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1、微分方程理论在力学、物理学、天文学等自然微分方程理论在力学、物理学、天文学等自然科学与技术科学的各领域科学与技术科学的各领域(ln y)(ln y)，甚至生，甚至生物学、医学、经济学等社会科学领域物学、医学、经济学等社会科学领域(ln (ln y)y)中有广泛应用，成为解决工程实际问题的中有广泛应用，成为解决工程实际问题的强有力的工具。强有力的工具。例如：电子计算机于无线电装置的计算，弹道例如：电子计算机于无线电装置的计算，弹道的计算，飞机在飞行中的稳定性的研究，人口的计算，飞机在飞行中的稳定性的研究，人口控制控制(kngzh)等问题。等问题。第1页/共19页第一页，共20页。基本概念；基本概
2、念；可分离变量的方程；可分离变量的方程；一阶线性方程；一阶线性方程；可解出导数的一阶隐式方程；可解出导数的一阶隐式方程；可降阶的二阶微分方程；可降阶的二阶微分方程；常系数二阶线性齐次微分方程的解法；常系数二阶线性齐次微分方程的解法；常系数二阶线性非齐次微分方程的解法；常系数二阶线性非齐次微分方程的解法；用常数变易用常数变易(biny)法求解二阶线性非齐次方法求解二阶线性非齐次方程；程；常系数线性微分方程组。常系数线性微分方程组。第2页/共19页第二页，共20页。1 1 基本概念基本概念问题的提出；问题的提出；微分方程微分方程(wifnfnchn)的定义。的定义。第3页/共19页第三页，共20页
3、。一一.问题问题(wnt)的提的提出出解：解：第4页/共19页第四页，共20页。例例2. 2. 列车列车(lich)(lich)在平直路上在平直路上以以的速度的速度(sd)(sd)行驶行驶, , 制动时制动时获得获得(hud)加加速度速度求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律. .解解: 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米 ,已知已知由前一式两次积分由前一式两次积分, 可得可得利用后两式可得利用后两式可得因此所求运动规律为因此所求运动规律为说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住 , 以及制动后行驶了多少
4、路程以及制动后行驶了多少路程 . 即求即求 s = s (t) .第5页/共19页第五页，共20页。微分方程问题主要来源于几何学，力学和物理学，微分方程问题主要来源于几何学，力学和物理学，但现在应用但现在应用(yngyng)于自然科学和工程技术的各于自然科学和工程技术的各个领域，包括生物，医学，经济学等。个领域，包括生物，医学，经济学等。第6页/共19页第六页，共20页。常微分方程常微分方程(wi fn fn chn)偏微分方程偏微分方程(wi fn fn chn)含未知函数及其导数或微分的方程含未知函数及其导数或微分的方程(fngchng)叫叫做微分方程做微分方程(fngchng) .方程中
5、所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶阶.(本章内容本章内容)分类分类二二. .微分方程的定义微分方程的定义常微分方程常微分方程( (Ordinary Differential EquationOrdinary Differential Equation) )定义定义1 1偏微分方程偏微分方程( (Partial Differential EquationPartial Differential Equation) )第7页/共19页第七页，共20页。( n 阶显式微分方程阶显式微分方程(wi fn fn chn)一般一般(ybn)地地 , n
6、 阶常微分方程的阶常微分方程的形式是形式是或或当未知函数是多元函数时，微分方程称为当未知函数是多元函数时，微分方程称为(chn wi)(chn wi)偏微分偏微分方程方程(Partial Differential Equation) PDE(Partial Differential Equation) PDE第8页/共19页第八页，共20页。一阶常微方程一阶常微方程(fngchng)二阶常微方程二阶常微方程(fngchng)一阶偏微方程一阶偏微方程(fngchng)二阶偏微方程二阶偏微方程第9页/共19页第九页，共20页。一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn)高阶高阶(n)(n)
7、微分方程微分方程(wi fn fn (wi fn fn chn)chn)实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数以及(yj)(yj)未知函未知函数的某些导数数的某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .第10页/共19页第十页，共20页。 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程(wi fn fn (wi fn fn chn).chn).第11页/共19页第十一页，共20页。定义定义(dngy(dngy)2 )2 第12页/共19页第十二页，共20页。定义定义(dn(dngy)gy)3 3微分方程微分方程(wi fn fn chn)的解的分类：的解的分
8、类：(1) (1) 通解通解(general solution): (general solution): 微分方程的解中微分方程的解中 含有含有(hn yu)(hn yu)任意常数任意常数, ,且任意常数的个数与且任意常数的个数与微分方程微分方程 的阶数相同的阶数相同. .通解有时也写成隐函数的形式通解有时也写成隐函数的形式称为称为通积分通积分(general integral)(general integral)第13页/共19页第十三页，共20页。(2)(2)特解特解(special solution): (special solution): 确定确定(qudng)(qudng)了通了
9、通解中任解中任 意常数以后的解意常数以后的解. .解的图象解的图象(t xin): (t xin): 微分方程的积微分方程的积分曲线分曲线. .通解通解(tngji)(tngji)的图象的图象: : 积分曲积分曲线族线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .第14页/共19页第十四页，共20页。过定点的积分过定点的积分(jfn)(jfn)曲线曲线; ;一阶一阶: :二阶二阶: :初值问题初值问题: : 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)满满足初始条件的解的问题足初始条件的解的问题. .第15页/共19页第十五页
10、，共20页。通解通解(tngj(tngji):i):特解特解:第16页/共19页第十六页，共20页。例例3. 验证验证(ynzhng)函数函数是微分方程是微分方程(wi fn fn chn)的解的解,的特解的特解 . 解解: 这说明这说明(shumng)是方程的解是方程的解 . 是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数,利用初始条件易得利用初始条件易得: 故所求故所求特解特解为为故它是方程的故它是方程的通解通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 第17页/共19页第十七页，共20页。定义定义(dngy)4 (dngy)4 微分方程不恒等于零的解称微分方程不恒等于零的解称为方程的非零解，或非平凡
11、解。为方程的非零解，或非平凡解。微分方程的初等微分方程的初等(chdng)(chdng)解法解法: : 初等初等(chdng)(chdng)积分法积分法. .求解求解(qi ji)微分方程微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来) )hw：p354 2(3,5),3(2,4,5).第18页/共19页第十八页，共20页。感谢您的观赏(gunshng)！第19页/共19页第十九页，共20页。内容(nirng)总结微分方程理论在力学、物理学、天文学等自然科学与技术科学的各领域，甚至生物学、医学、经济学等社会科学领域中有广泛应用，成为解决工程实际问题的强有力的工具(gngj)。第1页/共19页。第2页/共19页。第3页/共19页。说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才。第5页/共19页。方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.。当未知函数是多元函数时，微分方程称为偏微分。含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程第二十页，共20页。
