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1、第第第第8.48.48.48.4节节节节 全微分全微分全微分全微分一、全微分的概念一、全微分的概念一、全微分的概念一、全微分的概念二、二元函数可微、偏导数存在二、二元函数可微、偏导数存在二、二元函数可微、偏导数存在二、二元函数可微、偏导数存在 及连续性之间的关系及连续性之间的关系及连续性之间的关系及连续性之间的关系三、一阶全微分形式不变性三、一阶全微分形式不变性三、一阶全微分形式不变性三、一阶全微分形式不变性四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用 一、全微分的概念一、全微分的概念一、全微分的概念一、全微分的概念由一元函数
2、微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得 定义定义定义定义 定义定义定义定义 二、二元函数可微、偏导数存在及连续性之间的关系二、二元函数可微、偏导数存在及连续性之间的关系二、二元函数可微、偏导数存在及连续性之间的关系二、二元函数可微、偏导数存在及连续性之间的关系 证证证证同理可得同理可得 定理定理定理定理1 1 1 1解解解解所求全微分所求全微分解解解解 例例例例1 1 1 1 例例例例2 2 2 2解解解解 又因为又因为 所以所以 例例例例3 3 3 3证证证证即即 定理定理定理定理2 2 2 2解解解解 例例例例4 4 4 4又因为又因为 二元函数可微、偏导数存在及连
3、续之间的关系二元函数可微、偏导数存在及连续之间的关系二元函数可微、偏导数存在及连续之间的关系二元函数可微、偏导数存在及连续之间的关系 定理定理定理定理3 3 3 3因为因为 解解解解 所以所以 与二元函数的全微分一样，三元函数的全微分可以表示成：与二元函数的全微分一样，三元函数的全微分可以表示成： 例例例例5 5 5 5 三、全微分形式不变性三、全微分形式不变性三、全微分形式不变性三、全微分形式不变性 此定理表明：对于二元函数，不论变量是自变量还是中间此定理表明：对于二元函数，不论变量是自变量还是中间此定理表明：对于二元函数，不论变量是自变量还是中间此定理表明：对于二元函数，不论变量是自变量还
4、是中间变量，其一阶全微分的表达式都与上式一样，这就是一阶全微变量，其一阶全微分的表达式都与上式一样，这就是一阶全微变量，其一阶全微分的表达式都与上式一样，这就是一阶全微变量，其一阶全微分的表达式都与上式一样，这就是一阶全微分形式的不变性分形式的不变性分形式的不变性分形式的不变性. . . . 利用此性质求复合函数的偏导数非常方便利用此性质求复合函数的偏导数非常方便利用此性质求复合函数的偏导数非常方便利用此性质求复合函数的偏导数非常方便. . . .解解解解 定理定理定理定理4 4 4 4 例例例例6 6 6 6解解解解 利用一阶全微分形式的不变性，有 所以所以解解解解对方程两端同时求微分，有对方程两端同时求微分，有 于是于是所以所以 例例例例7 7 7 7 例例例例8 8 8 8 四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用 解解解解 例例例例9 9 9 9利用上面的近似计算公式得利用上面的近似计算公式得
