于O 的角动量：的角动量：3-4 定定轴转动刚体的角体的角动量定理和角量定理和角动量守恒定律量守恒定律对于定轴转动，对于定轴转动， 对沿定轴的分量对沿定轴的分量 为为 称刚体绕定轴转动的角动量。称刚体绕定轴转动的角动量。刚体转动惯量刚体转动惯量：刚体绕定轴的角动量：刚体绕定轴的角动量：称为称为角动量定理角动量定理的微分形式。的微分形式。二、定轴转动刚体的角动量定理二、定轴转动刚体的角动量定理由定轴转动定律，若由定轴转动定律，若J 不变，不变，为为 时间内力矩时间内力矩M 对给定轴的对给

17、定轴的冲量矩冲量矩。角动量定理的积分形式：角动量定理的积分形式：且系统满足角动量定理且系统满足角动量定理 角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于刚体，非刚体和物体系。刚体，非刚体和物体系。 对几个物体组成的系统，如果它们对同一给对几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为定轴的角动量分别为 ， ， 系统对该轴的角动量为系统对该轴的角动量为 三、定轴转动刚体的角动量守恒定律三、定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动角动量定理：定轴转动角动量定理：定轴转动角动量守恒定律：定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当物体在定轴转动中，当对转轴的

18、合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保持不变。持不变。当当时，时，有有即即(常量常量)适用于刚体、非刚体和物体系。适用于刚体、非刚体和物体系。1. 刚体刚体( J 不变不变)的角动量守恒的角动量守恒若若 M=0，则，则 J =常量，而刚体的常量，而刚体的 J 不变，故不变，故 的大小，方向保持不变。的大小，方向保持不变。此时，即使撤去轴承的支撑作用，此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将做刚体仍将做定轴转动定轴转动定向回转仪定向回转仪 可以作定向装置。可以作定向装置。如：直立旋转陀螺不倒。如：直立旋转陀螺不倒。o 2. 非刚体非刚体( J 可变可变)

19、的角动量守恒的角动量守恒当当 J 增大，增大， 就减小，就减小，当当 J 减小，减小， 就增大。就增大。如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动，如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动， 恒星恒星塌缩塌缩 (R0， 0) (R， ) 中子星的形成等。中子星的形成等。3. 物体系的角动量守恒物体系的角动量守恒 若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。例例3-6 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞

20、轮1：J1、 1 1 摩擦摩擦轮轮2： J2、 静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角速度。速度。两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒解：解：在啮合过程中，摩擦力矩做功，所以机械能不守恒，在啮合过程中，摩擦力矩做功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热能。部分机械能将转化为热能。2121例例3-7 匀质细棒：匀质细棒：l 、m，可绕通过端点，可绕通过端点O的水平轴转的水平轴转动。棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地动。棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面的物体面的物体m相撞。该物体与地面的摩擦因数为相撞。该物

21、体与地面的摩擦因数为 ，撞，撞后物体沿地面滑行一距离后物体沿地面滑行一距离 s 而停止。求撞后棒的质心而停止。求撞后棒的质心C 离地面的最大高度离地面的最大高度 h ，并说明棒在碰撞后将向左摆，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。或向右摆的条件。分三个阶段进行分析。分三个阶段进行分析。解：解：第一阶段：第一阶段：棒自由摆落的过程，棒自由摆落的过程，机械能守恒。机械能守恒。第二阶段：第二阶段：碰撞过程。系统的对碰撞过程。系统的对O轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。第三阶段：第三阶段：碰撞后物体的滑行过程与棒的上升过程。碰撞后物体的滑行过程与棒的上升过程。物体做匀减速直线运动。物体做匀减速直线运

22、动。联合求解，即得碰撞后棒的角速度：联合求解，即得碰撞后棒的角速度： 取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。棒向左摆的条件为棒向左摆的条件为 棒向右摆的条件为棒向右摆的条件为 棒的质心棒的质心C上升的最大高度，也可由机械能守恒定律上升的最大高度，也可由机械能守恒定律求得：求得： 例例3-8 恒恒星星晚晚期期在在一一定定条条件件下下，会会发发生生超超新新星星爆爆发发，这这时时星星体体中中有有大大量量物物质质喷喷入入星星际际空空间间，同同时时星星的的内内核核却却向向内内坍坍缩缩，成成为为体体积积很很小小的的中中子子星星。设设某某恒恒星星绕绕自自转转

23、轴轴每每45天天转转一一周周，它它的的内内核核半半径径R0 2 107 m，塌塌缩缩成成半半径径R 6 103 m的的中中子子星星。试试求求中中子子星星的的角角速速度度。塌缩前后的星体内核均看作是均质圆球。塌缩前后的星体内核均看作是均质圆球。内核在塌缩前后的角动量守恒。内核在塌缩前后的角动量守恒。解：解： 例例3-9 如如图的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为图的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J = 2 103 kg m2 ，它以，它以 =0.2 rad/s的角速度绕中心轴旋的角速度绕中心轴旋转。宇航员想用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转，转。宇航员想用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转，每个喷管的

24、位置与轴线距离都是每个喷管的位置与轴线距离都是r =1.5 m。两喷管的喷。两喷管的喷气流量恒定，共是气流量恒定，共是 =2 kg/s 。废气的喷射速率（相对。废气的喷射速率（相对于飞船周边）于飞船周边）u =50 m/s，并且恒定。问喷管应喷射多，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。长时间才能使飞船停止旋转。解：解： 把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量为为m。可以认为废气质量远小于飞船的质量，。可以认为废气质量远小于飞船的质量，故原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自故原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量

25、，即身的角动量，即在在喷喷气气过过程程中中，以以dm 表表示示dt 时时间间内内喷喷出出的的气气体体，这这些些气气体体对对中中心心轴轴的的角角动动量量为为 dm r(u+v)，方方向向与与飞飞船船的的角角动动量量相相同同。因因 u=50 m/s 远远大大于于飞飞船船的的速速率率v (= r) ，所所以以此此角角动动量量近近似似地地等等于于dm ru。在在整整个个喷喷气气过过程程中中喷出废气的总角动量喷出废气的总角动量Lg应为应为当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的总角动量总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为就是全部排出的废气的总

26、角动量，即为在在整整个个喷喷射射过过程程中中，系系统统所所受受的的对对于于飞飞船船中中心心轴轴的的外外力力矩矩为为零零，所所以以系系统统对对于于此此轴轴的的角角动动量量守守恒恒，即即L0=L1 ，由此得，由此得即即于是所需的时间为于是所需的时间为进动（进动（precession）：）：物体绕自转轴高速旋转的同时，物体绕自转轴高速旋转的同时，其自转轴还绕另一个轴转动的现象。又称其自转轴还绕另一个轴转动的现象。又称回转效应回转效应。 如：倾倒陀螺的进动如：倾倒陀螺的进动3-5 进动设陀螺质量为设陀螺质量为m，以角速度，以角速度 自转。自转。重力对固定点重力对固定点O的力矩：的力矩：绕自身轴转动的角

27、动量：绕自身轴转动的角动量：由角动量定理的微分式：由角动量定理的微分式：显然，显然，时刻改变方向而大小不变时刻改变方向而大小不变进动进动。陀螺的进动陀螺的进动 mgO进动角速度：进动角速度： d O由图可知由图可知 由角动量定理：由角动量定理：陀螺陀螺陀螺的进动角速度：陀螺的进动角速度：2. 进动轴通过定点且与外力平行。进动轴通过定点且与外力平行。1. p 与与 有关有关，与与无关无关。3. 进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向。进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向。4. 较小时，较小时， 有周期性变化，称为有周期性变化，称为章动章动。说明说明 回转效应的应用：炮筒内的旋转式来复线等。回转

28、效应的应用：炮筒内的旋转式来复线等。 d O改变方向，情况如何？改变方向，情况如何？ mgO一、理想流体模型一、理想流体模型 理想流体理想流体(ideal fluid)：绝对不可压缩且完全没有绝对不可压缩且完全没有黏性的流体。也叫无黏流体。黏性的流体。也叫无黏流体。 理想流体动压强的特性与静水压强的特性完全一样，理想流体动压强的特性与静水压强的特性完全一样，即压力总是垂直于作用面的。即压力总是垂直于作用面的。 流体在流动时内部的压强，称为流体在流动时内部的压强，称为流体动压强流体动压强。液体和气体都具有流动性，统称为液体和气体都具有流动性，统称为流体（流体（fluid）。还具有另外两种性质：还

29、具有另外两种性质： 一是可压缩性，一是可压缩性， 二是黏性。二是黏性。3-6 理想流体模型理想流体模型 定常流定常流动 伯努利方程伯努利方程二、定常流动二、定常流动 定常流动（定常流动（steady flow）： 即流场中速度与压力只是即流场中速度与压力只是空间点的位置的函数，而与时间无关，则称流场中的空间点的位置的函数，而与时间无关，则称流场中的流动为定常流动。流动为定常流动。 在流体中作一系列曲线，使曲线上任一点的切线方向在流体中作一系列曲线，使曲线上任一点的切线方向与该点处流体质元的流速方向一致，与该点处流体质元的流速方向一致， 这类曲线称为这类曲线称为流流线线 。 由流线围成的管状区域

30、，称为由流线围成的管状区域，称为流管流管。流管内的流体不能流出管外，管外的流体也不能流流管内的流体不能流出管外，管外的流体也不能流入管内，入管内， 流管的作用与形状相同的管道一样，流管流管的作用与形状相同的管道一样，流管就是一种无形的管道。就是一种无形的管道。 在定常流动中，空间各点的流速虽然不同，在定常流动中，空间各点的流速虽然不同， 但它们但它们都不随时间变化，都不随时间变化， 所以流体中流线和流管的形状也所以流体中流线和流管的形状也不随时间变化。不随时间变化。 在定常流动中，在定常流动中， 任何两条流线都不能相交。任何两条流线都不能相交。三、伯努利方程三、伯努利方程 伯努利（伯努利（D.

31、 Bernoulli）方程是流体动力学的基）方程是流体动力学的基本定律，它说明了理想流体在管道中做稳定流动时，本定律，它说明了理想流体在管道中做稳定流动时，流体中某点的压强流体中某点的压强 p 、流速、流速 v 和高度和高度 h 三个量之间三个量之间的关系。的关系。 在流体中取一流管，研在流体中取一流管，研究流管中一段流体的运动。究流管中一段流体的运动。设在某一时刻，这段流体在设在某一时刻，这段流体在a1a2位置，经过极短时间位置，经过极短时间 t后，后，这段流体达到这段流体达到b1b2位置。位置。假设为理想流体，流动过程中，假设为理想流体，流动过程中，除了重力之外，只有在它前后除了重力之外，

32、只有在它前后的流体对它做功。的流体对它做功。后面的流体推它前进，做正功；前面的流体阻碍它前进后面的流体推它前进，做正功；前面的流体阻碍它前进，做负功。，做负功。 设设p1、S1、v1和和p2、S2、v2分别是分别是a1b1与与a2b2处流处流体的压强、截面积和流速。体的压强、截面积和流速。后面流体的作用力是后面流体的作用力是p1S1，位移是位移是v1 t，所做的正功是所做的正功是 p1S1v1 t ，前面流体作用力，前面流体作用力做的负功是做的负功是 -p2S2v2 t ，外力的总功是外力的总功是 流体不可压缩：流体不可压缩：由功能原理：由功能原理：这就是伯努利方程（这就是伯努利方程（Bern

33、oulli equation），它表明在），它表明在同一管道中任何一点处，流体每单位体积的动能和势同一管道中任何一点处，流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个常量。能以及该处压强之和是个常量。一、线性科学和非线性科学一、线性科学和非线性科学 线性是指量与量之间成正比关系。在线性系统线性是指量与量之间成正比关系。在线性系统中，部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵守叠中，部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵守叠加原理，即方程的不同解相加仍然是个解。非线性则加原理，即方程的不同解相加仍然是个解。非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效，非线性方程指整体不等于部分之和，叠加原理失效，非线

34、性方程两个解之和不再是方程的解。两个解之和不再是方程的解。 牛顿的经典力学属于线性科学范畴。牛顿的经典力学属于线性科学范畴。 自然界大量存在的相互作用是非线性的，线性作自然界大量存在的相互作用是非线性的，线性作用只不过是非线性作用在一定条件下的近似。用只不过是非线性作用在一定条件下的近似。 混沌是非线性科学中最引人注目的一类现象。混沌是非线性科学中最引人注目的一类现象。3-7 牛牛顿力学的内在随机性力学的内在随机性 混沌混沌第二，线性系统往往表现为对外界的影响成比例地变第二，线性系统往往表现为对外界的影响成比例地变化；而非线性系统中参量的极微小变化，在一些关节化；而非线性系统中参量的极微小变化

35、，在一些关节点上，可引起系统运动形式的决定性改变。点上，可引起系统运动形式的决定性改变。 第三，反映在连续介质中的波动上，线性行为表现为第三，反映在连续介质中的波动上，线性行为表现为色散引起波包的弥散，导致结构的消失，而非线性作色散引起波包的弥散，导致结构的消失，而非线性作用却可促使空间规整性结构的形成和维持。用却可促使空间规整性结构的形成和维持。 线性和非线性物理现象的区分一般有三个特征：线性和非线性物理现象的区分一般有三个特征： 第一，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可第一，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可用性能良好的函数表示；而非线性现象则表现为从规用性能良好的函数表示；而

36、非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变。则运动向不规则运动的转化和跃变。 二、混沌和牛顿力学的内在随机性二、混沌和牛顿力学的内在随机性 对于同一个自然界，物理科学中有决定性和概率对于同一个自然界，物理科学中有决定性和概率性两种描述。性两种描述。 牛顿力学的机械决定论的观点，因海王星的发现牛顿力学的机械决定论的观点，因海王星的发现而登峰造极。但是，而登峰造极。但是，19世纪末，已经知道描述三个以世纪末，已经知道描述三个以上天体运动的方程组不能解析地求解。上天体运动的方程组不能解析地求解。 由确定性方程描述的简单系统可以出现极为复杂由确定性方程描述的简单系统可以出现极为复杂的貌似随机

37、的无规运动，这就是的貌似随机的无规运动，这就是混沌（混沌（chaos）。 “确定性确定性”是指描述动力学系统的微分方程中的系是指描述动力学系统的微分方程中的系数都是确定的，没有概率性因素。对确定的初始值，数都是确定的，没有概率性因素。对确定的初始值，确定性方程应给出确定的解，描述着系统确定的行为。确定性方程应给出确定的解，描述着系统确定的行为。 但在某些非线性系统中，这种过程会因初始值极但在某些非线性系统中，这种过程会因初始值极微小的扰动而产生很大变化。由于系统的这种初值敏微小的扰动而产生很大变化。由于系统的这种初值敏感性，从物理上看，这过程似乎是随机的，但这种随感性，从物理上看，这过程似乎是

38、随机的，但这种随机性是确定性系统内部所固有的，叫做机性是确定性系统内部所固有的，叫做内秉随机性内秉随机性。 具有内秉随机性的动力学系统，通常兼有规则运具有内秉随机性的动力学系统，通常兼有规则运动和随机运动的两种不同区域。随着某种参量变化，动和随机运动的两种不同区域。随着某种参量变化，随机区域可能逐渐扩大，甚至吞掉规则运动的区域。随机区域可能逐渐扩大，甚至吞掉规则运动的区域。 湍流现象是种混沌，普遍存在于行星和地球大气、湍流现象是种混沌，普遍存在于行星和地球大气、海洋与江河、火箭尾流乃至血液流动等自然现象之中。海洋与江河、火箭尾流乃至血液流动等自然现象之中。流体的运动一般用确定性的流体力学方程描

39、述。流体的运动一般用确定性的流体力学方程描述。 雷诺数雷诺数Re当流体绕过圆柱体流动时，表征流体中外力当流体绕过圆柱体流动时，表征流体中外力与黏性力竞争的雷诺数不断增大，当雷诺数达到某个临界值与黏性力竞争的雷诺数不断增大，当雷诺数达到某个临界值时，流动中就出现湍流。时，流动中就出现湍流。(a) 雷诺数雷诺数Re1。(b) 雷诺数雷诺数Re20时，可看到圆柱时，可看到圆柱体后面出现两个对称的涡旋。体后面出现两个对称的涡旋。(c)雷诺数雷诺数Re40，又发生另一次突，又发生另一次突变：一个涡旋被拉长后摆脱柱体，变：一个涡旋被拉长后摆脱柱体，漂向下游；柱后另一侧的流体转了漂向下游；柱后另一侧的流体转了一个弯，形成新的涡旋。这些涡旋一个弯，形成新的涡旋。这些涡旋交替产生、脱落，向下游移去。交替产生、脱落，向下游移去。(d) 雷诺数雷诺数Re104，由边界层里产，由边界层里产生的小涡旋中充满着一条条细带，生的小涡旋中充满着一条条细带，其流动是紊乱无规的，这就是湍流其流动是紊乱无规的，这就是湍流状态。状态。