《信号分析与处理第4章-1a》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号分析与处理第4章-1a（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析 第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析信号分析与处理信号分析与处理2第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 数字信号处理是用数值计算的方法对信号进行处理的一门科学。离散数字信号处理是用数值计算的方法对信号进行处理的一门科学。离散时间信号处理技术可以实现连续时间信号处理技术，而且还可以实现时间信号处理技术可以实现连续时间信号处理技术，而且还可以
2、实现原来连续时间系统不可能实现的功能。原来连续时间系统不可能实现的功能。为了对连续信号进行处理，必然要先把连续时间信号转换为离散时间为了对连续信号进行处理，必然要先把连续时间信号转换为离散时间信号，如果需要还要把离散时间信号转换为连续时间信号。本章将对信号，如果需要还要把离散时间信号转换为连续时间信号。本章将对连续时间信号的时域采样和恢复问题进行较详细的讨论。连续时间信号的时域采样和恢复问题进行较详细的讨论。离散时间信号的分析也像连续时间信号的分析一样，包括时域分析、离散时间信号的分析也像连续时间信号的分析一样，包括时域分析、频域分析和复频域分析。频域分析和复频域分析。 在时域内分析信号是将离
3、散时间信号表示成单位脉冲信号的加权和。在时域内分析信号是将离散时间信号表示成单位脉冲信号的加权和。 在复频域分析信号则是将离散时间信号表示为复指数信号（这里）的加权和，从在复频域分析信号则是将离散时间信号表示为复指数信号（这里）的加权和，从而引入了而引入了Z变换。变换。 在频域内分析信号是将离散时间信号表示为虚指数信号的加权和，这就是离散信在频域内分析信号是将离散时间信号表示为虚指数信号的加权和，这就是离散信号的傅里叶分析，它包括非周期信号的离散时间傅里叶变换号的傅里叶分析，它包括非周期信号的离散时间傅里叶变换DTFT和周期信号的离散和周期信号的离散傅里叶级数傅里叶级数DFS。 34.1 4.
4、1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 用数字信号处理技术处理模拟信号需要将模拟信号经过采样和用数字信号处理技术处理模拟信号需要将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。问题是：数字处理方法。问题是：采样信号的频谱能否反映原模拟信号的频采样信号的频谱能否反映原模拟信号的频谱？如何将数字信号恢复为模拟信号？谱？如何将数字信号恢复为模拟信号？本节主要从理论上回答这两本
5、节主要从理论上回答这两个问题，介绍采样定理和采样恢复。个问题，介绍采样定理和采样恢复。 4.1.1 采样定理采样定理 1. 周期单位冲激串的傅里叶变换周期单位冲激串的傅里叶变换 第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析1）定义：定义： 周期单位冲激串：把位于周期单位冲激串：把位于t=0处的单位冲激函数以处的单位冲激函数以T周期延周期延拓。（狄拉克梳状函数或理想采样函数）拓。（狄拉克梳状函数或理想采样函数）4p(t)是周期函数，可以表示成傅立叶级数，即是周期函数，可以表示成傅立叶级数，即采样角频率，单位是弧度采样角频率，单位是弧度/秒秒4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的
6、时域抽样 4.1.1 采样定理采样定理 1. 周期单位冲激串的傅里叶变换周期单位冲激串的傅里叶变换 2）傅立叶级数傅立叶级数即即 上式表明，上式表明，单位冲激位冲激函数函数串的串的傅里叶傅里叶级数中，只包数中，只包含位于含位于处的的频率分量，每个率分量，每个频率分率分量的大小相等且都等于量的大小相等且都等于5p(t)的的傅里叶傅里叶变换为 4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 4.1.1 采样定理采样定理 1. 周期单位冲激串的傅里叶变换周期单位冲激串的傅里叶变换 3）傅立叶变换傅立叶变换p(t)的的傅里叶傅里叶级数数pk及及傅里叶傅里叶变换P()如如图4-1 (b)和
7、和(c)所示。所示。单位冲位冲激激函数函数串的串的傅里叶傅里叶变换是是强强度等于度等于0的的冲激串冲激串。 图图4-1 单位冲激函数串的傅里叶级数与傅里叶变换单位冲激函数串的傅里叶级数与傅里叶变换 62、理想采样信号的频谱、理想采样信号的频谱 1） 理想理想采采样信号的数学描述：信号的数学描述：如如图4-2所示，所示，p(t)为单位冲激函数位冲激函数串，串，x(t)为连续时间信号，它信号，它们的乘的乘积xs(t)= x(t) p(t)称称为x(t)的的采采样信号，信号，xs(t)中各冲激中各冲激强强度构成的序列度构成的序列则为x(t)在在t=nT时刻的样本时刻的样本xa(nT) 。4.1 4.
8、1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 4.1.1 采样定理采样定理 图图4-2 理想采样理想采样 7对上式两边取傅里叶变换，根据频域卷积定理对上式两边取傅里叶变换，根据频域卷积定理 为采采样间隔，隔，采采样角角频率率为4.1.1 采样定理采样定理 4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 2） 理想采样信号的频谱理想采样信号的频谱2、理想采样信号的频谱、理想采样信号的频谱 采样信号的频谱是原模拟信号的频谱的周期性延拓。采样信号的频谱是原模拟信号的频谱的周期性延拓。图图4-3 采样信号的频谱采样信号的频谱 81 1）频谱混叠：）频谱混叠：当当 s/2/2M时，时，
9、这种情况下采样信号的频谱完整的这种情况下采样信号的频谱完整的保留了的频谱，保留了的频谱，不会发生频谱重叠。不会发生频谱重叠。当当 s/2/22M的条件，的条件，这种情况下种情况下X()在延拓的在延拓的过程中程中加加权系数不系数不为恒定恒定值，而是，而是逐逐渐衰减，衰减，如如图4-8所示。但所示。但这种情况种情况下也能下也能够无失真地恢复原信号无失真地恢复原信号x(t)。 4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 4.1.3 实际采样与理想采样的差别实际采样与理想采样的差别 164.1.4 离散时间信号的表示形式离散时间信号的表示形式 1. 直接表示法直接表示法 1)集合表示
10、法：集合表示法：逐个列出逐个列出x(n)的序列值的序列值 2）函数表示法：）函数表示法： x(n)可以写成一般可以写成一般闭合形式的表达式，例如合形式的表达式，例如 4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 3）图形表示法）图形表示法图图4-10 序列的图形表示序列的图形表示 172. 单位样值序列加权和表示单位样值序列加权和表示 1）单位样值序列用）单位样值序列用(n)表示，定义为表示，定义为 4.1.4 离散时间信号的表示形式离散时间信号的表示形式 4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 2）右移）右移m点的单位样值序列（点的单位样值序列（如图如图
11、4-12所示）所示）为为 图图4-11 单位样值序列单位样值序列 图图4-12 右移右移m点的单位样值序列点的单位样值序列 183)考虑所有样点，考虑所有样点，序列序列x(n)可表示为可表示为 上式说明，任一序列可用不同加权并移位的样值序列表示。例如，上式说明，任一序列可用不同加权并移位的样值序列表示。例如，序列序列 也可表示为也可表示为 4.1.4 离散时间信号的表示形式离散时间信号的表示形式 4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 2. 单位样值序列加权和表示单位样值序列加权和表示 19 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把在连续系统中，为了避开
12、解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变变换的数学工具，把差分方程与卷积和转换为代数方程。换的数学工具，把差分方程与卷积和转换为代数方程。 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 4.2.1 z变换的定义变换的定义 1. 抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换 取取样信号信号xS(t)可写成可写成连续时间信号信号x (t)乘以冲激序列乘以冲激序列 ，即，即取上式的双边拉氏变换，考虑到取上式的双边拉氏变换，考虑到 得得第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号
13、的分析202. 双边双边z变换：变换：上式是复变量上式是复变量z的函数。的函数。3. 单边单边z变换：变换：令令，或，或，则这样拉普拉斯拉普拉斯变换式就可以式就可以变成另一复成另一复变量量z的的变换式，即式，即 当定义式中当定义式中n的取值范围为的取值范围为 n0时时,双边双边z变换的定义式就变成了单边变换的定义式就变成了单边z变换的定义式了。变换的定义式了。4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 4.2.1 z变换的定义变换的定义 21变换存在的条件变换存在的条件z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛
14、，即时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是序列，它是序列x(n)的的z变变换存在的换存在的充分必要条件充分必要条件。 2. z2. z变换的收敛域变换的收敛域 1)定义：满足存在条件的所有定义：满足存在条件的所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换的收敛域。变换的收敛域。简记为ROC（Region of Convergence）。）。 4.2.2 Z变换的收敛域变换的收敛域 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 222）举例：）举例： 试根据试根据Z变换收敛域的定义指出下列序列的收敛域。变换收敛域的定义指出下列序列的收
15、敛域。 (1) (2) 解：根据等比级数的求和方法，可求得序列的解：根据等比级数的求和方法，可求得序列的Z变换为变换为 X1(z)的的ROC为 ，即，即4.2.2 Z变换的收敛域变换的收敛域 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 X2(z)的的ROC为 ，即，即2. z2. z变换的收敛域变换的收敛域 23 要描述一个序列的要描述一个序列的Z变换，必，必须包括包括Z变换的表达式和的表达式和Z变换的收的收敛域域ROC两个部分。两个部分。 由上例可以看出，由上例可以看出，同一个同一个z变换函数，收敛域不同，其对应的序列变换函数，收敛域不同，其对应的序列是不相同的是不相同的
16、。2. z2. z变换的收敛域变换的收敛域 3 3） 结论结论4.2.2 Z变换的收敛域变换的收敛域 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 3 3 序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响 可以看出因果序列的收敛域包括可以看出因果序列的收敛域包括z=点。点。n10， n20时，时， 0|z | n10时，时， 00时，时， 0 |z | 1. 有限长序列有限长序列收敛域表示如下：收敛域表示如下：242）. 右右边边序序列列 右右边边序序列列是是在在nn1时时， 序序列列值值不不全全为为零零， 而而nn1时时， 序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。(1)n10，
17、 其收敛域为其收敛域为r1 |z| (2) n10，收敛域为，收敛域为r1 n2， 序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。 左边序列的左边序列的z变换表示为变换表示为(1) n20，收敛域为，收敛域为0|z| r2 。(2) 如果如果n2 0, 收敛域为收敛域为0|z| r2 。 4. 双边序列双边序列 一个双边序列可以看作一个左边序列和一个右边序列一个双边序列可以看作一个左边序列和一个右边序列之和，之和，若若z变换存在，其收敛域为变换存在，其收敛域为r1 |z| r2 ，这是一个环状域。，这是一个环状域。也可能也可能X(z)不存在（不存在（r2 r1）254.2.3 常用序列及其常用序列及
18、其Z变换变换 1. 1. 单位脉冲序列单位脉冲序列(n)（也称为单位采样序列）（也称为单位采样序列）4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 根据双边根据双边Z变换的定义式变换的定义式 (a)单位脉冲序列；单位脉冲序列； (b)单位冲激信号单位冲激信号 262. 2. 单位阶跃序列单位阶跃序列(n)2）(n)与与(n)的关系的关系: :(n) = (n) (n-1) 图图4-13 单位阶跃序列单位阶跃序列 反因果阶跃序列反因果阶跃序列(-n-1)如图如图4-14所示。所示。 图图4-14 反因果阶跃序列反因果阶跃序列 单位阶跃序列单位阶跃序列(n)如图如图4-13所示。所
19、示。4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 1）定义）定义273 3）单位阶跃序列）单位阶跃序列(n)的的z变换：变换：2. 2. 单位阶跃序列单位阶跃序列(n)4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 3. 3. 矩形序列矩形序列RN (n)N称为矩形序列的长度。当称为矩形序列的长度。当N=4=4时，时，R( (n) )的波形如图所示。的波形如图所示。2）矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：）矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：1）定义）定义283
20、 3）矩形序列）矩形序列RN (n)的的Z变换为变换为 4. 指数序列指数序列 (1) (1) 实指数序列实指数序列 ， a为实数为实数 如果如果|a|1， x(n)的幅度随的幅度随n的增大而增大，则称为发散序列。的增大而增大，则称为发散序列。单边实指数序列的单边实指数序列的Z变换为 4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 3. 3. 矩形序列矩形序列RN (n)29式中式中0 为数字角频率，当为数字角频率，当=0=0时，称为虚指数序列时，称为虚指数序列，虚指数序列，虚指数序列是以是以2为周期的周期序列周期的周期序列:(2
21、) (2) 复指数序列复指数序列单边虚指数序列的单边虚指数序列的Z变换变换: 4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 4. 指数序列指数序列 30 式中式中称为正弦序列的数称为正弦序列的数字角频率，单位是弧度。字角频率，单位是弧度。5. 5. 正弦序列正弦序列因此，数字角频率因此，数字角频率与模拟角频率与模拟角频率之间的关系为之间的关系为 2)数字角频率数字角频率与模拟角频率与模拟角频率之间的关系之间的关系 1)1)定义定义4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域
22、分析域分析 31（2）正弦序列是周期序列的条件）正弦序列是周期序列的条件（1）周期序列的定）周期序列的定义为：如果存在一个最小的正整数：如果存在一个最小的正整数N，使序列，使序列x(n)=x(n+N)，-n，则序列序列x(n)是周期序列，周期是周期序列，周期为N。设任意正弦序列为设任意正弦序列为 显然，然，满足足 0N=2 k时，x(n) = x(n+N)，正弦序列正弦序列为周期序列，周期序列，N、k为正整数。正整数。因此，正弦序列是周期序列的条件是：因此，正弦序列是周期序列的条件是：2/0 =N/k为有理数（整数和有理数（整数和分数）。分数）。 4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z变换变换
23、 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 5. 5. 正弦序列正弦序列3）正弦序列的周期性）正弦序列的周期性321）当）当2/0为整数时，为整数时，k=1，正弦序列是以，正弦序列是以2/0为周期的周期序为周期的周期序列。例如列。例如sin(/8) n ，0 =/8，2/0 =16，该正弦序列周期为，该正弦序列周期为16。2）当）当2/0为分数时，设为分数时，设2/0 =N/k，式中，式中N、k是互为素数（意是互为素数（意思是不可约分）的正整数，则正弦序列是以思是不可约分）的正整数，则正弦序列是以N为周期的周期序列。为周期的周期序列。例如例如sin(3/7) n，0 =
24、3/7， 由于由于2/0= 14/3为有理数，故它的周为有理数，故它的周期为期为N= 14。3）当）当2/0是无理数（不循是无理数（不循环的无限小数），任何整数的无限小数），任何整数k都不能使都不能使N为正整数，因此，此正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。的正弦序列不是周期序列。 4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 5. 5. 正弦序列正弦序列3）正弦序列的周期性）正弦序列的周期性331.1.线性线性 4.2.4 Z变换的性质变换的性质 设设 x(n) X(z) ,Rx-|z|Rx+ y(n) Y(z）, Ry-
25、 |z| Ry+ m(n)=ax(n)+by(n) 则则 M(z)= aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ Rm+=min Rx+, Ry+ Rm-=max Rx-, Ry-其收敛域是其收敛域是X(z) 与与Y(z)收敛域的公共部分。收敛域的公共部分。4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 34例例4-2 求序列求序列的的Z变换。 解解 收敛域收敛域4.2.4 Z变换的性质变换的性质 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 35例例4-3 求求单边余弦序列余弦序列和和单边正弦序列正弦序列的的Z变换。 解解 余弦和正弦序列可分别用复指数
26、序列表示为余弦和正弦序列可分别用复指数序列表示为 由于复指数序列的由于复指数序列的Z变换为变换为 4.2.4 Z变换的性质变换的性质 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 36则余弦序列的则余弦序列的Z变换为变换为 即即 同理可求出正弦序列的同理可求出正弦序列的Z变换为变换为 372.2.移位（移序）特性移位（移序）特性 对于因果序列对于因果序列 设设x(n) X(z) ， r1 |z| r2 则则x(n-n0) z-n0 X(z)，r1 |z| r2利用此性利用此性质，可以把，可以把时域的差分方程域的差分方程变换为z域的代数方程，可以大域的代数方程，可以大大大简化化
27、计算。算。 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 x(n-1) z-1 X(z)x(n-2) z-2 X(z)x(n-3) z-3 X(z)4.2.4 Z变换的性质变换的性质 38例例4-4 已知已知，利用移位性，利用移位性质求求和和的的Z变换。 解解 样值序列样值序列与与阶跃序列的关系序列的关系为 对上式两上式两边取取Z变换，由于，由于，故，故 则则 根据移位性质根据移位性质 4.2.4 Z变换的性质变换的性质 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 393. z域微分性质域微分性质 （序列乘以（序列乘以n）若若 x(n) X(z) ，r1
28、|z| r2， r1 |z| r24.2.4 Z变换的性质变换的性质 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 例例4-5 已知已知，求序列，求序列的的Z变换。变换。解解 利用利用z域微分性质可得域微分性质可得当当a=1时，时，即为斜变序列即为斜变序列，因此，因此404. z域尺度变换域尺度变换设设 x(n) X(z) ，r1|z| r2|a| r1|z| |a| r2则则5. 时域卷积定理时域卷积定理 设设 w(n)=x(n)*h(n) x(n) X(z )，R x-|z| R x+ h(n) H(z ) , R h-|z| R h+则则 W(z)= X(z)H(z)，
29、 Rw- |z |r1，即，即x(n)是右是右边序列序列(因果序列因果序列)， X(z)应展成应展成z的负幂级数，的负幂级数，则N(z)和和D(z)要按照要按照z的降的降幂（或（或z-1的升的升幂）次序）次序进行行排列。排列。 如果收如果收敛域是域是|z|2和和|z|2，是因果序列。，是因果序列。将将X(z)的分子和分母按的分子和分母按z的降的降幂排列，用排列，用长除法有除法有 4.2.5 逆逆Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 1.1.幂级数展开法幂级数展开法 （2）长除法）长除法46则则 （2）收敛域）收敛域|z|1，是反因果序列。，是反因果序列。
30、将将X(z)的分子和分母按的分子和分母按z的升幂排列，即的升幂排列，即 4.2.5 逆逆Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 1.1.幂级数展开法幂级数展开法 （2）长除法）长除法例例4-8：474.2.5 逆逆Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 1.1.幂级数展开法幂级数展开法 （2）长除法）长除法48则则 利用幂级数展开法求解逆利用幂级数展开法求解逆Z变换，方法比较直观和简单，但有时难以变换，方法比较直观和简单，但有时难以归纳出归纳出x(n)的闭式解。的闭式解。 4.2.5 逆逆Z变换变换 4.2 4.2 离散时
31、间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 492.2.部分分式展开法部分分式展开法 按留数法求系数按留数法求系数A0,A1，A2将将X(z)展成一些简单的展成一些简单的逆逆变换已知的部分分式的和，已知的部分分式的和，通过查表求得各通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。4.2.5 逆逆Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 步骤步骤（1）步骤步骤（1）（2）（3）查表取逆变换得查表取逆变换得 x(n)50解解 先把先把X(z)写成写成z的正幂形式的正幂形式 例例4.2.5 逆逆Z变换变换 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 2.2.部分分式展开法部分分式展开法 51取逆变换得取逆变换得
