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1、3.4 3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组问问: :其中线性无关的部分组其中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量最多可以包含多少个向量? ?定义定义1 1 若向量组若向量组 中的每一个向量都可以由中的每一个向量都可以由向量组向量组 线性表示线性表示, ,则称向量组则称向量组 可由向量组线可由向量组线性表示，若向量组性表示，若向量组 和和 可以互相线性表示，则可以互相线性表示，则称称两个向量组等价两个向量组等价一、等价的向量一、等价的向量组组向量组向量组 可由可由 线性表示，即线性表示，即向量组向量组 可由可由 线性表示等价于存在线性表示等价于存在 的的矩阵矩阵 使使若向量组
2、若向量组 和和 等价等价等价向量组的性质：等价向量组的性质：1. 自反性自反性：一个向量组与其自身等价：一个向量组与其自身等价2. 对称性对称性：若向量组：若向量组 和和 等价，则向量组等价，则向量组和和 等价。等价。3. 传递性传递性：若向量组：若向量组 和和 等价，向量等价，向量组组和和 等价，则向量组等价，则向量组 和和 等价。等价。定理定理1 设设 中的两个向量组中的两个向量组 和和 若向量组若向量组 可由可由 线性表示，且线性表示，且 ，则向量组，则向量组 线性相关线性相关少的表示多的，多少的表示多的，多少的表示多的，多少的表示多的，多的一定线性相关的一定线性相关的一定线性相关的一定
3、线性相关注注：1. ,不能相等不能相等; 2. 时，结论不一定成立时，结论不一定成立.（证明略）（证明略）推论推论1 若向量组若向量组 可由向量组可由向量组 线性表示，又已知线性表示，又已知 线性无关，则必有线性无关，则必有推论推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它两个线性无关的向量组互相等价，则它 们所含的向量个数相等们所含的向量个数相等注：注：若只是等价的向量组，它们所含的向量若只是等价的向量组，它们所含的向量个数未必相等个数未必相等定理定理1的逆否命题：的逆否命题：极大线性无关组等价定义极大线性无关组等价定义二极大线性无关组二极大线性无关组定义定义如果一个向量组如果一个向量组A的一个
4、部分组的一个部分组满足下述条件：满足下述条件：1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一一个向量组的极大线性无关组可能不唯一2.向量组和其极大线性无关组等价向量组和其极大线性无关组等价( (一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价) )3.3.一个向量组的极大线性无关组所含的向量个一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。数唯一确定。注注: :三三 向量组的秩与矩阵的秩的关系向量组的秩与矩阵的秩的关系定理定理2 2 矩阵矩阵A A的的行行初等变换不改变初等变换不改变A A的的列列向量组向量组的线性相关性和线性组合关系的线性相关性和线性组合关系定义定
5、义 一个向量组的极大线性无关组所含的向量一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为个数称为向量组的秩向量组的秩. . 线性无关的向量组的秩等于向量组的向量线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数的个数.例例2等于它的行向量组的秩等于它的行向量组的秩. 定理定理 3 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也也求向量组的最大无关组的步骤求向量组的最大无关组的步骤: :例例3：设有向量组设有向量组(1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。(2)求向量组的一个极大线性无关组。求向量组的一个极大线性无关组。(3)把其余向量表示成为该极大线性无
6、关组的把其余向量表示成为该极大线性无关组的 线性组合线性组合解：取解：取(1)(1)向量组即为向量组即为A A的列向量的列向量R(A)=2R(A)=2, 所以向量组的秩为所以向量组的秩为2 2。(2)(2) 为向量组的一个极大线性无关组为向量组的一个极大线性无关组(3)(3)推论：推论：设设A 为为 矩阵，秩矩阵，秩 ，则有，则有:(1)(1)当当r=m r=m 时，时，A A 的行向量组线性无关的行向量组线性无关;当当rmrm时，时， A A的行向量组线性相关的行向量组线性相关(2)当当r=n r=n 时，时，A A 的列向量组线性无关的列向量组线性无关;当当rnrn时，时，A A的列向量组
7、线性相关。的列向量组线性相关。 当当A A为为n n阶方阵时，即当阶方阵时，即当m=nm=n时，时，A A的列的列(行行)向向量组线性无关的充要条件是量组线性无关的充要条件是由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们立刻会发现一个有趣的现象：立刻会发现一个有趣的现象：3.5 3.5 向向 量量 空空 间间一、向量空间的定义一、向量空间的定义定义定义 1 设设 V 为为 n 维向量的集合维向量的集合,如果如果集合集合 V非空非空, 且且那么就称集合那么就称集合 V 为为向量空间向量空间.则则 a + b V; 若若 a V, R, 则则 a V. 若若 a V,
8、 b V,例例1 1 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. .解解例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. .解解一般地，一般地，L = x = a + b | , R x1 = 1a + 1b, x2 = 2a + 2b则有则有 x1 + x2 = ( 1+ 1)a + ( 1 + 2 )b L,kx1 = (k 1)a + (k 1)b L .这个向量空间称为由向量这个向量空间称为由向量 a , b 所生成所生成的向量空间的向量空间.是一个向量空间是一个向量空间.因为若因为若由向量组由向量组 a1 , a2 , . , am 所生成的向所生成的向
9、量量空间一般形式为空间一般形式为 L=x= 1a1 + 2a2 + . + mam | 1, 2 ,., m R . 二、向量空间的基二、向量空间的基 向量空间的维数向量空间的维数 定义定义 2 设有向量空间设有向量空间 V1 及及V2 , 若若 V1 V2, 总有总有 V Rn , 所以这样的向量空间总是所以这样的向量空间总是 Rn 的子空间的子空间. 例如：任何由例如：任何由 n 维向量所组成的向量空间维向量所组成的向量空间 V, 就称就称 V1 是是 V2 的子空间的子空间.向量空间向量空间.定义定义 3 设设V V 为向量空间为向量空间, 如果如果r r 个向量个向量a1 , a2 ,
10、 . , ar V , 且满足且满足(i) a1 , a2 , . , ar 线性无关线性无关;(ii) V中任一向量都可由中任一向量都可由a1 , a2 , . , ar 线性线性表示表示.那么那么,向量组向量组 a1 , a2 , . , ar 就称为向量空间就称为向量空间 V 的的一个基一个基, r 称为向量空间称为向量空间 V 的维数的维数,并称并称 V为为 r 维维 （1）只含有零向量的向量空间称为只含有零向量的向量空间称为0维维向量空间，因此它没有基向量空间，因此它没有基说明说明 （3）若向量组若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为 （2）若把向量空间若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是向量组的极大无关组就是向量组的极大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.
