《高中数学 3.3三角函数的图像与性质配套课件 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 3.3三角函数的图像与性质配套课件 北师大版（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节三角函数的图像与性质第三节三角函数的图像与性质三年三年1010考考 高考指数高考指数:1.1.能画出能画出y=sinx,y=cosx,y=tanxy=sinx,y=cosx,y=tanx的图像的图像, ,了解三角函数的周期性了解三角函数的周期性. .2.2.理解正弦函数、余弦函数在区间理解正弦函数、余弦函数在区间0,20,2的性质（如单调性、的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与坐标轴的交点等）最大值和最小值、图像与坐标轴的交点等）. .理解正切函数在理解正切函数在 内的单调性内的单调性. .1.1.三角函数的图像和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、三角函数的图像和性质是考查的重点
2、，特别是定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性的应用周期性、奇偶性和单调性的应用. .2.2.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图像与性质结合起在复习时要充分运用数形结合的思想，把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得出函数的性质，同时既能利用函数来，即利用图像的直观性得出函数的性质，同时既能利用函数的性质来描绘函数的图像，又能熟练地运用数形结合的思想方的性质来描绘函数的图像，又能熟练地运用数形结合的思想方法法. .3.3.主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会在解答题中考查，属中档题在解答题中考查，属中档题. .1.1.周期
3、函数及最小正周期周期函数及最小正周期(1)(1)周期函数的定义周期函数的定义对于函数对于函数f(xf(x) )，如果存在非零实数，如果存在非零实数T T，对定义域内的任意一个，对定义域内的任意一个x x值值, ,都有都有_,_,那么把函数那么把函数f(xf(x) )称为周期函数，称为周期函数，_称为称为这个函数的周期这个函数的周期. .(2)(2)最小正周期最小正周期如果在周期函数如果在周期函数f(xf(x) )的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个_，那，那么这个么这个_称为称为f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )T T最小的正数最
4、小的正数最小正数最小正数【即时应用【即时应用】(1)(1)常函数常函数f(x)=a(aRf(x)=a(aR) )是否为周期函数是否为周期函数, ,有无最小正周期有无最小正周期? ?提示：提示：是周期函数，但没有最小正周期是周期函数，但没有最小正周期. .(2)(2)若函数若函数f(xf(x) )满足满足f(x+2)=-f(xf(x+2)=-f(x) )，函数，函数f(xf(x) )是周期函数，对吗是周期函数，对吗？提示：提示：对，因为对，因为f(x+4)=-f(x+2)=f(xf(x+4)=-f(x+2)=f(x) )，所以，所以f(xf(x) )是周期函数，是周期函数，最小正周期是最小正周期
5、是4.4.(3)(3)函数函数 的最小正周期是的最小正周期是_._.【解析【解析】由周期函数的定义知原函数的最小正周期是由周期函数的定义知原函数的最小正周期是4.4.答案：答案：44 2.2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx图像图像定义域定义域值域值域yxOO1 1-1-122 yx1 1-1-1 22 OyxxRxRxRxR-1,1-1,1-1,1-1,1xRxR且且x +kx +k, ,kZkZR R函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=ta
6、nxy=tanx单调性单调性递增区间是递增区间是2k- ,2k+ 2k- ,2k+ (kZ),(kZ),递减区间是递减区间是2k+ ,2k+ 2k+ ,2k+ (kZ)(kZ)递增区间是递增区间是2k-,2k2k-,2k(kZ(kZ),),递减区间是递减区间是2k,2k+2k,2k+(kZ(kZ) )递增区间是递增区间是(k(k- ,- ,kk+ )+ )(kZ(kZ) )函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx无最大值无最大值和最小值和最小值最值最值x=x= 时时, ,y ymaxmax=1;=1;x=x= 时时, , y yminmin=-1=-1x
7、=x= 时时, ,y ymaxmax=1;=1;x=x= 时时, ,y yminmin=-1=-1+2k(kZ)+2k(kZ)+2k(kZ)+2k(kZ)2k(kZ)2k(kZ)+2k(kZ)+2k(kZ)函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数对对称称性性对称对称中心中心对称对称轴轴(k,0),kZ(k,0),kZ(k(k+ ,0),kZ+ ,0),kZ( ,0),kZ( ,0),kZx=kx=k+ ,kZ+ ,kZx=k,kZx=k,kZ无对称轴无对称轴最小正周期最小正周期2222【即时应用【即时应用】
8、(1)(1)判断下列命题的正误判断下列命题的正误.(.(请在括号中填请在括号中填“”或或“”) )y=sinxy=sinx在第一、第四象限是增函数在第一、第四象限是增函数. ( ). ( )y=sinxy=sinx在在xx 上是增函数上是增函数. ( ). ( )y=tanxy=tanx在定义域上是增函数在定义域上是增函数. ( ). ( )y=sin|xy=sin|x| |是偶函数是偶函数. ( ). ( )y=sin2xy=sin2x的周期为的周期为2. ( )2. ( )y=cos2xy=cos2x的对称中心为的对称中心为(k(k+ +,0),0)，kZkZ. ( ). ( )(2)(2
9、)若直线若直线y=ay=a与函数与函数y=sinx,xy=sinx,x-2,2)-2,2)的图像有的图像有4 4个交点个交点, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.(3)(3)函数函数 的定义域是的定义域是_._.【解析【解析】(1)(1)由由y=sinxy=sinx的递增区间是的递增区间是可知可知不正确不正确,正确；由正确；由y=tanxy=tanx在在上是增函数可知上是增函数可知不正确；由不正确；由sin|-x|=sin|xsin|-x|=sin|x| |可知可知正确；由正确；由y=sin2xy=sin2x的周期为的周期为 知知不正确；由余弦函数不正确；由余弦函数y=cosxy=c
10、osx的对称的对称中心为中心为 可得可得 所以所以为为y=cos2xy=cos2x的对称中心，故的对称中心，故不正确不正确. .(2)(2)如图所示如图所示: :y=sinx,xy=sinx,x-2,2)-2,2)有两个周期有两个周期, ,故若故若y=sinxy=sinx与与y=ay=a有有4 4个交点个交点, ,则则-1-1a a1.1.(3)(3)由由x- k+ ,kZx- k+ ,kZ得得xk+ ,kZxk+ ,kZ, ,所以所以y=tan( -x)y=tan( -x)的定义域为的定义域为x|xk+ ,kZx|xk+ ,kZ 答案：答案：(1)(1)(2)-1(2)-1a a1 1(3)
11、x|xk(3)x|xk+ + ,kZ,kZ 三角函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域【方法点睛【方法点睛】1.1.三角函数定义域的求法三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式( (组组),),常借常借助三角函数线或三角函数图像来求解助三角函数线或三角函数图像来求解. .2.2.三角函数值域的不同求法三角函数值域的不同求法(1)(1)利用利用sinxsinx和和cosxcosx的值域直接求的值域直接求. .(2)(2)把所给的三角函数式变换成把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+y=Asin(x+) )的形式求值域的形式
12、求值域. .(3)(3)把把sinxsinx或或cosxcosx看作一个整体，转换成二次函数求值域看作一个整体，转换成二次函数求值域. .(4)(4)利用利用sinxsinxcosxcosx和和sinxcosxsinxcosx的关系转换成二次函数求值域的关系转换成二次函数求值域. . 【例【例1 1】(1)(1)函数函数 的定义域为的定义域为_._.(2)(2)已知已知f(xf(x) )的定义域为的定义域为0 0，1 1，则，则f(cosxf(cosx) )的定义域为的定义域为_._.(3)(3)当当x x 时时, ,函数函数y=3-sinx-2cosy=3-sinx-2cos2 2x x的最
13、小值是的最小值是_,_,最大值是最大值是_._.【解题指南【解题指南】(1)(1)由由tanx-10,tanx-10,且且xkxk+ + ，kZkZ求得求得;(2);(2)利利用用cosxcosx0,10,1求得求得x;(3)x;(3)利用同角三角函数关系式转化成利用同角三角函数关系式转化成sinxsinx的二次函数求解的二次函数求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由由tanx-10,tanx-10,且且xk+ ,kZxk+ ,kZ得得xkxk+ + 且且xk+ ,kZxk+ ,kZ，所以函数的定义域为：，所以函数的定义域为：答案：答案：x|xkx|xk+ + 且且xk+ ,kZxk+
14、 ,kZ (2)0cosx1(2)0cosx12k2k x2k+ (kZx2k+ (kZ).).所求函数的定义域为所求函数的定义域为2k2k ，2k+ 2k+ (kZ(kZ).).答案：答案：2k2k ，2k+ 2k+ (kZ(kZ) )(3)(3)因为因为y=3-sinx-2cosy=3-sinx-2cos2 2x=2sinx=2sin2 2x-sinx+1= x-sinx+1= 所以当所以当 时，时，当当sinxsinx=1=1或或 时，时，y ymaxmax=2.=2.答案：答案：【反思【反思感悟感悟】1.1.求三角函数的定义域主要是解三角不等式求三角函数的定义域主要是解三角不等式. .
15、2.2.在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或三角转在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或三角转化，这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范化，这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范围围. .三角函数的单调性三角函数的单调性【方法点睛【方法点睛】三角函数单调区间的求法三角函数单调区间的求法(1)(1)代换法代换法 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角个角( (或或t)t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，这就要求同学
16、们熟练掌握基本三角函数的单函数的单调区间，这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间调区间. .(2)(2)图像法图像法函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，如间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图像，那它的单调区间就直观明了了果能画出三角函数的图像，那它的单调区间就直观明了了. 【例【例2 2】(1)(2012(1)(2012咸阳模拟咸阳模拟) )函数函数 的单调递的单调递减区间是减区间是( )( )(2)(2)求函数求函数y=-|s
17、in(xy=-|sin(x+ )|+ )|的单调区间的单调区间. .【解题指南【解题指南】(1)(1)将将 看成整体看成整体, ,然后求解然后求解. .(2)(2)可画出可画出 的图像的图像, ,利用图像求解利用图像求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.当当 时，时，即即当当 时，时，y y随随x x的增大而减小，的增大而减小，单调减区间为单调减区间为 (kZ(kZ),),故选故选D.D.(2)y=(2)y=|sin(x|sin(x+ )|+ )|的图像如图，单调递增区间为的图像如图，单调递增区间为kk+ + ，k+ (kZk+ (kZ) )，单调递减区间为，单调递减区间为k
18、k ，k+ (kZk+ (kZ).).【反思【反思感悟感悟】1.1.熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础较复杂的三角函数单调区间的基础. .2.2.求形如求形如y=Asin(x+y=Asin(x+)+k)+k 的单调区间时的单调区间时, ,只需把只需把x+x+看作看作一个整体代入一个整体代入y=sinxy=sinx 的相应单调区间内求得的相应单调区间内求得x x的区间即可的区间即可, ,求求y=Acos(x+y=Acos(x+)+k)+k和和y=Atan(x+y=Atan(x+)+k)+k 的单调区间类似的单调区间类似. .
19、三角函数的奇偶性和周期性三角函数的奇偶性和周期性【方法点睛【方法点睛】1.1.三角函数的奇偶性的判断技巧三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图像判断角函数的奇偶性；也可以根据图像判断. .2.2.求三角函数周期的方法求三角函数周期的方法(1)(1)利用周期函数的定义利用周期函数的定义. .(2)(2)利用公式利用公式:y=Asin(x+:y=Asin(x+) )和和y=Acos(x+y=Acos(x+) )的最小正周期的最小正周期为为y=tan(x+y=tan(x+) )
20、的最小正周期为的最小正周期为 (3)(3)利用图像利用图像. .3.3.三角函数的对称性三角函数的对称性正、余弦函数的图像既是中心对称图形正、余弦函数的图像既是中心对称图形, ,又是轴对称图形又是轴对称图形. .正切正切函数的图像只是中心对称图形函数的图像只是中心对称图形, ,应熟记它们的对称轴和对称中应熟记它们的对称轴和对称中心心, ,并注意数形结合思想的应用并注意数形结合思想的应用. .【提醒【提醒】判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间关于原点对称的区间. .要注意以下两种情况：一是没有考虑原要注意以下两种情况：一是
21、没有考虑原函数的定义域；二是化简时没有注意等价变形函数的定义域；二是化简时没有注意等价变形. . 【例【例3 3】设函数】设函数f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+)()(0,|0,| |) )，给出以，给出以下四个论断：下四个论断：它的最小正周期为它的最小正周期为；它的图像关于直线成轴对称图形；它的图像关于直线成轴对称图形；它的图像关于点它的图像关于点( () )成中心对称图形；成中心对称图形；在区间在区间 ) )上是增函数上是增函数. .以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题正确的一个命题_(_(用
22、序号表示即可用序号表示即可).).【解题指南【解题指南】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图像及单本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图像及单调性、周期性以及对称性逐一判断调性、周期性以及对称性逐一判断. .【规范解答【规范解答】若若、成立，则成立，则 令令 且且| | | 故故k=0k=0， 此时此时f(xf(x)=sin(2x+ )=sin(2x+ )，当，当x= x= 时，时，sin(2x+ )=sinsin(2x+ )=sin=0=0，f(xf(x) )的图像关于的图像关于( ,0)( ,0)成中心对称；又成中心对称；又f(xf(x) )在在 上是增函上是增函数，数，在在 ) )上也
23、是增函数，因此上也是增函数，因此，用类似的，用类似的分析可得分析可得.因此填因此填或或. .答案：答案：(也可填也可填) )【反思【反思感悟感悟】三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性质，要切实掌握，而且经常考查性质，要切实掌握，而且经常考查. .解决时要注意结合三角函解决时要注意结合三角函数的图像，其中对称性包含轴对称和中心对称数的图像，其中对称性包含轴对称和中心对称. .【易错误区【易错误区】有关三角函数图像与性质的易错点有关三角函数图像与性质的易错点【典例】【典例】(2011(2011安徽高考安徽高考) )设设f(xf(x)=asin2x+bc
24、os2x)=asin2x+bcos2x，其中，其中a,bR,ab0a,bR,ab0，若，若 对一切对一切xRxR恒成立，则恒成立，则f(xf(x) )既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数f(xf(x) )的单调递增区间是的单调递增区间是存在经过点存在经过点(a,b(a,b) )的直线与函数的直线与函数f(xf(x) )的图像不相交的图像不相交. .以上结论正确的是以上结论正确的是_(_(写出正确结论的编号写出正确结论的编号).).【解题指南【解题指南】先将先将f(xf(x)=asin2x+bcos2x,a,bR,ab0)=asin2x+bcos2x,a,bR,ab0，变形为，变形为
25、 然后根据性质顺次判断命题的正误然后根据性质顺次判断命题的正误. .【规范解答【规范解答】由由f(x)|ff(x)|f( )|( )|对一切对一切xRxR恒成立知，恒成立知，直线直线 是是f(xf(x) )的对称轴，的对称轴，又又 ( (其中其中 ) )的周期为的周期为， 可看作可看作x= x= 的值加了的值加了 个周期，个周期， 故故正确正确. . 和和 与对称轴的距离相等与对称轴的距离相等. . 故故不正确不正确. .x= x= 是对称轴，是对称轴，sin(2sin(2 + +)=)=1 1 或或f(xf(x)=2|b|sin(2x+ )=2|b|sin(2x+ )或或f(xf(x)=2|
26、b|sin(2x- )=2|b|sin(2x- )f(xf(x) )既不是奇函数也不是偶函数，故既不是奇函数也不是偶函数，故正确正确. .由以上知，由以上知，f(xf(x)=2|b|sin(2x+ )=2|b|sin(2x+ )的单调递增区间为的单调递增区间为 的单调递增区间为的单调递增区间为由于由于f(xf(x) )的解析式不确定的解析式不确定. .单调递增区间也不确定，故单调递增区间也不确定，故不正确不正确. .f(x)=asin2x+bcos2x= f(x)=asin2x+bcos2x= ( (其中其中 ) )又又ab0ab0，a0,b0a0,b0过点过点(a(a，b)b)的直线必与函数
27、的直线必与函数f(x)f(x)图像相交，故图像相交，故不正确不正确. .答案：答案：【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议： 误误区区警警示示在解答本题时易犯以下两点错误：在解答本题时易犯以下两点错误：(1)(1)在求在求中中f(xf(x) )的单调递增区间时的单调递增区间时, ,运算化简不准确，而使判断运算化简不准确，而使判断错误；错误；(2)(2)对于对于的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然判断，而的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然判断，而使解答错误使解答错误.
28、. 备备考考建建议议解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：(1)(1)化简时公式应用要准确；化简时公式应用要准确；(2)(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面；有的题目涉及到角的范围时要考虑全面；(3)(3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域和其他内容结合时要注意三角函数的值域. . 1.(20111.(2011陕西高考陕西高考) )设函数设函数f(x)(xRf(x)(xR) )满足满足f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),f(x+2)=f(xf(x+2)=f(x),),则则y=f(xy=f(x) )的图像
29、可能是的图像可能是( )( )【解析【解析】选选B.B.由由f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )得得y=f(xy=f(x) )是偶函数，所以函数是偶函数，所以函数y=f(xy=f(x) )的图像关于的图像关于y y轴对称，可知轴对称，可知B B、D D符合；由符合；由f(x+2)=f(xf(x+2)=f(x) )得得y=f(xy=f(x) )是周期为是周期为2 2的周期函数，选项的周期函数，选项D D的图像的最小正周期是的图像的最小正周期是4 4，不符合，选项，不符合，选项B B的图像的最小正周期是的图像的最小正周期是2 2，符合，故选，符合，故选B.B.2.(20112.(2011新课
30、标全国卷新课标全国卷) )设函数设函数则则( )( )(A)y=f(x(A)y=f(x) )在在(0, )(0, )内单调递增，其图像关于直线内单调递增，其图像关于直线x= x= 对称对称(B)y=f(x(B)y=f(x) )在在(0, )(0, )内单调递增，其图像关于直线内单调递增，其图像关于直线x= x= 对称对称(C)y=f(x(C)y=f(x) )在在(0, )(0, )内单调递减，其图像关于直线内单调递减，其图像关于直线x= x= 对称对称(D)y=f(x(D)y=f(x) )在在(0, )(0, )内单调递减，其图像关于直线内单调递减，其图像关于直线x= x= 对称对称【解析【解
31、析】选选D. D. f(xf(x) )在在(0, )(0, )内单调递减，且图像关于直线内单调递减，且图像关于直线x= x= 对称对称. .3.(20123.(2012桂林模拟桂林模拟) )已知函数已知函数y=sin(x+y=sin(x+)()(0)0)的部分图的部分图像如图所示，设像如图所示，设P P是图像的最高点，是图像的最高点，A,BA,B是图像与是图像与x x轴的交点，轴的交点，则则tanAPBtanAPB=( )=( )(A)10 (B)8(A)10 (B)8(C) (D) (C) (D) 【解析【解析】选选B.B.作作PHABPHAB于于H H，依题意得，依题意得，又又|PH|=1|PH|=1，设，设APH=,HPBAPH=,HPB=,=,tanAPB=tan(+tanAPB=tan(+)=)=
