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1、27.327.3圆中的计算问题圆中的计算问题001 001 华东师大版华东师大版问题情景问题情景：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90你能求出这段铁轨的长度吗?（取3.14 ）分析分析：我们容易看出这段铁轨是圆周长的四分之一，所以铁轨的长度 =157.0（米）. 问题探究问题探究上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？ 思考：思考：请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、900、450、10、n0所对的弧长。探索：（1）圆心角是180，占整个周角的 ，因此它所对的弧长_；（2）圆心角是90，占整个周角的 ，因此它所对的弧长
2、_；（3）圆心角是45，占整个周角的_，因此它所对的弧长_；（4）圆心角是1，占整个周角的_，因此它所对的弧长_；（5）圆心角是n，占整个周角的_，因此它所对的弧长_ 结论：结论：如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长的计算公式为：练一练：练一练：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60，求此圆弧的长度。=cm答：此圆弧的长度为cm解：解：解：解：扇形：扇形：定义：如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形扇形 提问：提问：1.将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关圆心角越大，扇形的面积也越大怎样计算圆心角
3、为n的扇形面积呢？ 2.我们知道，如果设圆的面积为S，圆的半径为r，那么圆面积的计算公式为Sr2，半径为r的扇形的面积与半径为r的圆的面积有没有关系呢？圆心角为1的扇形面积以及圆心角为n的扇形面积分别是圆面积的几分之几？探探 索索 （1） 如图，圆心角是180，占整个周角的 ，因此圆心角是180的扇形面积是圆面积的_；（2） 圆心角是90，占整个周角的_，因此圆心角是90的扇形面积是圆面积的_； （3） 圆心角是45，占整个周角的_，因此圆心角是45的扇形面积是圆面积的_； （4） 圆心角是1，占整个周角的_，因此圆心角是1的扇形面积是圆面积的_； （5） 圆心角是n，占整个周角的_，因此圆心
4、角是n的扇形面积是圆面积的_ 结论：结论：如果设圆心角是n的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为：因此扇形面积的计算公式为 或小试牛刀：小试牛刀：1、如果扇形的圆心角是20，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的_；2、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇形的圆心角的度数是_.3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_答案：；240，例题讲解例题讲解例1如图，圆心角为60的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长（3.14） =52.33(平方厘米)；扇形的周长为30.47（厘米）。 解：因为n60，r10厘米，所以扇形面积为27.3 27.3 圆中的计算问题圆中
5、的计算问题（第2课时）回顾回顾R圆柱一圆柱的直观特征一圆柱的直观特征圆柱是由两个圆柱是由两个 和一个和一个 围成的围成的两个底之间的距离两个底之间的距离是圆柱体的是圆柱体的高高侧面侧面是一个曲面是一个曲面, ,可以展开铺在平面上。可以展开铺在平面上。底面底面是两个等圆是两个等圆; ;底面底面 侧面侧面圆柱的圆柱的表面积表面积是是_._.圆柱的圆柱的侧面积侧面积应等于应等于_._.二、圆柱的侧面展开图二、圆柱的侧面展开图侧面展开图是侧面展开图是_._.矩形矩形矩形的两边与圆柱体矩形的两边与圆柱体有何关系？有何关系？底面圆的周长乘以圆柱的高底面圆的周长乘以圆柱的高矩形的一边长等于矩形的一边长等于_
6、;_;( (即圆柱的母线长即圆柱的母线长) )圆柱的高圆柱的高另一边是另一边是_._.底面圆的周长底面圆的周长上下两底面圆的面积与侧面面积之和上下两底面圆的面积与侧面面积之和 圆柱圆柱S表表= S侧侧+ 2S底底S侧侧=ch=2rh 圆柱侧面展开图圆柱侧面展开图1.1.圆圆柱柱的的侧面展开图侧面展开图是一个是一个矩形矩形, ,它的一边它的一边长是圆长是圆柱柱的的母线长母线长; ;它的另一边长是圆它的另一边长是圆柱柱的的底面底面圆周长圆周长。2.2.圆圆柱柱的的侧侧面面积积是是母母线线与与圆圆柱柱的的底底面面圆圆周周长围成的矩形面积。长围成的矩形面积。3.3.圆圆柱柱的全面积的全面积= =侧面积
7、侧面积+ +底面积底面积回顾回顾设圆柱底面半径为设圆柱底面半径为r r， 则有则有60602r2r10101.1.如果圆柱侧面积如果圆柱侧面积60cm2，母线长为，母线长为10cm， 则圆柱底面半径为则圆柱底面半径为_._.r r3cm3cmS侧侧=2rh三、三、 练习练习圆柱的母线长圆柱的母线长与高是相等的与高是相等的2 2、用一张面积为、用一张面积为900平方厘米的正方形硬纸平方厘米的正方形硬纸 片围成一个圆柱的侧面片围成一个圆柱的侧面, ,则这个圆柱的底则这个圆柱的底 面直径约为面直径约为_。(精确到精确到0.1厘米厘米) 圆圆柱柱的的高高圆柱底面的周长圆柱底面的周长9.6cm四、四、
8、练习练习生活中的圆锥生活中的圆锥如图，一只如图，一只蚂蚁蚂蚁从底面圆周上一点从底面圆周上一点B B出发沿圆锥的出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点侧面爬行一周后回到点B B，请你帮助它找到最短的，请你帮助它找到最短的路线。路线。设置情境设置情境B.ABCB连接圆锥顶点和连接圆锥顶点和连接圆锥顶点和连接圆锥顶点和底面圆周上任意一底面圆周上任意一底面圆周上任意一底面圆周上任意一点的点的点的点的线段线段线段线段叫做叫做叫做叫做圆锥的圆锥的圆锥的圆锥的母线母线母线母线连结连结连结连结圆锥圆锥圆锥圆锥顶点顶点顶点顶点与底面圆心的线与底面圆心的线与底面圆心的线与底面圆心的线段叫做圆锥的段叫做圆锥的段叫做圆锥的
9、段叫做圆锥的高高高高圆锥的底面半径、高、母线长三者圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系之间的关系: :( (母线有无数条母线有无数条, ,母线都是相等的母线都是相等的 ) )圆锥的再认识圆锥的再认识圆锥圆锥是由是由一个底面一个底面和和一个侧面一个侧面围成的围成的, ,它它的的底面是一个圆底面是一个圆, ,侧面是一个曲面侧面是一个曲面. .填空、填空、根据下列条件求值（其中根据下列条件求值（其中r r、h h、a a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）（1 1）a a = 2= 2，r=1 r=1 则则 h=_h=_ (2) h =3, r=4 (2) h
10、 =3, r=4 则则 a=_a=_ (3) (3) a a = 10, h = 8 = 10, h = 8 则则r=_r=_56圆锥与侧面展开图之间的主要关系圆锥与侧面展开图之间的主要关系 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个一个扇形扇形。1 1、这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？、这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？2 2、这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？、这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？3 3、圆锥的侧面积和这个扇形的面积有什么关系圆锥的侧面积和这个扇形的面积有什么关系?探求新知探求新知1.1.圆锥的圆锥的侧面展开
11、图侧面展开图是一个是一个扇形扇形 2.2.圆圆锥锥的的底底面面圆圆周周长长就就是是其其侧面展开图侧面展开图扇形的弧长扇形的弧长3.3.圆锥的圆锥的母线母线就是其侧面展开图就是其侧面展开图扇形的半径扇形的半径。a ah hr r圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图4.4.圆圆锥锥的的侧侧面面积积就就是是弧弧长长为为圆圆锥锥底底面面的的周周长长、半径为圆锥的一条母线的长的半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积扇形面积. . 5.5.圆锥的全面积圆锥的全面积= =侧面积侧面积+ +底面积底面积. .扇形的扇形的半径半径扇形的扇形的弧长弧长圆锥与侧面展开图之间的主要关系圆锥与侧面展开图之间的主要关系：nRa
12、= RC = l扇形的面积扇形的面积1.圆锥的圆锥的母线长母线长=2.圆锥的底面圆锥的底面周长周长=3.圆锥的侧面积圆锥的侧面积=圆锥的侧面积圆锥的侧面积圆锥的侧面积圆锥的侧面积=扇形的面积扇形的面积n公式一公式一：例例1 1、一一个个圆圆锥锥形形零零件件的的母母线线长长为为a a，底底面面的的半半径径为为r r，求求这这个个圆圆锥锥形形零零件件的的侧面积和全面积侧面积和全面积 解解: :圆圆锥锥的的侧侧面面展展开开后后是是一一个个扇扇形形，该该扇扇形形的半径为的半径为a a，扇形的弧长为，扇形的弧长为2 2rr，所以，所以S S侧侧 S S底底rr2 2； S S ra ra rr2 2答：
13、这个圆锥形零件的侧面积答：这个圆锥形零件的侧面积为为rara，全面积为，全面积为rararr2 222rra arara OPABrha圆锥的侧面积圆锥的侧面积 S S 侧侧 = = raraa ah hr r圆锥的全面积圆锥的全面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积根据圆锥的下面条件，求它的侧根据圆锥的下面条件，求它的侧面积和全面积面积和全面积（ 1 1 ） r=12cm, a=20cm r=12cm, a=20cm （ 2 2 ） h=12cm, r=5cmh=12cm, r=5cm （1）侧：）侧：240 全：全：384（2）侧：）侧：65 全：全：90填空、填空、根据下列条件求圆
14、锥侧面积展开图的根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角（圆心角（r r、h h、a a分别是圆锥的底面半径、高分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）线、母线长）（1 1）a a = 2= 2，r = 1r = 1，则，则 =_ =_ (2) h=3 (2) h=3， r=4r=4，则，则 =_=_ rha180288 1 1、一一个个圆圆柱柱形形水水池池的的底底面面半半径径为为4 4米米，池池深深1.21.2米米. .在在池池的的内内壁壁与与底底面面抹抹上上水水泥泥，抹抹水水泥泥部部分分的的面面积积是是_平平方方米米. . 2 2、已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径、已知一个圆锥与一个圆柱的底面半
15、径都为都为3 3米，高都为米，高都为4 4米米. .它们两者的侧面积它们两者的侧面积相差为相差为_ _ 侧面积的比值为侧面积的比值为_._.25.69平方米平方米5:8即时训练即时训练 及时评价及时评价 （1 1）已知圆锥的底面半径为）已知圆锥的底面半径为4 4，母线长为，母线长为6 6，则它的侧面，则它的侧面积为积为_._. 2(3(3）已知圆锥底面圆的半径为）已知圆锥底面圆的半径为2cm,2cm,高为高为 ，则这个圆，则这个圆锥的侧面积为锥的侧面积为_. (2) (2)已知圆锥的底面直径为已知圆锥的底面直径为20cm20cm，母线长为，母线长为12cm12cm，则它，则它的侧面积为的侧面积
16、为_._.n圆锥的侧面积圆锥的侧面积公式二公式二：或公式二或公式二：即时训练即时训练 及时评价及时评价 填空、填空、根据下列条件求值根据下列条件求值 . . (1) a=2 (1) a=2， r=1 r=1 则则n n =_ (2) a=9, r=3 (2) a=9, r=3 则则n n =_ (3) n= (3) n=90,a=4 ,a=4 则则r r =_ (4) n=(4) n=60,r=r= 3 则则a a =_ n1801201182 2、如图，若圆锥的侧面展开、如图，若圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个展开图图是半圆，那么这个展开图的圆心角是的圆心角是_度；度；圆锥底半径圆锥底半径
17、r r与母线与母线a a的比的比r r ：a a = _ .= _ .1801:21 1、如果圆锥的底面周长是、如果圆锥的底面周长是20 20 , ,侧面展开侧面展开后所得的扇形的圆心角为后所得的扇形的圆心角为120120度度, ,则该圆锥则该圆锥的侧面积为的侧面积为_,_,全面积为全面积为_300400圆锥的母线与高的夹角为圆锥的母线与高的夹角为3030，母线长为，母线长为6cm ,6cm ,它的全面积为它的全面积为 ，如图，圆锥的底面半径为如图，圆锥的底面半径为1 1，母线长，母线长为为6 6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B B出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点出发
18、，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B B，问它爬行的最短路线是多少？，问它爬行的最短路线是多少？ABCABC.作过点AC，BDB小结升华小结升华1 1、本节课所学：、本节课所学：“两个图形、三个关系、两两个图形、三个关系、两个公式个公式”，理解关系，牢记公式；，理解关系，牢记公式；2 2、立体图形的处理方式、立体图形的处理方式-转化为平面几何图形转化为平面几何图形圆锥与侧面展开图之间的主要关系：圆锥与侧面展开图之间的主要关系：1 1、圆锥的母线长、圆锥的母线长= =扇形的半径扇形的半径2 2、圆锥的底面周长、圆锥的底面周长= =扇形的弧长扇形的弧长3 3、圆锥的侧面积、圆锥的侧面积= =扇形的面积扇
19、形的面积 （a = R）（C = l）n能力提升能力提升1 .1 .1 .1 .圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为3cm3cm3cm3cm，母线长为，母线长为，母线长为，母线长为6cm6cm6cm6cm，则这个圆锥，则这个圆锥，则这个圆锥，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是侧面展开图扇形的圆心角是侧面展开图扇形的圆心角是侧面展开图扇形的圆心角是_。2.2.2.2.圆锥的侧面积是底面积的圆锥的侧面积是底面积的圆锥的侧面积是底面积的圆锥的侧面积是底面积的2 2 2 2倍，这个圆锥的侧面展开倍，这个圆锥的侧面展开倍，这个圆锥的侧面展开倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角
20、是图扇形的圆心角是图扇形的圆心角是图扇形的圆心角是 _ _ _ _ 。3 .3 .3 .3 .一个扇形的半径为一个扇形的半径为一个扇形的半径为一个扇形的半径为30cm30cm30cm30cm，圆心角为，圆心角为，圆心角为，圆心角为120120120120度，用它做成度，用它做成度，用它做成度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_ _ _ _ 。4.4.4.4.圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为10cm10cm10cm10cm，母线长，母线长，母线长，母线长40cm40cm40cm40cm，底面圆周上的，底面圆周上的，底面圆周上的，底面圆周上的蚂蚁绕侧面一周的最短的长度是蚂蚁绕侧面一周的最短的长度是蚂蚁绕侧面一周的最短的长度是蚂蚁绕侧面一周的最短的长度是_。180o10cm180o
