高数总复习下PPT课件

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1、复习复习 5、无穷级数、无穷级数主要考点：主要考点：1、数、数项级数的数的敛散散2、幂级数求收数求收敛域、和函数、函数的域、和函数、函数的 幂级数展开数展开 1、数、数项级数的数的审敛法法1）. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2）. 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别部分和极限3）. 任意项级数审敛法 绝对收敛、条件收敛Leibniz判判别法法: 若且则交错级数收敛 , 且余项绝对收敛的判别 利用正项级数审敛法2、求、求幂级数收数收敛域的方法域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化

2、为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数性质及已知展开式的函数 常用函数的幂级数展开式2、函数展开成、函数展开成幂级数数求导当 m = 1 时 求部分和式极限3、幂级数和函数的求法数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和复习复习 6、空间解析几何、空间解析几何主要考点：主要考点：1、概念和意、概念和意义：数量：数量积、向量、向量积、混合、混合积2、求平面方程、直、求平

3、面方程、直线方程、方程、线和面关系和面关系3、空、空间曲曲线方程、切方程、切线方程、法平面方程方程、法平面方程4、旋、旋转曲面方程曲面方程 1. 数量数量积、向量、向量积、混合、混合积 （右手法则） 坐标公式P181. 空空间直直线方程方程一般式对称式参数式2、求平面方程、直求平面方程、直线方程、方程、线和面关系和面关系直线2. 线与与线的关系的关系直线夹角公式:平面 :L L / 夹角公式：3. 面与面与线间的关系的关系直线 L :1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式三点式3、空空间曲曲线方程、切方程、切线方程、法平面方程方程、法平面方程2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公

4、式:1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .4、旋旋转曲面方程曲面方程（了解） 2. 二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 复习复习 7、多元函数的微分、多元函数的微分主要考点：主要考点：1、二元函数极限的概念、主要求法；、二元函数极限的概念、主要求法；2、复合、复合、隐含、高含、高阶等多元函数（等多元函数（组）的偏）的偏导、全微；、全微；3、空、空间曲曲线的切的切线、法平面和曲面的切平面、法、法平面和曲面的切平面

5、、法线；4、梯度、方向、梯度、方向导数；数；5、多元函数极、多元函数极值、条件最、条件最值 ；有1. 多元函数的极限2. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续1、二元函数极限的概念、主要求法；二元函数极限的概念、主要求法；1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,2、复合、复合、隐含、高含、高阶等多元函数（等多元函数（组）的偏）的偏导、全微分、全微分1. 隐函数( 组) 存在定理（了解）2. 隐函

6、数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式2. 隐函数的偏导数1. 空空间曲曲线的切的切线与法平面与法平面 切线方程法平面方程1) 参数式情况.空间光滑曲线切向量3、空空间曲曲线的切的切线、法平面和曲面的切平面、法、法平面和曲面的切平面、法线切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2) 一般式情况.空间光滑曲面曲面 在点法法线方程方程1) 隐式情况 .的法向量法向量切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线空间光滑曲面切平面方程切平面方程法法线方程方程2) 显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量1. 方向

7、方向导数数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为4、梯度、方向梯度、方向导数；数；2. 梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.1. 函数的极函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .如对二元函数5、多元函数极多元函数极值、条件极、条件极值、最、最值定定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).的某邻域内有2. 极极值求解求解时, 具有极值假设以上方程组的解 满足 令则: 1)

8、 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.2. 函数的条件极函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法(2) 一般问题用拉格朗日乘数法方法方法(1) 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题例如 ,转化设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最函数的最值问题在条件求驻点 . 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.复习复习 8、重积分、重积分主要考点：主要考点：1、二重、二重积分的直角、极坐分的直角、极坐

9、标下的下的计算、交算、交 换积分次序；分次序；2、三重、三重积分的直角、柱坐分的直角、柱坐标、球坐、球坐标下的下的 计算；算；3、立体体、立体体积、曲面面、曲面面积、重心坐、重心坐标(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐直角坐标系情形系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则1、二重二重积分的直角、极坐分的直角、极坐标下的下的计算算则(2) 一般换元公式且则极坐极坐标系情形系情形: 若积分区域为在变换下(3) 计算步算步骤及注意事及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先

10、积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成 ;2、三重三重积分的直角、柱坐分的直角、柱坐标、球坐、球坐标下的下的 计算；算；1、立体体、立体体积 曲曲顶柱体柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空空间有界域有界域 的立体的体积为3、立体体立体体积、曲面面、曲面面积、重心坐、重心坐标2、曲面的面、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 若光

11、滑曲面方程为隐式则则有且3、重心坐、重心坐标则得形心坐标：复习复习 9、曲线积分与曲面积分、曲线积分与曲面积分主要考点：主要考点：1、第一、第一类、第二、第二类曲曲线积分分2、格林公式、曲、格林公式、曲线积分路径无关、原函数分路径无关、原函数3、第一、第一类、第二、第二类曲面曲面积分分1. 对弧弧长的曲的曲线积分（第一分（第一类曲曲线积分）分） 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧1. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向分弧段的方向!2. 对坐坐标的曲的曲线积分（第二分（第二类曲曲线积分）分）2. 计算 对有向光滑

12、弧 对有向光滑弧1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有2、格林公式、曲格林公式、曲线积分路径无关、原函数分路径无关、原函数3. 方法方法:若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有3、对面面积的曲面的曲面积分的分的计算法

13、算法 则曲面积分 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 定定义:1. 两两类曲面曲面积分及其分及其联系系 3、对坐坐标的曲面的曲面积分的分的计算法算法 性性质:联系系:思考思考:的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 2. 常用常用计算公式及方法算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化当时，（上侧取“

14、+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .复习复习 10、常微分方程、常微分方程主要考点：主要考点：1、可分离、可分离变量、量、齐次方程次方程 、全微分方程、全微分方程、 一一阶线性方程性方程 ； 2、可降、可降阶高高阶方程；方程；3、高、高阶线性方程解的性方程解的结构；构；4、常系数、常系数线性微分方程；性微分方程；1、可分离可分离变量、量、齐次方程次方程 、全微分方程、全微分方程、 一一阶线性方程性方程1、可分离变量解法要点与通项表达式分离变量，两边同除 ，再分别积分方程类型2、齐次方程令，即，代入原方程得新函数 u 关于 x 的方程再按照1的方法分

15、离变量3、一阶线性方程当称为齐次线性方程当称非齐次线性方程先求出对应齐次方程的通解再利用常数变易法代入原非齐次方程，可得4、伯努利方程两边同除，令，代入原方程得新函数 z 关于 x 的方程再利用3求解；5、全微分（恰当）方程式中满足方程可写为即求原函数6、含积分因子的方程式中但称为原方程的积分因子找出积分因子，再按照5求解2、可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令n 阶线性微分方程的一般形式为3、高阶线性微分方程 对应的n 阶齐次线性微分方程为解得常数变易法代入解得1、二阶非齐次方程 情形情形1. 已知对应齐次方程通解: 的特解为 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:故系数行列式于是得

16、 情形情形2. 仅知的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得(一阶线性方程)特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .4、常系数齐次线性微分方程 特征方程: 推广推广:代入 ， 解得 因式分解其中 是实数，而 是复数得 k 个线性无关解若特征方程含 m 重复根m个线性无关解原方程的通解形式为 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.5、常系数非齐次线性微分方程 1.求曲面 在点（2, -1, 1）处的切平面方程。思路：1

17、）曲面的法向量2）平面方程（点法线形式）思考： 证明曲面 上任一点的切平 面在三个坐标轴上的截距之和为一常数。2. 一平面过点M 与z轴，求该平面方程。思路：MxyzO方法2：设平面的法向量为代入条件：过z轴，即过原点(0,0,0);过z轴，即过(0,0,z);过M(-1,1,1).D = 0C = 0A = B方法1：平面的一般方程再利用点法式，求平面方程。3. 判断以下直线l 与平面的位置关系。思路：1）平面相交的直线的方向向量：2）平面的法向为平面方程x,y,z 前的系数：3）判断 和 的关系：利用点积，叉积或对应系数成比例等判断。4. 在平面xoy上点M, 使它到三条直线 的距离的平方

18、和最小MN思路：1）点到直线的距离求直线 NM, 其斜率为过点M的直线方程，联立直线方程，求得交点N;2）点到三直线的距离平方和为3）二元函数求极值问题；5. 求在 的极值点，并求出极大 或极小值步骤：1）先求驻点：得驻点2）判断3）为极小值点，极小值为6. 在曲面 上求一点，使它到平面 的距离最短。思路：在平面上任取一定点 ，和曲面上一动点 ，则点 P到平面的距离 d 为 到平面法线上的投影。利用极值的判断条件.7思路：设矩形底为2x，高为y，等腰三角形的腰为z，则根据周长条件得 x + y + z = p（x0 ,y0,z 0）窗户面积 S : 依据条件极值：辅助函数求方程组8. 交换 的

19、积分次序。思路：二重积分，根据积分区域可分为X型和Y型；先对x求积分再对y求积分，为Y型，交换积分次序的问题，先绘图。先对x求积分，积分上下线为x关于y的函数 转换成Y型，先对y求积分，再对x求积分，该题可以分成（0，1），（1，2）两个区域求解9. 计算二重积分 ，其中D 是由直线 x=2, y=x 及曲线 xy =1 组成。xyo122思路：方法一，选择采用X型积分。先对y求积分，再对x求积分： 则方法二，选择采用Y型积分。先对x求积分，再对y求积分： 则10. 确定的 值（ 为整数），使曲线积分与路径无关，并求该曲线积分，其中l 为圆周上由 O(0,0) 到 A(1,1) 的一段弧。思路

20、：曲线积分与路径无关的等价条件：12xy1AO沿题目的路径 l 积分较困难，因此选择容易的路径如图示，先沿着x轴从（0,0）到（1,0）此时y=0 dy=0再从（1,0）朝y轴方向到（1,1）,此时x=1,dx=0.11. 计算从点 O(0,0) 到 点 A(1,1) ，再到点 B(0,2) 的折线段。其中l 为OAB思路：做辅助线BO,则原积分=格林公式注意：边界的走向12. 求 ， 具有一阶连续偏导数，求思路：利用微分形式不变性代入代入13. 化三重积分 为三次积分，其中积分区域 分别为(1) 由双曲抛物面 及平面 ， 围成；(2) 由曲面 及平面 围成的闭区域；(3) 由曲面 及平面 围

21、成的闭区域；(4) 由曲面 围成的第一象限的闭区域。详细解答过程，见同济习题全解指南（下习题103）。13. 化三重积分 为三次积分，其中积分区域 分别为思路：1.判断闭区域是哪上下两个曲面围成，即2.确定投影区域，利用上下曲面的交线即D3. 先对z积分（类似将立体压扁），再对D上积分，具体看D是X型还是Y型。(1) 由双曲抛物面 及平面 ， 围成；(1) 由双曲抛物面 及平面 ， 围成；思路：1.判断闭区域是哪上下两个曲面围成，其中 ， 比较容易画出，如图容易判断出上下曲面为2.确定投影区域，利用上下曲面的交线即或分别为y轴，x轴。加上 ，形成 DD3. 先对z积分, 再对y积分，然后对x积

22、分。方法方法. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)(2) 由曲面 及平面 围成的闭区域；思路：1.判断闭区域若由旋转面围成，则截面法更简单。2，给定z，求截面上的二重积分，对旋转体常用极坐标，表示，再确定z的范围。13. 计算 ，其中D 是由锥面与平面 所围成的闭区域。详细解答过程，见同济习题全解指南（下) P118。14. 利用适当坐标系求下列三重积分：1）. 计算 ，其中D 是由曲面及 所围成的闭区域。（提示采用柱坐标）2）. 计算 ，其中 是由不等式及 所围成的闭区域。（提示采用球坐标）详细解答过程，见同济习题全解指南P119详细解答过程，见同济习题全解指南P12015. 计算曲面积

23、分 ，其中 为抛物面在xoy面上方的部分。详细解答过程，见同济习题全解指南P174的法向量16. 计算 ，其中 是锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面.详细解答过程，见同济习题全解指南P175 有向曲面上的积分上侧下侧曲面分别在三个坐标面上的投影区域17. 计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. 比较格式说明 为0.2）: 把 分为上下两部分 思路: 1）判断曲面的法向与 z 轴相反还是一致。3）:第一象限、第八象限分别为18. 计算曲面积分其中旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 思路：若直接在yoz面和xoy面求积分则为比较麻烦，所以把它转换到同一

24、个投影坐标面上求。原式 = 原式 =级数部分： 考点： 1.判断绝对收敛还是条件收敛2. 幂级数的收敛区间3. （幂）级数的和函数微分方程： 考点： 具体见表格1、 在点M(5,1,2)沿点(5,1,2) 到点（9,4,14)方向的方向导数是_. 2、求曲线 在 处的切线方程_和法平面方程_. 3、把 作麦克劳林级数展开_.4、求 的收敛区间_.注意缺项级数以下选自历年考试：4、设向量 则5、过点 且垂直于平面 的直线 方程是7、 交换二重积分的积分次序68、微分方程 的通解为（48）0910年考卷A9、函数 的定义域是10、xoz 面上的双曲线 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程是 11

25、、平面 与平面 的位置关系是12、13、设 则14、微分方程 的通解为（914）1011年考卷c15、已知向量 则同时与 和 垂直的单位向量是16、曲线 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程是 17、曲线 在 M (1,3,4) 的梯度为18、已知 确定 ，则19、已知 中D 由 所围成，则将 I 化为极坐标下的累次积分为20、函数 在点 取极值。21、若D是以（0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形区域，则二重积分22、已知某二阶常系数线性齐次微分方程有2个线性无关解 ，该微分方程为（1522）0910年考卷B23、将函数 展开成x的幂级数，并指出收敛域。24、设 ，且 ，判别级数

26、 是否收敛，若是，判断条件还是绝对收敛（23，24）0910年考卷C25、设 ，求26、设 ，其中f 具有一阶连续偏导数,求27、设 ，求（2527）0910年考卷B28、设 ， 有连续二阶偏导数, 求28，0910年考卷c29、已知 ,其中z有连续二阶偏导数, 求30、已知 ,求30、设 是由方程 所确定的二元函数，求dz32、求曲面 在某点处的切平面方程，使得该切平面平行于平面31、设 求33、求旋转抛物面 在点（2,1,4）处的切平面方程及法线方程。34、求函数 的极值35、计算由曲面的极值 与xoy 面围成的立体体积。36、 其中D 是由 与 所围成的闭区域。37、 其中D 是由中心在

27、原点，半径为a 的圆周围成的闭区域。38、 其中 是三个坐标面和平面所围成的区域。39、计算 ，其中D 是由以及 x 轴所围成的平面闭区域。39、计算 ，其中 是由所围成的闭区域。40、计算 ，其中 L 为连接点(0,0)与点(2,1)的直线段。41、计算 ，其中 L 为正向圆周42、计算 ，其中 S 为上半球面（R 0）的上侧。43、计算曲线积分 ，其中 L是圆周的上半部分。44、求锥面 被柱面 所割下部分的面积。 45、计算 其中 由 所围成。 45、计算曲线积分 其中L为从点(a,0)经上半圆周 到点(0,0)的一段弧。46、计算积分 ，其中 D 为47、计算 ，其中 D 为在第一象限的

28、部分。45、计算 其中 L 为 (1) 抛物线 上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2) 抛物线 上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(3) 有向折线OAB, 这里O,A,B依次是点 (0,0),(1,0),(1,1).46、求微分方程 的通解。 47、求微分方程 的通解。 48、求下列微分方程 的通解。 49、求微分方程 的通解。 50、求微分方程 的通解。 51、已知平面区域 , L 为 D 的正向边界，试证：52、设曲线积分 与路径无关，其中 连续可导，且 ，计算53、设 具有连续二阶导数, 且 试确定 ，使得 为全微分方程，并求出该方程的通解。54. 设 ，求55. 设 ，求56. 求曲面 在 处的切平面方程。练习题：57. 计算以上均为0810年的考卷23_