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1、第六章 定积分第一节 定积分的概念第二节 微积分根本公式第三节 定积分的换元法第四节 定积分的分部积分法第五节 广义积分第一节 定积分的概念 一、定积分问题举例 1曲边梯形的面积 图6-1所围成的平 面图形称为曲边梯形,如图6-1.求其面积的四个 步骤： (1)分割 任取分点把底边分成个小区间.(2)取近似 (3)求和 (4)取极限 要计算这段时间内所走的路程 (3)求和 二 定积分的定义2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动， 上的延续函数， (1)分割 任取分点, (2)取近似 (4)取极限 设函数上有定义, 任取分点 =1,2,n，记 , 在每个小区间上任取一点 作乘积 的和式： 上述
2、和式的极限存在， 那么称此极限值为函数 在区间 上的定积分， 此时，也称 记为根据这个定义，两个实践问题都可用定积分表示为：曲边梯形的面积 变速运动路程 三三 定积分的几何意义定积分的几何意义图形在 轴之上，积分值为正，有 图形在 轴下方，积分值为负，即 那么积分值就等于曲线 在 轴上方的部分 与下方部分面积的代数和，如图62所示，有图62四 定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 那么性质6 那么至少存在一点使得 例 估计定积分 的值 解 先求 在1，1上的最大值和最小值得驻点 在驻点及区间端点处的函数值， 故最大值 最小值 由估值定理得， 习习 题题 6-11利用定积分的几何
3、意义，阐明：2利用定积分的几何意义，求以下定积分3利用定积分估值定理，估值定积分 的值 第二节 微积分根本公式一、变上限的定积分 通常称函数为变上限积分函数或变上限积分定理定理1 假设函数假设函数 那么变上限积分 推论推论 延续函数的原函数一定存在延续函数的原函数一定存在例例1 计算计算 解 由于 故 例例2 求以下函数的导数：求以下函数的导数：解 设 例3 求 解 二、牛顿莱布尼茨公式定理2 设函数 那么有上式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分根本公式 为方便起见， 常记作例4 求定积分解1 习 题 6-21计算2计算以下各定积分第三节 定积分的换元法例1 求 解法1 于是 解法2 设 于是
4、 普通地，定积分换元法可表达如下：,且当 例1 求 于是 例2 求 于是, 例3 求 于是 例4 求 由定积分换元法，得于是于是 例6 求 例7 证明 证 比较两边被积函数，可以看出，于是 习 题 6-3 1计算以下定积分2利用函数的奇偶性计算以下定积分：3证明 第四节 定积分的分部积分法这就是定积分的分部积分法例1 例2 求 例3 求 这样依次进展下去当n为奇数时，当n为偶数时，这个公式称为递推公式例4 求 习 题 6-4计算以下定积分 第五节 广义积分一、无究区间上的广义积分定义1 设函数 我们把极限 上的广义积分，记为假设极限存在，称广义积分 收敛；假设极限不存在，那么称 发散 类似地，
5、可以定义在 上的广义积分为上的广义积分定义为其中c为恣意常数，当右边的两个广义积分都收敛时， 广义积分 才是收敛的，否 那么是发散的例1 计算广义积分 解 例2 讨论 的敛散性 解 所以 发散例3 计算广义积分 解 例4 讨论 的敛散性 .解当p1时， 收敛；当p1时 发散； 当p1时， 发散，综上， 二、无界函数的广义积分取0， 称极限 的广义积分，记为假设该极限存在，那么称广义积分 收敛；假设极限不存在，那么称 发散 类似地，当 的无穷延续点时，即 上的广义积分定义为： 当无穷延续点 位于区间 内部时，那么定义广义积分 为：上式右端两个积分均为广义积分，当这两个广义积分都收敛时，才称 是收
6、敛的，否那么，称是发散的上述无界函数的积分也称瑕积分例5 求广义积分 解 由于 被积函数的无穷延续点，于是例6 证明广义积分 当p1时收敛，当p1时发散证p1时， 收敛；当p1时， 发散； 当p1时， 发散因此，当p1时，此广义积分收敛，其值为 当p1时，广义积分发散复复 习习 题题 六六一、填空题的极小值为的取值范围为 ; 二、单项选择题为延续函数，那么积分 A与 ，s，t有关; B与t， C与s，t有关; D仅与 有关.A0; B0 ; C0; D0.A充分条件;B必要条件;C充分必要条件 ; D无关条件.为延续函数，那么以下各式正确的选项是 A2;B1 ;C1 ;D2.A0;B2;C1; D1.A0;B1;C2;D3.A必要条件;B充分条件;C充分必要条件; D无关条件.11以下广义积分收敛的是.A0; 三、计算题
