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1、2.4 2.4 平面向量的数量积平面向量的数量积 2.4.1 2.4.1 平面向量数量积的平面向量数量积的 物理背景及其含义物理背景及其含义 问题提出问题提出 1. 1.向量的模和夹角分别是什么概念？向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为当两个向量的夹角分别为0 0，9090，180180时，这两个向量的位置关系如何？时，这两个向量的位置关系如何？ 2. 2.任意两个向量都可以进行加、减运任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律结合律. .由于任意两
2、个实数可以进行乘法由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析们从理论上进行相应分析. . 探究（一）探究（一）:平面向量数量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 WFscos 思考思考2 2：功是一个标量，它由力和位移两功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把个向量所确定，数学上，我们把“功功”称为向量称为向量F F与与s s “数量积数量积”. .一般地，对一般地，对于非零向量于非零向量a与与b的数量积是指什么？的数量积是指什么？
3、 思考思考1 1：如图，一个物体在力如图，一个物体在力F F的作用下的作用下产生位移产生位移s s，且力，且力F F与位移与位移s s的夹角为的夹角为，那么力那么力F F所做的功所做的功W W是多少？是多少？ sF思考思考3 3：对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，设其夹，设其夹角为角为，把，把a| |bcoscos叫做叫做a与与b的的数量积（或内积），记作数量积（或内积），记作ab，即，即 ab= =a| |b bcoscos. .那么那么ab的运算结果的运算结果是向量还是数量？是向量还是数量？ 思考思考4 4：特别地，零向量与任一向量的数特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？量积是
4、多少？ 0a=0=0思考思考5 5：对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，其数量，其数量积积ab何时为正数？何时为负数？何时为何时为正数？何时为负数？何时为零？零？ 当当0 09090时，时，ab0 0；当当9090180180时，时，ab0 0；当当9090时，时，ab0.0.ab= =a| |b bcoscos思考思考6 6：对于两个非零向对于两个非零向量量a与与b，设其夹角为，设其夹角为，那么那么acoscos的几何意的几何意义如何？义如何？ab bO OA AB BA A1 1思考思考7 7：对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，设其夹，设其夹角为角为，acoscos叫做向量叫
5、做向量a在在b方向方向上的投影上的投影. .那么该投影一定是正数吗？向那么该投影一定是正数吗？向量量b在在a方向上的投影是什么？方向上的投影是什么？ 不一定；不一定；bcos.| |a|cos|cos思考思考8 8：根据投影的概念，数量积根据投影的概念，数量积ab=a| |bcos的几何意义如何？的几何意义如何？ 数量积数量积ab等于等于a的模与的模与b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘积，或等于的乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘积的乘积，探究（二）：探究（二）：平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质 思考思考1 1：设设a与与b都是非零
6、向量，若都是非零向量，若ab，则则ab等于多少？等于多少？反之成立吗？反之成立吗？ ab ab0思考思考2 2：当当a与与b同向时，同向时，ab等于什么？等于什么？当当a与与b反向时，反向时，ab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aa等于什么？等于什么？ 当当a与与b同向时，同向时，abab；当当a与与b反向时，反向时，abab；aaa2a2或或a .思考思考3 3：ab与与ab的大小关的大小关系如何？为什么？系如何？为什么？ abab 思考思考4 4：ab与与ba是什么是什么关系？为什么？关系？为什么？ abba 思考思考5 5：对于实数对于实数，(a)b有意义吗？有意义吗？它可以转化为哪
7、些运算？它可以转化为哪些运算？ (a)b(ab)a(b)思考思考6：对于向量对于向量a，b，c，(ab)c有意有意义吗？它与义吗？它与acbc相等吗？为什么？相等吗？为什么？A1B1ABOC Cabcab12思考思考7：对于非零向量对于非零向量a，b，c，(ab)c有意义吗？有意义吗？(ab)c与与a(bc)相等吗？为相等吗？为什么？什么？ (ab)ca(bc)思考思考8：对于非零向量对于非零向量a，b，c，若，若abac，那么，那么 bc吗？吗？ 思考思考9：对于向量对于向量a，b，等式，等式(ab)2 a22abb2和和(ab)(ab)a2b2是是否成立？为什么？否成立？为什么？ 思考思考
8、1010：对于向量对于向量a，b，如何求它们的，如何求它们的夹角夹角？ 理论迁移理论迁移例例1 1 已知已知a5，b4，a与与b的的夹角为夹角为120120，求，求ab. 1010 例例2 2 已知已知a6 6，b4 4，a与与b的的夹角为夹角为6060，求，求( (a2b)(a3b). . 72 72 例例3 3 已知已知a3 3，b4 4，且，且a与与b不共线不共线. .求当求当k k为何值时，向量为何值时，向量akb与与 ak kb互相垂直？互相垂直？ 小结作业小结作业1.1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，它与向量
9、的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量数量而不是向量. . 2.2.实数的运算性质与向量的运算性质不实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非完全一致，应用时不要似是而非. . 3. 3. 利用利用a 可以求向量的模，可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法在字符运算中是一种常用方法. . 4.4.利用向量的数量积可以解决有关平行、利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能是一个工具性知识点，具有很强的功能作用作用. . 作业：作业：P108 P108 习题习题2.4A2.4A组：组： 1 1，2 2，3 3，6 6，7 7，8.8.
