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1、上页下页铃结束返回首页2.2 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则一、一、性质性质性质性质1(唯一性唯一性) 若极限若极限lim f(x)存在，则极限唯一。存在，则极限唯一。注注 此定理对数列也成立。此定理对数列也成立。注注 1、其他类型的极限对应的邻域由定义中、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范的变化范围确定。围确定。2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由具体函数确定。具体函数确定。上页下页铃结束返回首页性质性质3(局部保号性局部保号性)性质性质4注注性质性质5上页下页铃结束返回首页二、二、四则运算法则四则运算法则定理定理推
2、论推论上页下页铃结束返回首页 定理定理 如果lim f与lim g存在，则有 lim(fg)=lim flim g 。 因此，在上述时刻以后，恒有这就证明了lim(fg)=AB ，即lim(fg)=lim flim g。总有那么一个时刻， 在此时刻以后，恒有|(fg)-(AB)|f-A|+|g-B| 证明证明：设limf=A，limg=B，则对于任意给定的e 0， | f-A|21e ， |g-B|21e 。 上页下页铃结束返回首页注注1、应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为、应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非负等；零、偶次根号下非负等；2、定理中、定理中C、n、都是
3、与自变量无关的常量。都是与自变量无关的常量。 上页下页铃结束返回首页 如果lim f与lim g存在，则 lim(fg)=lim flim g ； lim fg=lim flim g 下页=2。 例例1 解：解：上页下页铃结束返回首页讨论讨论：提示提示：例例2答案答案上页下页铃结束返回首页如果lim f与lim g存在且lim g 0,则 例例2 解：解： 例例3 解：解：gfgflimlimlim=BA(B0)。 上页下页铃结束返回首页 如果lim f与lim g存在且lim g 0，则 。 例例4 解：解：gfgflimlimlim=BA(B0)。 上页下页铃结束返回首页讨论：讨论：提示：
4、提示： 当Q(x0)=P(x0)=0时，分子分母约去(x-x0)。 上页下页铃结束返回首页 如果lim f与lim g存在且lim g 0，则 。 例例5 解：解：gfgflimlimlim=BA(B0)。 上页下页铃结束返回首页 解：解：将分子分母同除以n 2，得 解：解：将分子分母同除以x 4 ，得 例例6 例例7 上页下页铃结束返回首页 解：解：将分子分母同除以x 3 ，得 例例8 讨论：讨论：上页下页铃结束返回首页证明原式由即得所证.证证上页下页铃结束返回首页例例上页下页铃结束返回首页 例例9 解：解：上页下页铃结束返回首页解例10 初等展开上页下页铃结束返回首页例11-1上页下页铃结
5、束返回首页解例11 有理化上页下页铃结束返回首页例例12 , 求求 a , b 的值的值解解上页下页铃结束返回首页例例13 解解 当 时， ， 的分母都趋于零，原式 出现“ ”的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。 原式 = （消去零因子）（消去零因子）上页下页铃结束返回首页14. 求解法解法 1 原式 =解法解法 2 令则原式 =上页下页铃结束返回首页15. 试确定常数 a ,b 使上页下页铃结束返回首页16. 试确定常数 a 使解解 : 令则故因此上页下页铃结束返回首页例例17. 确定常数 a , b , 使解解: 原式故于是而上页下页铃结束返回首页 下列各题的解题过程是否有错误？如何改正错误？解题评析：解题评析：下页上页下页铃结束返回首页= 结束上页下页铃结束返回首页本周本周作业一：作业一：4. 已知已知答案答案2(答案答案 1)(答案答案 -2)13(答案答案 -5)上页下页铃结束返回首页本周本周作业二：作业二：1答案答案2答案答案 1答案答案 2/345答案答案 2/3求答案答案 19/36上页下页铃结束返回首页9(答案答案 1)1011. 已知已知 , 求求 k 的值的值12.已知 求a,b的值。13 设是多项式 , 且求
