《高等数学课件D37曲率》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件D37曲率（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目录 上页 下页 返回 结束 第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三三章 9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 弧微分弧微分设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为或几何意义几何意义:若曲线由参数方程表示:9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为对应
2、切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 若曲线由参数方程给出, 则(2) 若曲线方程为则9/19/2024目录 上页 下页 返回
3、 结束 例例2. 我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . 9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点解解:显然9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求椭圆在何处曲率最大?解解:故曲率为K 最大最小求驻点: 9/19/2024
4、目录 上页 下页 返回 结束 设从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数值:最大.K 最大最小9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为且求曲线上点M 处的曲率半
5、径及曲率中心设点M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式 .9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 满足方程组由此可得曲率中心公式(注意与异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为由例3可知, 椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,
6、 且为显然, 砂轮半径不超过才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.例例39/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 ( 仍为摆线 )例例5. 求摆线的渐屈线方程 . 解解:代入曲率中心公式, 得渐屈线方程 摆线 摆线摆线9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 弧长微分或2. 曲率公式3. 曲率圆曲率半径曲率中心9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答: 有公切线 ;凹向一致 ;曲率相同.2. 求双曲线的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?解解:则利用9/19/2024目录 上页 下页 返回 结束 作业作业第八节 P177 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； *9 9/19/2024
