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1、第三节第三节 三重积分三重积分-1-1一、三重积分的概念一、三重积分的概念引例引例 空间立体的质量空间立体的质量MM.1. 分割分割:2. 近似近似:3. 求和求和:4. 取极限取极限:三重积分的定义三重积分的定义: :积积分分区区域域积积分分和和式式被被积积函函数数积积分分变变量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式体体积积元元素素相关术语：相关术语：三三重重积积分分号号故三重积分可写为故三重积分可写为: :关于体积元素的说明关于体积元素的说明: :关于三重积分的定义及存在性的说明关于三重积分的定义及存在性的说明: :(1)(1)(1)(1)在三重积分的定义中在三重积分的定义中在三重积分
2、的定义中在三重积分的定义中, , , ,对闭区域的划分和点的选取是任意的对闭区域的划分和点的选取是任意的对闭区域的划分和点的选取是任意的对闭区域的划分和点的选取是任意的. . . .(2)(2)(2)(2)若被积函数在闭区域上连续或分域连续，则三重积分必存在若被积函数在闭区域上连续或分域连续，则三重积分必存在若被积函数在闭区域上连续或分域连续，则三重积分必存在若被积函数在闭区域上连续或分域连续，则三重积分必存在. . . .三重积分的物理意义三重积分的物理意义: : 空间立体的质量空间立体的质量. .三重积分的几何意义三重积分的几何意义: :? ?性质性质1 1性质性质2 2(与定积分和二重积
3、分类似与定积分和二重积分类似) )二、三重积分的性质二、三重积分的性质性质性质3 3 对积分区域具有可加性对积分区域具有可加性性质性质4 4计算计算性质性质5 5 比较性质比较性质: : 性质性质6 6 估值性质估值性质: :性质性质7 7 中值定理中值定理: : 1. 利用直角坐标的三次积分法：利用直角坐标的三次积分法：如图如图:三、三重积分的计算方法三、三重积分的计算方法得：得：得：得：三三三三次次次次积积积积分分分分公公公公式式式式解解例例1解：解：例例2解解练习练习解：解：例例3 2. 利用直角坐标的平行截面法：利用直角坐标的平行截面法：例例4解解: 法法1解解: 法法2例例4读题读题解解: 计算三重积分的计算三重积分的三次积分法三次积分法:在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素:小结与教学基本要求小结与教学基本要求掌握掌握:计算三重积分的计算三重积分的平行截面法平行截面法:本质上本质上：先算一个定积分，再算一个二重积分：先算一个定积分，再算一个二重积分.本质上本质上：先算一个二重积分，再算一个定积分：先算一个二重积分，再算一个定积分.习题习题 9-3 / P106: 1(4), 2, 3, 5, 8
