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1、第第2课时等差数列课时等差数列第五章数列第五章数列教教材材回回扣扣夯夯实实双双基基基础梳理基础梳理1.等差数列的基本问题等差数列的基本问题(1)定义定义如果一个数列从第如果一个数列从第_项起项起,每一项与每一项与它的前一项的差等于它的前一项的差等于_,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列,2同一个常数同一个常数这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的_,通常用通常用字母字母_表示表示,定义的表达式为定义的表达式为_.(2)通项公式通项公式如果等差数列如果等差数列an的首项为的首项为a1,公差为公差为d,那么通项公式为那么通项公式为an_.公差公差dan1anda1(n1)d
2、(3)等差中项等差中项如果如果a,A,b成等差数列成等差数列,那么那么_叫做叫做a与与b的等差中项且的等差中项且_.A思考探究思考探究2.等差数列的性质等差数列的性质已已知知数数列列an是是等等差差数数列列,Sn是是其其前前n项项和和.(1)aman(mn)d.(2)若若mnpq,则则_.特别地：若特别地：若mn2p,则则aman2ap.amanapaq(3)am,amk,am2k,am3k,仍仍是是等等差差数数列列,公差为公差为_.(4)数列数列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是也是等差数列等差数列.kd课前热身课前热身1.(2010高高考考重重庆庆卷卷)在在等等差差数数列列an中中,a1
3、a910,则则a5的值为的值为()A.5B.6C.8 D.10答案：答案：A2.(2011高高考考大大纲纲全全国国卷卷)设设Sn为为等等差差数数列列an的的前前n项项和和,若若a11,公公差差d2,Sk2Sk24,则则k()A.8 B.7C.6 D.5解解析析：选选D.Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d21(2k1)24k424, k5.3.(教材改编教材改编)在等差数列在等差数列an中中Sn为其为其前前n项和项和,且且S312,a57,则则S8等于等于()A.31 B.52C.69 D.92答案：答案：B5.(2011高考辽宁卷高考辽宁卷)Sn为等差数列为等差数列
4、an的前的前n项和项和,S2S6,a41,则则a5_.答案：答案：1考考点点探探究究讲讲练练互互动动考点突破考点突破考点考点1等差数列的判定等差数列的判定证明一个数列证明一个数列an是等差数列的基本方是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法有两种：一是利用等差数列的定义法法,即证明即证明an1and(n N*),二是利用二是利用等差中项法等差中项法,即证明：即证明：an2an2an1(n N*).在选在选择方法时择方法时,要根据题目条件的特点要根据题目条件的特点,如果如果能够求出数列的通项公式能够求出数列的通项公式,则可以利用则可以利用定义法定义法,否则否则,可以利用等差中项法可以
5、利用等差中项法. 已已知知数数列列an的的通通项项公公式式anpn2qn(p、qR,且且p、q为常数为常数).(1)当当p和和q满满足足什什么么条条件件时时,数数列列an是是等等差数列差数列?(2)求求证证：对对任任意意实实数数p和和q,数数列列an1an是等差数列是等差数列.【思路分析思路分析】(1)直接运用定义证明直接运用定义证明;(2)视视an1an为一整体再用定义法即可为一整体再用定义法即可.例例1【解解】(1)an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq,要要使使an是是等等差差数数列列,则则2pnpq应应是是一一个个与与n无无关关的的常常数数,所所以以只只有有2p0,即
6、即p0.故当故当p0时时,数列数列an是等差数列是等差数列.(2)证明：证明：an1an2pnpq,an2an12p(n1)pq,而而(an2an1)(an1an)2p为为一一个常数个常数. an1an是等差数列是等差数列.考点考点2等差数列的基本运算等差数列的基本运算(1)等等差差数数列列可可以以由由首首项项a1和和公公差差d确确定定,所所有有关关于于等等差差数数列列的的计计算算和和证证明明,都都可可围绕围绕a1和和d进行进行.(2)对于等差数列问题一般要给出两个对于等差数列问题一般要给出两个条件条件,可以通过列方程求出可以通过列方程求出a1,d.如果再如果再给出第三个条件就可以完成给出第三
7、个条件就可以完成an,a1,d,n,Sn的的“知三求二知三求二”问题问题. 已知等差数列已知等差数列an满足满足a1020,a2010,求求a30.例例2【方方法法小小结结】(1)用用定定义义列列方方程程组组法法求解求解.(2)an为为n的一次型函数的一次型函数,利用函数的几何利用函数的几何意义求解意义求解.例例3【思思路路分分析析】(1)利利用用公公式式先先求求a1和和d,再求再求an和和Sn;(2)利用裂项法求利用裂项法求bn的前的前n项和项和Tn.互动探究互动探究1.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,且且a35,S15225.(1)求数列求数列an的通项的通项an;
8、(2)设设bn2an2n,求数列求数列bn的前的前n项项和和Tn.考点考点3等差数列的性质等差数列的性质已已知知数数列列an是是等等差差数数列列,Sn是是其其前前n项项和和.(1)若若mnpq,则则amanapaq.若若mn2p,则则aman2ap.(2)am,amk,am2k,am3k,仍仍是是等等差差数数列列,公差为公差为kd.例例4【思路分析思路分析】(1)可利用前可利用前6项与后项与后6项的和及等差数列的性质求出项的和及等差数列的性质求出a1an的的值值,(2)可先利用中项公式求解可先利用中项公式求解,然后利用然后利用前前n项和公式求出项数项和公式求出项数n.【名名师师点点评评】(1)
9、中中解解法法运运用用了了等等差差数数列列的的性性质质,若若mnpq(m,n,p,qN*),则则amanapaq,从从中中我我们们可可以以体体会会运运用用性性质质解解决决问问题题的的方方便便与与简简洁洁,应应注注意意运运用用;(2)小题中小题中,直接得出直接得出Sn(3n1)k,Tn(2n3)k,然后求然后求a8,b8.这种做法是错误这种做法是错误的的.互动探究互动探究方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1.等差数列的判断方法等差数列的判断方法(1)定定 义义 法法 ： an 1 an d(d是是 常常 数数)an是等差数列是等差数列.(2)等等差差中中项项公公式式：2an 1anan2(nN*)a
10、n是等差数列是等差数列.(3)通项公式：通项公式：anpnq(p,q为常数为常数)an是等差数列是等差数列.(4)前前n项和公式：项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数为常数)an是等差数列是等差数列.2.对于等差数列有关计算问题主要围绕对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前着通项公式和前n项和公式项和公式,在两个公式在两个公式中共五个量中共五个量a1、d、n、an、Sn,已知其已知其中三个量可求出剩余的量中三个量可求出剩余的量,而而a1与与d是最基本的是最基本的,它可以确定等差数列它可以确定等差数列的通项公式和前的通项公式和前n项和公式项和公式.3.要注意等差数列通项公式及前要注意等
11、差数列通项公式及前n项和公式项和公式的灵活应用的灵活应用,如如anam(nm)d,S2n1(2n1)an等等.4.在遇到三个数成等差数列问题时在遇到三个数成等差数列问题时,可设三可设三个数为个数为(1)a,ad,a2d;(2)ad,a,ad;(3)ad,ad,a3d等等,可视具体情况而可视具体情况而定定.失误防范失误防范1.如果如果pqrs,则则apaqaras,一般地一般地,apaqapq,必须是两项相加必须是两项相加,当然可以是当然可以是aptapt2ap.2.等差数列的通项公式通常是等差数列的通项公式通常是n的一次的一次函数函数,除非公差除非公差d0.3.公差不为公差不为0的等差数列的前
12、的等差数列的前n项和公式项和公式是是n的二次函数的二次函数,且常数项为且常数项为0.若某数列若某数列的前的前n项和公式是项和公式是n的常数项不为的常数项不为0的二的二次函数次函数,则该数列不是等差数列则该数列不是等差数列,它从第它从第二项起成等差数列二项起成等差数列.考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考命题预测命题预测通过对近几年高考试题的统计分析不通过对近几年高考试题的统计分析不难发现难发现,等差数列作为最基本的数列模等差数列作为最基本的数列模型之一型之一,一直是高考重点考查的对象一直是高考重点考查的对象.难难度属中低档的题目较多度属中低档的题目较多,但也有难度偏大的题目但也有难度偏大的题目.其
13、中其中,选择题、选择题、填空题突出填空题突出“小、巧、活小、巧、活”,主要以通项主要以通项公式、前公式、前n项和公式为载体项和公式为载体,结合等差数结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想思想,要注重通性、通法要注重通性、通法;解答题解答题“大而全大而全”,注重题目的综合与新颖注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思突出对逻辑思维能力的考查维能力的考查.预测预测2013年高考仍将以等差数列的定年高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前义、通项公式和前n项和公式为主要考项和公式为主要考点点,重点考查学生的运算能力与逻辑推重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力理能力.规范解答规范解答例例【名师点评名师点评】此题重点考查了等差数此题重点考查了等差数列的基本运算和利用错位相减法求和列的基本运算和利用错位相减法求和,属容易题属容易题.
