近代光信息处理第1章傅里叶光学基础

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1、第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章第一章第一章傅里叶光学基础傅里叶光学基础9/19/20241光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章第一章第一章 傅里叶光学基础傅里叶光学基础11 二维傅里叶分析二维傅里叶分析 12 空间带宽积和测不准关系式空间带宽积和测不准关系式 13 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射14 透镜系统的傅里叶变换性质透镜系统的傅里叶变换性质9/19/20242光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2

2、2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.1 二维傅里叶分析二维傅里叶分析1.1.1 定义及存在条件定义及存在条件 复变函数器复变函数器 g(x,y) 的的傅里叶变换傅里叶变换可表为可表为 G(u,v) = F g(x,y) = - g(g(x x,y),y)exp-i2exp-i2 ( (u ux+x+v vy)dy)dxdy xdy (1)称称g(x,y)为为原函数原函数，G(u,v)为变换函数或为变换函数或像函数像函数。(1)式的式的逆变换逆变换为为 g(x,y) = F -1G(u,v) = - G(u,v)expi2expi2 ( (u ux+x+v vy)dy)

3、du ud dv v (2)9/19/20243光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 变换存在的条件变换存在的条件为为 (1) g(x,y)在全平面绝对可积；在全平面绝对可积； (2) g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何在全平面只有有限个间断点，在任何 有限的区域内只有有限个极值；有限的区域内只有有限个极值； (3) g(x,y)没有无穷大型间断点。没有无穷大型间断点。以以上上条条件件并并非非必必要要，实实际际上上，“物物理理的的真真实实”就就是变换存在的充分条件是变换存在的充分条件。以下我们

4、常用以下我们常用 g(x,y) G(u,v) 表示变换对表示变换对对对于于光光学学傅傅里里叶叶变变换换，x，y是是空空间间变变量量，u，v 则则是是空空间间频频率率变变量量。在在一一维维情情况况下下，有有时时也也用用希希腊字母腊字母 v 表示频率变量。表示频率变量。9/19/20244光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.1.2 函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换由由由由 函数的定义容易得到函数的定义容易得到函数的定义容易得到函数的定义容易得到 (x-x(x-xo o , , y-yy-yo o) )

5、exp -i2-i2 ( (u ux xo o+ + v vy yo o) ) (3) (3)当当当当 x xo o=0=0，y yo o= 0 = 0 时得到时得到时得到时得到 (x, y) (x, y) 1 (4)(4)上式的物理意义表示上式的物理意义表示上式的物理意义表示上式的物理意义表示点源函数具有权重为点源函数具有权重为点源函数具有权重为点源函数具有权重为 l l 的最丰的最丰的最丰的最丰富的频谱分量富的频谱分量富的频谱分量富的频谱分量因此因此因此因此光学中常用点光源来检测系光学中常用点光源来检测系光学中常用点光源来检测系光学中常用点光源来检测系统的响应特性统的响应特性统的响应特性统

6、的响应特性，即，即，即，即脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应(3)(3)式还可表为式还可表为式还可表为式还可表为, ,(x-x(x-xo o,y-y,y-yo o)=)= - exp-i2exp-i2 u u(x-x(x-xo)o)+ +v v(y-(y-y yo o)d)du ud dv v它正是它正是它正是它正是 函数的积分表达式函数的积分表达式函数的积分表达式函数的积分表达式 根据根据根据根据 函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义 - (n)(n)(x)g(x)dx(x)g(x)dx = (-1) = (-1)n n g g(n)(n)(0) (6)(0

7、) (6)得到得到得到得到 (k, (k, l l) )(x,y)(x,y)的傅里叶变换的傅里叶变换的傅里叶变换的傅里叶变换 (k, (k, l l) )(x,y) = (x,y) = k+k+l l(x, y)/ (x, y)/ x xk k y yl l ) ) (i2(i2 u u) )k k (i2(i2 v v) )l l (7)(7)9/19/20245光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.1.3 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质(1) (1) 线性线性线性线性 ( lineari

8、ty )( linearity ) Ag(x,y) + Ag(x,y) + Bh(x,yBh(x,y) ) AG(u,v) + BH(BH(u,u,v)v) (8) (8)(2) (2) 缩放及反演缩放及反演缩放及反演缩放及反演(scaling and inversion)(scaling and inversion) g(ax,by) g(ax,by) G(G(u u/a, /a, v v/b)/b)/|ab|ab| | (9) (9)上式表明上式表明上式表明上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩空域信号的展宽将引起频域信号的压缩空域信号的展宽将引起频域信号的压缩空域信号的展宽将引起频域

9、信号的压缩. .特别是当特别是当特别是当特别是当 a = b = -1 a = b = -1 时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质： g(-x, -y) g(-x, -y) G(G(-u, -v-u, -v) ) (10) (10)(3) (3) 位移位移位移位移(shift)(shift) g(x+x g(x+xo o, , y+yy+yo o) ) expi2i2 ( (u ux xo o+ +v vy yo o)G()G(u,vu,v) ) (11)(11)上式表示上式表示上式表示上式表示原函数的位移引起变换函数的相移原函数的位移

10、引起变换函数的相移原函数的位移引起变换函数的相移原函数的位移引起变换函数的相移. .(4) (4) 共扼共扼共扼共扼(conjugation)(conjugation) g g* *(x, y) (x, y) GG* *( (-u, -v-u, -v) ) (12) (12)9/19/20246光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章(5) (5) 卷积卷积卷积卷积 (convo1ution) (convo1ution) g(x,y)g(x,y)和和和和h(x,y)h(x,y)的卷积定义：的卷积定义：的卷积

11、定义：的卷积定义：g(x,y)g(x,y) h(x,y) = h(x,y) = - - g(g( , , )h(x-)h(x- ,y-,y- )d)d d d 易证明易证明易证明易证明: g(x,y) : g(x,y) h(x,y) h(x,y) G(G(u,vu,v) H() H(u,vu,v) ) 函数的卷积有特殊的性质：函数的卷积有特殊的性质：函数的卷积有特殊的性质：函数的卷积有特殊的性质： g(x) g(x) (x-x(x-xo o) = g(x-x) = g(x-xo o) (15) (15)g(x,y) g(x,y) (k, (k, l l) )(x,y) = g (x,y) =

12、g (k, (k, l l) )(x,y) (16)(x,y) (16)(6)(6)导数的变换导数的变换导数的变换导数的变换公式可由公式可由公式可由公式可由(7)(7)式导出式导出式导出式导出 g g(k, (k, l l) )(x,y) (x,y) (i2(i2 u)u)k k (i2(i2 v)v)l l G(G(u,vu,v) ) (17) (17)9/19/20247光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章(7) (7) 相关相关相关相关(correlation)(correlation)函数函数函

13、数函数g(x,y)g(x,y)和和和和h(x,y) h(x,y) 的相关定义为的相关定义为的相关定义为的相关定义为 g(x,y) g(x,y) h(x,y) = h(x,y) = - - g(g( , , )h(x+)h(x+ ,y+,y+ )d)d d d 当当当当g = h g = h 时成为时成为时成为时成为自相关自相关自相关自相关，有，有，有，有 g(x,y) g(x,y) g(x,y) = g(x,y) = - - g(g( , , )g(x+)g(x+ ,y+,y+ )d)d d d 相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积

14、的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积的变换公式导出： g(x,y) g(x,y) h(x,y) = gh(x,y) = g* *(-x, -y) (-x, -y) h(x,y) h(x,y) GG* *( (u,vu,v) H() H(u,vu,v) )g(x,y) g(x,y) g(x,y) g(x,y) G(u,v) 2 (21) 自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换9/19/20248光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章

15、 (8) (8) 矩矩矩矩 (moment)(moment) g(x,y) g(x,y)的的的的(k,(k,l l ) )阶矩定义为阶矩定义为阶矩定义为阶矩定义为 M M k, l k, l = = - - g(x,y)xg(x,y)xk k y yl l dxdydxdy (22) (22) 将逆变换表达式将逆变换表达式将逆变换表达式将逆变换表达式(2)(2)代入上式，得到代入上式，得到代入上式，得到代入上式，得到M M k, lk, l= = -G(G(u,vu,v)d)du ud dv v - - x xk ky yl lexpi2i2 ( (u ux+x+v vy)dxdyy)dxdy

16、 由由由由 函数导数的变换表达式函数导数的变换表达式函数导数的变换表达式函数导数的变换表达式(7)(7)，上式内部的积分，上式内部的积分，上式内部的积分，上式内部的积分 -x xk ky yl lexpi2i2 ( (u ux+x+v vy)dxdy = (i2y)dxdy = (i2 ) )-k-k-l l (k, (k, l l) )( (u,vu,v) )矩的表达式矩的表达式矩的表达式矩的表达式 M M k, lk, l = = (-i2(-i2 ) )-k-k-l l G G ( (k,k,l) l) (0,0)(0,0)9/19/20249光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息

17、处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 (9) (9) ParsevalParseval 定理定理定理定理 g(x,y) g(x,y) h(x,y) h(x,y) GG* *( (u,vu,v)H()H(u,vu,v) )式式式式可可可可用用用用逆逆逆逆变变变变换表达式改写为换表达式改写为换表达式改写为换表达式改写为 - - g(g( , , )h(x+)h(x+ ,y+,y+ )d)d d d = = - G*(u,v)H(u,v)exp i2exp i2 (ux+vy)d(ux+vy)du ud dv v 令令令令x = y = 0x = y

18、= 0，上式为上式为上式为上式为 -g(g( , , )h()h( , , )d)d d d = = -G*(u,v)H(u,v)d du ud dv v 这一关系式称为这一关系式称为这一关系式称为这一关系式称为 ParsevalParseval 定理定理定理定理当当当当h =g h =g 时，上式化为时，上式化为时，上式化为时，上式化为 - g(g( , , ) ) 2 2 d d d d = = - G(u,v) 2 2 d dudvudv该该该该式又称式又称式又称式又称完备关系式完备关系式完备关系式完备关系式，实际上是，实际上是，实际上是，实际上是能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量

19、守恒定律在在在在空域和频域中表达式一致性的表现空域和频域中表达式一致性的表现空域和频域中表达式一致性的表现空域和频域中表达式一致性的表现9/19/202410光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换1、rect(x)， (x)及及sinc(x)函数定义函数定义(1) rect(x)函数函数 rect(x) = 1 ， | x | rect(x) = 0 ，其他其他(2) (x)函数函数 (x) = 1- | x | ， | x | 1 (x) = 0，

20、 其他其他(3) sinc(x)函数函数 sinc(x) = (sin x)/ x -1 11 1-1-19/19/202411光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换rect(x)， (x)及及sinc(x)函数函数傅里叶变换傅里叶变换：傅里叶变换分别为傅里叶变换分别为 rect(x) sinc(u) sinc(x) rect(u) (x) sinc2(u)9/19/202412光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2

21、节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换2、符号函数、符号函数sgn(x)和阶跃函数和阶跃函数step(x)符号函数符号函数sgn(x)定义定义 sgn(x)= 1， x 0 sgn(x)= 0， x = 0 sgn(x)= -1，x 0 step(x) =0 ， x 0 oo9/19/202413光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换sgn(x)函数和函数和step(x)函

22、数函数傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换为傅里叶变换为 sgn(x) 1 / (i u)step(x) = sgn(x)/2+1/2 1/(i 2 u) + (u)/2 利用利用step(x)的变换式及卷积定理，可的变换式及卷积定理，可求出积分求出积分 x- g( )d 的变换的变换： x- g( )d = - g( ) step (x- )d = g(x) step (x) G(u)1/i 2 u + (u)/29/19/202414光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换

23、特殊函数及其傅里叶变换3、周期函数、周期函数 设函数设函数g(x)可展开为傅里叶级数可展开为傅里叶级数 g(x) = -Cnexp(i2n fox) (38)式中式中Cn =(1/X) X/2-X/2 g(x)exp(-i2n fox)dx周期周期X=1/fo对对(38)式两边取傅氏变换得式两边取傅氏变换得 G(u) = - Cn (u - n fo) (40)推导中用到积分变换式：推导中用到积分变换式： (u - n fo) exp(i2 nfox) 9/19/202415光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1

24、 1章章1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换 g(x) = -Cnexp(i2n fox) G(u) = - Cn (u - n fo) (40)4、函数函数comb(x) comb(x) = - (x - n) = -exp(i2n x) (42)(周周期函数的傅立叶级数表达式期函数的傅立叶级数表达式) 系数系数Cn =1因此由因此由(40)式可得式可得 comb(x) comb(u) (43)9/19/202416光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.1.4 特殊函数及其傅里叶

25、变换特殊函数及其傅里叶变换4 4、函数、函数、函数、函数comb(x)comb(x) 设设设设X X为实数常数，则有为实数常数，则有为实数常数，则有为实数常数，则有(1/X)g(x) (1/X)g(x) comb(x/X) comb(x/X)= (1/X) = (1/X) - - g(g( ) comb(x -) comb(x - ) )/Xd/Xd = (1/X) = (1/X) - - g(g( ) ) - (x(x- - ) )/X/X - - nn d d = = - - - gX(gX( /X/X) ) xx/X-/X- /X/X-n-nd(d( /X)/X)= = -g g X(X

26、(x x/X/X-n-n = = -g(xg(x - - n nX X) (44) (44)结果得到了结果得到了结果得到了结果得到了以以以以nXnX (n = 0 (n = 0，11， 2 2，)为中心的为中心的为中心的为中心的一系列重复出现的波形一系列重复出现的波形一系列重复出现的波形一系列重复出现的波形g(xg(x - - n nX X) ) ，这一现象称这一现象称这一现象称这一现象称为为为为“ “复现复现复现复现” ” 9/19/202417光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.1.4 特殊函数

27、及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换4、函数函数函数函数comb(x) gs(x)= g(x) comb(x/X) = g(x) - (x/X - n) = - g(nX) (x - nX) gs称称 g 的的抽抽样样函函数数，X为为抽抽样样间间隙隙，xn=nX称称样样点点，g(xn)称称样样值值所所以以g(x)的的抽抽样样函函数数gs(x)是以样值为权重的是以样值为权重的 函数序列函数序列9/19/202418光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.1.5 功率谱与空间自相关函数功率谱与空间自相关函数

28、由由Parseval 定理定理 -g(x, y)2 dxdy = - G(u,v) 2 dudv g(x,y)为光场的复振幅分布，为光场的复振幅分布， g(x, y)2代表光强分布，代表光强分布， G(u,v)2 则表示单位频率间隔的光能量，则表示单位频率间隔的光能量，称为称为功率谱功率谱，用，用s(u,v)表示为表示为s(u,v) = G(u,v)2 (46) 根据变换定理，我们得到根据变换定理，我们得到g(x,y) g(x,y) G(u,v) 2 = s(u,v) (47)9/19/202419光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4

29、 4节节目目 录录第第1 1章章1.1.5 功率谱与空间自相关函数功率谱与空间自相关函数g(x,y) g(x,y) g(x,y) g(x,y) G(G(u,vu,v) ) 2 2 = = s( s(u,vu,v) (47) (47)g g g g 在在在在光光光光学学学学上上上上称称称称为为为为空空空空间间间间自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数上上上上式式式式表表表表示示示示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换功率谱是空间自相关函数的傅氏变换功率谱是空间自相关函数的傅氏变换功率谱是空间自相关函数的傅氏变换 空空空空间间间间自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数表表表表征征征征空空空空间间间

30、间相相相相距距距距为为为为(x,y)(x,y)的的的的两两两两点点点点之之之之间间间间场场场场的的的的相相相相似似似似性性性性或或或或关关关关联联联联性性性性，它它它它是是是是场场场场的的的的空空空空间间间间相相相相干干干干性性性性的的的的度度度度量量量量。场场场场的的的的相相相相干干干干性性性性较较较较高高高高时时时时，功功功功率率率率谱谱谱谱的的的的弥弥弥弥散散散散就就就就较较较较小小小小，表表表表示示示示光光光光功功功功率率率率在在在在频频频频域域域域内内内内集集集集中中中中在在在在很很很很小小小小的的的的区区区区域域域域中中中中( (可可可可称称称称为为为为准准准准单单单单色色色色光光

31、光光) )；反反反反之之之之当当当当场场场场的的的的相相相相干干干干性性性性较较较较差差差差时时时时，功功功功率率率率谱谱谱谱的的的的弥弥弥弥散散散散就就就就较较较较大大大大，表表表表示示示示光光光光功功功功率率率率在在在在频频频频域域域域中中中中分分分分布布布布在较大的区域内，包含较宽的波段。在较大的区域内，包含较宽的波段。在较大的区域内，包含较宽的波段。在较大的区域内，包含较宽的波段。9/19/202420光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.2 空间带宽积和测不准关系式空间带宽积和测不准关系式1

32、.2.1 空间带宽积与自由度空间带宽积与自由度 如果信号如果信号g 在频域内不为零的分量限在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为制在某一区域内，则称为“带限函数带限函数”。1、Whittaker-Shannon抽样定律：抽样定律： 带限函数带限函数g(x,y)被它的抽样值的无穷集被它的抽样值的无穷集合合 g mn = g( m/ u, n/ v) 完全确定，式完全确定，式中中 u ， v 是频带的宽度，是频带的宽度，m, n = 0, l , 2, 。9/19/202421光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第

33、第1 1章章2、空间带宽积与空间带宽积与自由度自由度傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们： 频域内的带限函数，在空域内必然扩频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面展到全平面，因为带限函数的傅里叶变换，因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零以证明这个函数在全平面内处处为零1.2.1 空间带宽积与自由度空间带宽积与自由度9/19/202422光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1

34、1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 1.2.1 空间带宽积与自由度空间带宽积与自由度2、自由度、自由度 实际信号测量系统的输入平面总是有实际信号测量系统的输入平面总是有限制的，设信号被限制在限制的，设信号被限制在 r - x/2 , x/2 , - y/2, y/2矩形区域内，又设系统的带矩形区域内，又设系统的带宽宽 u， v 与抽样间隙与抽样间隙X，Y满足倒数的关满足倒数的关系，则在系，则在 r 内共有抽样点内共有抽样点N 个，个， N = x y/XY= x y u v = SW (1)式式中中S = x y, W = u v 。 SW称称空空间间带带

35、宽宽积积，是是评评价价系系统统性性能能的的重重要要参参数数，(1)式式指指出出通通过过系系统统的的样样点点数数等等于于空空间间带带宽积宽积9/19/202423光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 因为一个在频域中非无限扩展的信号因为一个在频域中非无限扩展的信号(带限信号带限信号)，在空域中必然是无限扩展的，在空域中必然是无限扩展的，若用一个具有有限大小的输入端面的系统若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。失，使测

36、量结果失真。 例例如如信信号号分分布布在在矩矩形形 r 内内，那那么么这这个个信信号号就就被被它它的的N个个样样值值基基本本上上确确定定了了。我我们们称称这这个个信信号号有有 N 个个自自由由度度，显显然然自自由由度度数等于空间带宽积数等于空间带宽积9/19/202424光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 如果系统的输入端面的尺寸小于如果系统的输入端面的尺寸小于r，则自由度数将小于则自由度数将小于N所以空间带宽积与所以空间带宽积与其说是信号的特征，还不如说是系统的特其说是信号的特征，还不如说是系统的特

37、征征，因为系统有限的空域和频域尺寸限制，因为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过它的信息量了通过它的信息量 例例如如对对于于一一个个成成像像系系统统，限限制制空空域域尺尺寸寸的的是是视视场场光光阑阑的的大大小小，限限制制频频域域尺尺寸寸的的是是孔孔径径光光阑阑的的大大小小。显显然然视视场场越越大大、孔孔径径越大的系统能传递更多的信息越大的系统能传递更多的信息9/19/202425光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.2.2 系统的分辨率系统的分辨率 考考考考虑虑虑虑一一一一个个个个低低低低通通通通滤滤滤

38、滤波波波波性性性性能能能能的的的的系系系系统统统统的的的的分分分分辨辨辨辨率率率率，即即即即输输输输入入入入平平平平面面面面上上上上能能能能被被被被系系系系统统统统分分分分辨辨辨辨开开开开来来来来的的的的两两两两个个个个点点点点的的的的最最最最小小小小间间间间距距距距( (最小分辨长度最小分辨长度最小分辨长度最小分辨长度) )的倒数。的倒数。的倒数。的倒数。 由由由由抽抽抽抽样样样样定定定定理理理理可可可可知知知知，对对对对任任任任意意意意输输输输入入入入信信信信号号号号g(x,y)g(x,y)来来来来讲讲讲讲，由由由由于于于于系系系系统统统统频频频频率率率率响响响响应应应应特特特特性性性性的

39、的的的限限限限制制制制，其其其其效效效效果果果果都都都都是是是是带带带带限限限限的，因此可以用抽样函数的，因此可以用抽样函数的，因此可以用抽样函数的，因此可以用抽样函数g gs s(x,y(x,y) )来代替它。来代替它。来代替它。来代替它。只要抽样点充分稠密，即条件只要抽样点充分稠密，即条件只要抽样点充分稠密，即条件只要抽样点充分稠密，即条件 X 1/ X 1/ u，Y 1/ Y 1/ v (4) (4)满满满满足足足足时时时时，对对对对于于于于系系系系统统统统输输输输出出出出端端端端而而而而言言言言，g gs s和和和和g g 等等等等价价价价，在在在在输输输输出出出出端端端端并并并并不不

40、不不能能能能觉觉觉觉察察察察出出出出g gs s 的的的的周周周周期期期期结结结结构构构构，或或或或者者者者说说说说 g gs s 包含的脉冲是不可分辨的。包含的脉冲是不可分辨的。包含的脉冲是不可分辨的。包含的脉冲是不可分辨的。9/19/202426光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.2.2 系统的分辨率系统的分辨率 当条件当条件当条件当条件(4)(4)不满足时，不满足时，不满足时，不满足时， g gs s和和和和g g 对于输出端不再对于输出端不再对于输出端不再对于输出端不再等价，从而在输出端就能

41、觉察出等价，从而在输出端就能觉察出等价，从而在输出端就能觉察出等价，从而在输出端就能觉察出g gs s 的的的的周期结构，周期结构，周期结构，周期结构，或者讲或者讲或者讲或者讲g gs s 中中中中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。这样，系统的最小分辨长度这样，系统的最小分辨长度这样，系统的最小分辨长度这样，系统的最小分辨长度 x x 和和和和 y y应当与应当与应当与应当与(4)(4)式式式式表示的表示的表示的表示的X X，Y Y 同数量级，从而与带宽成反比：同数量级，从而与带宽成反比：同数量级，从

42、而与带宽成反比：同数量级，从而与带宽成反比： x x 1/ 1/ u， y y 1/ 1/ v (5) (5)最小分辨长度与空间带宽积的关系为最小分辨长度与空间带宽积的关系为最小分辨长度与空间带宽积的关系为最小分辨长度与空间带宽积的关系为 x x y y x y/SW (6) (6)可可可可见见见见在在在在给给给给定定定定输输输输入入入入端端端端面面面面尺尺尺尺寸寸寸寸 x， y后后后后，SWSW越越越越大大大大，最最最最小小小小分分分分辨辨辨辨长长长长度度度度就就就就越越越越小小小小，系系系系统统统统的的的的分分分分辨辨辨辨率率率率就就就就越越越越高高高高，测测测测量过程的失真越小量过程的失

43、真越小量过程的失真越小量过程的失真越小。9/19/202427光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1. 2.3 等效带宽和测不准关系等效带宽和测不准关系仅考虑一维情况仅考虑一维情况仅考虑一维情况仅考虑一维情况 G(G(u u) ) = = - g(g(x x) )exp(-i2exp(-i2 u ux)dx)dx x (7)(7) g(g(x x) ) = = - G(G(u u) )exp(i2exp(i2 u ux)dx)du u (8)(8) 由以上两式可得由以上两式可得由以上两式可得由以上两式可

44、得 G(0)G(0) = = - g(g(x x) )d dx x (9)(9) g(g(0 0) ) = = - G(G(u u) )d du u (10) (10) 设信号在空域和频域中不显著为设信号在空域和频域中不显著为设信号在空域和频域中不显著为设信号在空域和频域中不显著为0 0的分量都的分量都的分量都的分量都集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量g(x)g(x)和和和和G(G(u u) )的弥散或展宽的程度引入的弥散或展宽的程度引入的弥散或展宽的程度引入的弥散或展

45、宽的程度引入 和和和和 ：(11)(12)9/19/202428光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 意义意义： 如一个矩形高度等于如一个矩形高度等于G(0)，面积与曲面积与曲线线G(u)下的面积相同，则它的宽度为下的面积相同，则它的宽度为 ， 又称为又称为“等效带宽等效带宽”。等效带宽等效带宽 Goodman提出了等提出了等效带宽的概念，它是频效带宽的概念，它是频谱曲线展宽程度的某种谱曲线展宽程度的某种度量，度量，G(u)越宽，越宽， 越越大，因而常用来评价系大，因而常用来评价系统的性能。统的性能。G

46、(G(u u) )9/19/202429光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 将将将将(11)(11)、(12)(12)交叉相除得到交叉相除得到交叉相除得到交叉相除得到(13)(13)由于由于由于由于 可表征信号在空域的可表征信号在空域的可表征信号在空域的可表征信号在空域的展宽或弥散展宽或弥散展宽或弥散展宽或弥散，上式，上式，上式，上式意味着意味着意味着意味着信号在空域和频域中的展宽是互相制约信号在空域和频域中的展宽是互相制约信号在空域和频域中的展宽是互相制约信号在空域和频域中的展宽是互相制约的的的的

47、假设要对信号进行长度或位置测量，测量系假设要对信号进行长度或位置测量，测量系假设要对信号进行长度或位置测量，测量系假设要对信号进行长度或位置测量，测量系统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量时必须使系统首先时必须使系统首先时必须使系统首先时必须使系统首先“ “对准对准对准对准” ”空间的一个定点或长空间的一个定点或长空间的一个定点或长空间的一个定点或长度的一个端点，该点可以用度的一个端点，该点可以用度的一个端点，该点可以用度的一个端点，该点可以用 函数表示，它就是函

48、数表示，它就是函数表示，它就是函数表示，它就是系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应h h。必须指出，通过测量我们只能获得必须指出，通过测量我们只能获得必须指出，通过测量我们只能获得必须指出，通过测量我们只能获得 h h 所包含的信所包含的信所包含的信所包含的信息，我们永远无法直接得到被测点本身息，我们永远无法直接得到被测点本身息，我们永远无法直接得到被测点本身息，我们永远无法直接得到被测点本身9/19/202430光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1

49、节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章所有测量系统的等效带宽所有测量系统的等效带宽所有测量系统的等效带宽所有测量系统的等效带宽 都是有限的，从而都是有限的，从而都是有限的，从而都是有限的，从而 函数的脉冲响应函数的脉冲响应函数的脉冲响应函数的脉冲响应h h 就有一定的弥散就有一定的弥散就有一定的弥散就有一定的弥散 ，它表征了，它表征了，它表征了，它表征了对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度量注意到量注意到量注意到量注意到 取决于整个

50、频谱函数取决于整个频谱函数取决于整个频谱函数取决于整个频谱函数G(u)G(u)，因此两因此两因此两因此两个系统即使有等同的截止频率，由于个系统即使有等同的截止频率，由于个系统即使有等同的截止频率，由于个系统即使有等同的截止频率，由于G(u)G(u)不相同，不相同，不相同，不相同，也会得到不同的等效带宽也会得到不同的等效带宽也会得到不同的等效带宽也会得到不同的等效带宽 ，因而，因而，因而，因而 也不一致也不一致也不一致也不一致一般来讲，一般来讲，一般来讲，一般来讲， 越大，频响特性就越好，脉冲越大，频响特性就越好，脉冲越大，频响特性就越好，脉冲越大，频响特性就越好，脉冲响应的弥散响应的弥散响应的

51、弥散响应的弥散 就越小就越小就越小就越小由于由于由于由于 = = 的系统不存的系统不存的系统不存的系统不存在，所以在，所以在，所以在，所以 永远不等于永远不等于永远不等于永远不等于0 0在这个意义上讲，在这个意义上讲，在这个意义上讲，在这个意义上讲，测测测测量永远都不是绝对准确的量永远都不是绝对准确的量永远都不是绝对准确的量永远都不是绝对准确的，(13)(13)式称为光学系统式称为光学系统式称为光学系统式称为光学系统的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实质上一致质上

52、一致质上一致质上一致9/19/202431光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.2.4 广义测不准关系广义测不准关系( x)2 ( u )2 1/16 2或或 x u 1/4 (18)9/19/202432光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射 从变换光学入手来讨论衍射效应从变换光学入手来讨论衍射效应从变换光学入手来讨论衍射效应从变换光学入手来讨论衍射效应1

53、. 3.1 1. 3.1 角谱角谱角谱角谱 设设设设单单单单色色色色光光光光波波波波沿沿沿沿z z 方方方方向向向向传传传传播播播播，照照照照射射射射到到到到xyxy平平平平面面面面上上上上，在在在在xyxy平面上的光场复振幅分布用函数平面上的光场复振幅分布用函数平面上的光场复振幅分布用函数平面上的光场复振幅分布用函数 (x,y,0)=(x,y,0)= (x,y)(x,y) = - A(A(u u,v ,v) )expi2expi2 ( (u ux+x+v vy)dy)du ud dv v (1)(1)一个波矢量为一个波矢量为一个波矢量为一个波矢量为k k 的平面波的平面波的平面波的平面波 o

54、 o(x, y,z) = A(x, y,z) = A(u u,v ,v,z ,z) ) exp(iexp(ik k r r) ) = A( = A(u u,v ,v,z ,z) expi2) expi2 ( ( x + x + y +y + z z)/ )/ 其中其中其中其中 , , 和和和和 是是是是 k k 的方向余弦的方向余弦的方向余弦的方向余弦9/19/202433光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射1. 3.1 1. 3.1 角谱角谱角谱

55、角谱 (x,y,0)(x,y,0)= - A(A(u u,v ,v) )expi2expi2 ( (u ux+x+v vy)dy)dudv udv (1)(1)引入矢量引入矢量引入矢量引入矢量a a = ( = ( , , ) ), , 则在则在则在则在z = 0 z = 0 的平面上的平面上的平面上的平面上 o o(x,y,0) = A(x,y,0) = A(u u,v ,v) exp(i2) exp(i2 a a r r/ / ) )= A(= A(u u,v ,v) expi2) expi2 ( ( x + x + y)/y)/ (4) (4)将将将将(4)(4)式和式和式和式和(1)(

56、1)式作比较，得式作比较，得式作比较，得式作比较，得u u = = / / , , v v = = / / (5) (5)则则则则(1)(1)式可用式可用式可用式可用a a 表示为表示为表示为表示为 (x,y)(x,y)= - A(A( / / , , / / ) )expi2expi2 ( ( x+ x+ y)/y)/ d(d( / / )d()d( / / ) ) (6)(6)上上上上式式式式表表表表示示示示：z z = = 0 0平平平平面面面面上上上上的的的的场场场场，即即即即透透透透过过过过x x y y 平平平平面面面面向向向向+z +z 方向传播的波，可用不同方向的平面波展开方向

57、传播的波，可用不同方向的平面波展开方向传播的波，可用不同方向的平面波展开方向传播的波，可用不同方向的平面波展开9/19/202434光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射u = u = / / , v = , v = / / (5) (5) (x,y)(x,y)= - A(A( / / , , / / ) )expi2expi2 ( ( x+ x+ y)/y)/ d(d( / / )d()d( / / ) ) (6)(6)(5)(5)式表示空间频率正

58、比于式表示空间频率正比于式表示空间频率正比于式表示空间频率正比于 / / 或或或或 / / ，在在在在 (x,y)(x,y)中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面波分量。而高频分量则对应于与波分量。而高频分量则对应于与波分量。而高频分量则对应于与波分量。而高频分量则对应于与z z 轴夹角较大的轴夹角较大的轴夹角较大的轴夹角较大的平面波分量。不同方向的平面波的权函数平面波分量。不同方向的平面波的权函数平面波分量。不同方向的平面波的权函数平面波分量。不同方向的平面波的权函数A(A( / / ,

59、 , / / ) ) 称为称为称为称为 (x,y)(x,y)的的的的角谱角谱角谱角谱，和空间频谱，和空间频谱，和空间频谱，和空间频谱的实质是相同的。的实质是相同的。的实质是相同的。的实质是相同的。 A(A( / / , , / / ) ) 与与与与 (x,y)(x,y) 的的的的关关关关系系系系就就就就是是是是傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换： A(A( / / , , / / ) ) = = - (x,y)(x,y) exp-i2 exp-i2 ( ( x+ x+ y)/y)/ dxdydxdy (7)(7)(6)(6)和和和和(7)(7)两式构成傅里叶变换对。两式构成傅里叶变换对。

60、两式构成傅里叶变换对。两式构成傅里叶变换对。9/19/202435光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.3.2 角谱的传播角谱的传播首先首先首先首先A(A( / / , , / / ;z;z) )与与与与A(A( / / , , / / ) )的关系为的关系为的关系为的关系为: :A(A( / / , , / / ;z;z) )= = - (x,y,z)(x,y,z) exp-i2exp-i2 ( ( x+ x+ y)/y)/ dxdydxdy (x,y,z)(x,y,z)= = - A(A( / /

61、 , , / / ;z;z) )expi2expi2 ( ( x+ x+ y)/y)/ d(d( / / )d()d( / / ) )以以以以 (x,y,z)(x,y,z) 代入亥姆霍兹方程，交换积分与微代入亥姆霍兹方程，交换积分与微代入亥姆霍兹方程，交换积分与微代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分的次序，可知分的次序，可知分的次序，可知分的次序，可知A(A( / / , , / / ;z;z) ) 也满足亥姆霍也满足亥姆霍也满足亥姆霍也满足亥姆霍兹方程：兹方程：兹方程：兹方程：(d(d2 2/dz/dz2 2 +k+kz z2 2) )A(A( / / , , / / ,z ,z) ) = 0

62、(10)= 0 (10)式式式式中中中中 (11)(11)(10)(10)式的一个解是式的一个解是式的一个解是式的一个解是(12)(12)9/19/202436光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.3.2 角谱的传播角谱的传播 当当当当 2 2+ + 2 2 1 1 1 时时时时，取取取取正正正正数数数数 ，则则则则角角角角谱谱谱谱为为为为 A(A( / / , , / / ;z;z)= )= A(A( / / , , / / ) ) exp(-exp(-2 2z/ z/ ) )表表表表示示示示一一一

63、一个个个个随随随随z z 的的的的增增增增大大大大迅迅迅迅速速速速衰衰衰衰减减减减的的的的波波波波，称称称称隐隐隐隐失失失失波波波波，它它它它只只只只存存存存在在在在于于于于很很很很接接接接近近近近于于于于xyxy平平平平面面面面的的的的一一一一个个个个薄薄薄薄层层层层内内内内，这这这这是是是是近场光学近场光学近场光学近场光学要讨论的问题要讨论的问题要讨论的问题要讨论的问题9/19/202437光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.3.3 菲涅耳衍射菲涅耳衍射将将将将(12)(12)式中相因子内的根号

64、作泰勒展开：式中相因子内的根号作泰勒展开：式中相因子内的根号作泰勒展开：式中相因子内的根号作泰勒展开：(14)(14)在上式中只保留二级小量，则在上式中只保留二级小量，则在上式中只保留二级小量，则在上式中只保留二级小量，则 A(A( / / , , / / ;z;z)= A()= A(u u, , v v) expi2) expi2 z(1- z(1- 2 2 2 2/2/2)/ )/ = A( = A(u u, , v v) exp(i2) exp(i2 z/ z/ ) ) exp(-iexp(-iz z 2 2) ) = A( = A(u u, , v v) exp(i2) exp(i2

65、z/ z/ ) ) exp-exp-i iz(z(u u2 2+ +v v2 2) ) 由于由于由于由于 A(A(u u, , v v) ) (x,y) (x,y) exp-i exp-iz(z(u u2 2+ +v v2 2) ) exp-iexp-i (x(x2 2+ +y y 2 2)/ )/ z / z / i i z z (x,y,z) (x,y,z) A(A( / / , , / / ;z;z) )9/19/202438光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章A(A( / / , , / / ;

66、z)=;z)=A(A(u u, , v v) ) exp(i2exp(i2 z/ z/ ) ) exp-iexp-iz z( (u u2 2+ +v v2 2) ) A( A(u u, , v v) ) (x,y) (x,y) exp-i exp-iz(z(u u2 2+ +v v2 2) ) exp-iexp-i (x(x2 2+ +y y 2 2)/ )/ z / z / i i z z (x,y,z) (x,y,z) A(A( / / , , / / ;z;z) )卷积的性质卷积的性质卷积的性质卷积的性质: g(x,y) : g(x,y) h(x,y) h(x,y) G(G(u,vu,v

67、)H()H(u,vu,v) )相应的相应的相应的相应的空域信号空域信号空域信号空域信号为为为为 (x,y,z)=exp(i2(x,y,z)=exp(i2 z/ z/ ) ) (x,y) (x,y) expiexpi (x(x2 2+ +y y2 2)/)/ z/iz/i z z (16)(16)=exp(i2=exp(i2 z/ z/ ) )/i /i z z - ( ( , , )expi)expi (x-(x- ) )2 2+(+(y-y- ) )2 2 / / zdzd d d 上式即为上式即为上式即为上式即为菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式，积分在，积分

68、在，积分在，积分在 z = 0z = 0的平的平的平的平面进行，式中面进行，式中面进行，式中面进行，式中 (x,y)(x,y)表示表示表示表示z = 0z = 0的光场复振幅分的光场复振幅分的光场复振幅分的光场复振幅分布。布。布。布。9/19/202439光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.3.4 夫琅和费衍射夫琅和费衍射若若 z ( 2 + 2)/ (17)则则菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式化为化为 (x,y,z) (x,y,z) = = exp(i2exp(i2 z/ z/ ) )/i /i

69、z z expiexpi (x(x2 2+ +y y2 2)/ )/ zz - ( ( , , ) ) exp-i2exp-i2 ( ( x+x+ y y)/ )/ zdzd d d (18)(18)就就化化为为远远场场衍衍射射即即夫夫琅琅和和费费衍衍射射的的情情况。况。(18)式还可表为式还可表为 (x,y,z) = (A/ z) (x/ z, y/ z) (19)上上式式表表示示除除了了与与积积分分变变量量无无关关的的相相位位因因子子A以以外外， 为为 的的傅傅里里叶叶变变换换，频频域域宗宗量量为为x/x/ z z 及及y y/ / z z 9/19/202440光学信息处理光学信息处理光

70、学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.3.5 角谱的衍射角谱的衍射 设在设在设在设在xyxy平面上有一不透光的屏，屏上带一透平面上有一不透光的屏，屏上带一透平面上有一不透光的屏，屏上带一透平面上有一不透光的屏，屏上带一透光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数p(x, y)p(x, y)来表示，来表示，来表示，来表示，p(x, y)p(x, y)可以是复数这样，屏后面的透射场可以是复数这样，屏后面的透射场可以是复数这样，屏后面的透射场可以是

71、复数这样，屏后面的透射场 t t 可用可用可用可用入射波的场入射波的场入射波的场入射波的场 i i 表为表为表为表为 t t (x, y)(x, y) = = i i (x, y)(x, y) p(x, y)p(x, y) (20) (20)在频域中，上式变为在频域中，上式变为在频域中，上式变为在频域中，上式变为 A At t( ( / / , , / / ) ) = A = Ai i( ( / / , , / / ) ) P(P( / / , , / / ) ) (21) (21)式中式中式中式中P P 为为为为 p p 的角谱的角谱的角谱的角谱(21)(21)式说明式说明式说明式说明透射波

72、角谱为入透射波角谱为入透射波角谱为入透射波角谱为入射波角谱与光瞳函数角谱的卷积射波角谱与光瞳函数角谱的卷积射波角谱与光瞳函数角谱的卷积射波角谱与光瞳函数角谱的卷积引入光阑后，引入光阑后，引入光阑后，引入光阑后，一般来讲信号的空间分布受到压缩一般来讲信号的空间分布受到压缩一般来讲信号的空间分布受到压缩一般来讲信号的空间分布受到压缩9/19/202441光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 根据测不准原理，信号在频域中的分布必然根据测不准原理，信号在频域中的分布必然根据测不准原理，信号在频域中的分布必然根据

73、测不准原理，信号在频域中的分布必然展宽展宽展宽展宽. (21). (21)式所示的卷积运算的结果，总是使入式所示的卷积运算的结果，总是使入式所示的卷积运算的结果，总是使入式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去量扩散到高频段中去量扩散到高频段中去量扩散到高频段中去 (12)(12)式为角谱在自由空间中的衍射公式式为角谱在自由空间中的衍射公式式为角谱在自由空间中的衍射公式式为角谱在自由空间中的衍射公式. .如如如如果考虑

74、到果考虑到果考虑到果考虑到xyxy平面上光瞳函数的作用，平面上光瞳函数的作用，平面上光瞳函数的作用，平面上光瞳函数的作用，(12)(12)式改写式改写式改写式改写为为为为 (22)(22)(12)(12)式式式式或或或或(22)(22)式式式式原原原原则则则则上上上上可可可可以以以以解解解解决决决决任任任任何何何何光光光光波波波波的的的的传传传传播播播播及衍射问题及衍射问题及衍射问题及衍射问题9/19/202442光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章1.4 透镜系统的傅里叶变换性质透镜系统的傅里叶变换性

75、质远场衍射即夫琅和费衍射远场衍射即夫琅和费衍射 (x,y,z) (x,y,z) = = exp(i2exp(i2 z/ z/ ) )/i /i z z expiexpi (x(x2 2+ +y y2 2)/ )/ zz - ( ( , , ) ) exp-i2exp-i2 ( ( x+x+ y y)/ )/ zdzd d d (18)(18) (18)式式表表明明，远远场场衍衍射射具具有有傅傅里里叶叶变变换换的的特特性性由由于于薄薄透透镜镜或或透透镜镜组组的的后后焦焦面面等等价价于于，因因而而可可以以想想像像凡凡是是具具有有正正焦焦距距的的光光学系统都应当具有傅里叶变换的功能学系统都应当具有傅

76、里叶变换的功能9/19/202443光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 设设设设用用用用振振振振幅幅幅幅为为为为 l l 的的的的单单单单色色色色平平平平面面面面波波波波照照照照射射射射一一一一个个个个在在在在xyxy平平平平面面面面上上上上，且且且且振振振振幅幅幅幅透透透透过过过过率率率率为为为为g(x, g(x, y)y)的的的的物物物物体体体体，则则则则物物物物体体体体后后后后面的场为面的场为面的场为面的场为g(x, y)g(x, y)光场展开成为平面波角谱：光场展开成为平面波角谱：光场展开成为

77、平面波角谱：光场展开成为平面波角谱：g(x, y) g(x, y) = = - G(G( / / , , / / )expi2)expi2 ( ( x+ x+ y)/y)/ d(d( / / )d()d( / / ) )9/19/202444光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 由于透镜组具有聚焦的特性，所有方由于透镜组具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同样的方向余弦向相同，即具有同样的方向余弦 , 的入的入射波都将会聚到透镜组后焦面的一点射波都将会聚到透镜组后焦面的一点Q(u,v)上。当透镜组焦距上

78、。当透镜组焦距 f (u2+v2)1/2 时，即时，即Q点很接近于原点时，有下面的近似等式点很接近于原点时，有下面的近似等式 u f, v f (2)g(x, y)的角谱中所有方向余弦为的角谱中所有方向余弦为 , 的角谱的角谱分量都分量都对对Q点有贡献，点有贡献，Q点的的复振幅自然点的的复振幅自然就等于就等于G( / , / ) ，因而后焦面上的因而后焦面上的复振幅分布为复振幅分布为 G( / , / ) = G(u/ f, v/ f) (3)9/19/202445光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章

79、这样，透镜组的后焦面就成为信号的频这样，透镜组的后焦面就成为信号的频域，域，透镜组起了傅里叶变换的作用透镜组起了傅里叶变换的作用。大部分。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜的傅里叶变换功能可以直接计算出来，但它的傅里叶变换功能可以直接计算出来，但它只是光学傅里叶变换器件的一个特例只是光学傅里叶变换器件的一个特例 我们用我们用 u，v 来表示频域的坐标，也可以来表示频域的坐标，也可以表示空间频率变量。在一维的情形下也用表示空间频率变量。在一维的情形下也用 v 来表示空间频率

80、变量。来表示空间频率变量。9/19/202446光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 注意注意注意注意 u u f f, , v v f f只是近轴近似严格来说，只是近轴近似严格来说，只是近轴近似严格来说，只是近轴近似严格来说， u u =f =f tgtg = f = f /(1- /(1- 2 2) )1/21/2 (4)(4)式中式中式中式中 是波矢量是波矢量是波矢量是波矢量k k 与与与与z z 轴的夹角。为简单起见，设轴的夹角。为简单起见，设轴的夹角。为简单起见，设轴的夹角。为简单起见，设k

81、k 位于位于位于位于x xz z平面内平面内平面内平面内(4)(4)式又称式又称式又称式又称正切条件正切条件正切条件正切条件，只是在，只是在，只是在，只是在 很很很很小时，才满足小时，才满足小时，才满足小时，才满足(2)(2)式。当式。当式。当式。当 较大时，傅里叶平面较大时，傅里叶平面较大时，傅里叶平面较大时，傅里叶平面( (后焦面后焦面后焦面后焦面) )上的线上的线上的线上的线度度度度u u 与空间频率与空间频率与空间频率与空间频率 / / 并不满足正并不满足正并不满足正并不满足正比关系。比关系。比关系。比关系。9/19/202447光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1

82、1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 从几何光学知道，一个像差校正得很从几何光学知道，一个像差校正得很好的透镜必须满足正弦条件好的透镜必须满足正弦条件，而而正弦条件正弦条件与正切条件是难以同时满足与正切条件是难以同时满足的，所以，的，所以，性性能完善的傅里叶变换透镜是很难设计的。能完善的傅里叶变换透镜是很难设计的。 不过在大多数情况下，光学变换是作不过在大多数情况下，光学变换是作为近似的模拟变换而加以应用的，再说推为近似的模拟变换而加以应用的，再说推导薄透镜的相位变换公式时已经引入了近导薄透镜的相位变换公式时已经引入了近轴近似。轴近似。在大多数应用中，无论是

83、薄透镜在大多数应用中，无论是薄透镜或是透镜组仍然是最方便、廉价的光学傅或是透镜组仍然是最方便、廉价的光学傅里叶变换器件。里叶变换器件。9/19/202448光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章透镜系统的相位变换公式透镜系统的相位变换公式 由于透镜系统能将平面波转换成球面由于透镜系统能将平面波转换成球面波，所以它的相位变换效应可以表为波，所以它的相位变换效应可以表为 tl = exp(ik ) exp(ikr)/r (5)式中式中 为透镜组的等效厚度。为透镜组的等效厚度。 r = OP，O是是会聚球面波的

84、中心，也是透镜系统的焦点，会聚球面波的中心，也是透镜系统的焦点，OQ = OM= f，f 为焦距，为焦距，在在近轴近似下，近轴近似下，PQ MN = h，9/19/202449光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 t tl l = = exp(ikexp(ik ) ) exp( exp(ikikr)/rr)/r r = f + PQ r = f + PQ f + h f + h。因为因为因为因为 2 2 + + 2 2 + f + f 2 2 = = r r2 2 (f + h)(f + h)2 2 2

85、 2 + + 2 2 (f + h)(f + h)2 2 - - f f 2 2 2fh 2fh h h ( ( 2 2 + + 2 2)/2f)/2f所以所以所以所以 r r f + h = f + f + h = f + ( ( 2 2 + + 2 2)/2f )/2f (6)(6)式中式中式中式中 ( ( , , ) )是是是是 P P 点坐标，代入点坐标，代入点坐标，代入点坐标，代入(5)(5)式，取分母上的式，取分母上的式，取分母上的式，取分母上的r r f f , , 得得得得透镜系统的相位变换公式透镜系统的相位变换公式透镜系统的相位变换公式透镜系统的相位变换公式 t tl l =

86、 = expik(expik( -f)-f)expexpikik( ( 2 2 + + 2 2)/2f )/2f / f/ f (7)(7)9/19/202450光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章透镜系统对图像的变换公式透镜系统对图像的变换公式 设设设设光光光光波波波波在在在在d dl l和和和和d d2 2范范范范围围围围内内内内的的的的传传传传播播播播满满满满足足足足菲菲菲菲涅涅涅涅耳耳耳耳近近近近似似似似条件，则由条件，则由条件，则由条件，则由1.31.3节节节节 (16)(16)式透镜前表面的

87、场式透镜前表面的场式透镜前表面的场式透镜前表面的场 l l可表为可表为可表为可表为 l l( ( , , )= e)= eikd1ikd1/i /i d d1 1 - o o( (x x, ,y y)expi)expikk( ( -x)-x)2 2+(+( - -y)y)2 2 / /2d2d1 1dxdxdy dy (8)(8)透镜透镜透镜透镜L L的相位变换效应的相位变换效应的相位变换效应的相位变换效应可表为可表为可表为可表为 l l ( ( , , )=)=t tl l l l= =( (e e-ikf-ikf/f)/f)exp-exp-ikik( ( 2 2+ + 2 2)/2f)/2

88、f l l( ( , , ) (9) (9)其中略去了常数相位项其中略去了常数相位项其中略去了常数相位项其中略去了常数相位项 exp(ikexp(ik ) ) 设输入平面的透过率设输入平面的透过率设输入平面的透过率设输入平面的透过率为为为为 o o(x,y)(x,y)，它位于透镜它位于透镜它位于透镜它位于透镜L L前前前前d dl l 处输出平面处输出平面处输出平面处输出平面uvuv位位位位于于于于L L后后后后d d2 2 处。物体用振幅处。物体用振幅处。物体用振幅处。物体用振幅为为为为1 1的单色光波照明。的单色光波照明。的单色光波照明。的单色光波照明。9/19/202451光学信息处理光

89、学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章利用菲涅耳变换公式，得到输出平面利用菲涅耳变换公式，得到输出平面利用菲涅耳变换公式，得到输出平面利用菲涅耳变换公式，得到输出平面( (u,vu,v) )上的场上的场上的场上的场 l l( (u u, , v v)= exp(ikd)= exp(ikd2 2)/i)/i d d2 2 - l l ( ( , , )expi)expikk(u-(u- ) )2 2+(v-+(v- ) )2 2 / /2d2d2 2dd d d (10) (10)将将将将(8)(8)，(9)(9)代入代

90、入代入代入(10)(10)式，得式，得式，得式，得 l l( (u u, , v v)=-exp(ik(d)=-exp(ik(d1 1+d+d2 2- -f)expik(uf)expik(u2 2+v+v2 2)/2d)/2d2 2/ / 2 2d d1 1d d2 2f f - o o( (x x, ,y y)expi)expik(k(x x2 2+ +y y2 2) )/ /2d2d1 1I(x,y)dI(x,y)dxdyxdy (11)(11)其中其中其中其中I(x,y)= I(x,y)= -expik/2(1/dexpik/2(1/d1 1+1/d+1/d2 2-1/f)(-1/f)(

91、 2 2+ + 2 2) ) -2(x/d -2(x/d1 1+u/d+u/d2 2) ) - -2(y/d2(y/d1 1+v/d+v/d2 2) ) dd d d = I= I1 1(x, y)I(x, y)I2 2(x, y) (x, y) (12)(12)I Ij j = = -expi(kexpi(k2 2/2-k/2-k j j )d)d ( j=1,2) ( j=1,2) (13)(13) = 1/d = 1/d1 1+1/d+1/d2 2-1/f, -1/f, 1 1 = = x/dx/d1 1+u/d+u/d2 2 , , 2 2 = = y/dy/d1 1+v/d+v/d2

92、 29/19/202452光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 讨论讨论：以以以以(15), (16)(15), (16)式代入式代入式代入式代入(12)(12)式，再代入式，再代入式，再代入式，再代入(11)(11)式，经式，经式，经式，经整理，得到整理，得到整理，得到整理，得到(a) 0(15)(16) (18)9/19/202453光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 当当d2 = f，即即以以后后焦焦面面

93、作作为为输输出出平平面面，则则(18)式化作式化作 (19)此时此时 是是 o的傅里叶变换的傅里叶变换(相位因子除外，相位因子除外，在探测光强时相位因子不起作用在探测光强时相位因子不起作用)，宗量，宗量是是( u/ f, v/ f )9/19/202454光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章 当当d2= f , d1= f 时，相位因子消去，时，相位因子消去， (20) 是是 o的傅里叶变换的傅里叶变换 在一般情况下，在一般情况下，d1 和和d2 与与 f 并不相等并不相等在这种情况下，有可能实现广义傅

94、里叶在这种情况下，有可能实现广义傅里叶变换变换(分数阶傅里叶变换分数阶傅里叶变换)。我们将在第五。我们将在第五章中详细讨论这一课题。章中详细讨论这一课题。9/19/202455光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第第1 1节节第第2 2节节第第3 3节节第第4 4节节目目 录录第第1 1章章(b) (b) = 1/d1+1/d2-1/f = 0 0，即即即即输输输输入入入入输输输输出出出出平平平平面面面面关关关关于于于于透镜组透镜组透镜组透镜组满足成像关系满足成像关系满足成像关系满足成像关系，此时此时此时此时I I1 1 = = d d1 1 ( x - u/( x - u/ )

95、) (21) (21) I I2 2 = = d d2 2 ( y - v/( y - v/ ) ) (22) (22)式式式式中中中中 = = - - d d2 2 / /d d1 1 为为为为系系系系统统统统的的的的横横横横向向向向放放放放大大大大率率率率以以以以(21)(21)、(22)(22)式代入式代入式代入式代入(12)(12)、(11)(11)式得式得式得式得 (23)(23)在在在在输输输输出出出出平平平平面面面面上上上上得得得得到到到到放放放放大大大大 倍倍倍倍的的的的像像像像，回回回回到到到到几几几几何何何何光光光光学学学学的的的的结结结结果果果果这这这这个个个个结结结结论论论论只只只只是是是是近近近近似似似似成成成成立立立立的的的的，因因因因为为为为我我我我们们们们完完完完全全全全不不不不考考考考虑虑虑虑光光光光瞳瞳瞳瞳函函函函数的影响，也忽略了透镜的像差数的影响，也忽略了透镜的像差数的影响，也忽略了透镜的像差数的影响，也忽略了透镜的像差9/19/202456光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理