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1、版权所有版权所有, 2000,2005 (c) 华中科技大学力学系华中科技大学力学系华中科技大学力学系华中科技大学力学系罗俊材材 料料 力力 学学Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , ChinaE-mail：Mechanics of Materials第六章 应力状态与强度理论6.1 应力状态的概念6.2 平面应力状态 主应力6.3 三向应力状态简介6.4 广义虎克定理6.5 平面应力状态下的应变分析6.6 应变能密度 畸变能密度6.7 强度理论 相当应力6.6 应变能密度 畸变能密度在三向应力作用下, 单元体将发生形状和体积改变。 单元体的
2、体积应变为:令则有称为平均主应力。它也是应力不变量之一。弹性体因变形而储存了能量, 这种能量称应变能(变形能) 。在单向应力状态下,单元体内储存的应变能等于侧微面上的力所做的功:xyz x6.6 应变能密度 畸变能密度三向应力状态下的应变能密度单位体积储存的应变能称为应变能密度。6.6 应变能密度 畸变能密度 为了剖析为了剖析应变能密度应变能密度同同体积应变体积应变和和形状形状变形变形的关系的关系，引入引入是体积应变是体积应变按迭加原理得左图按迭加原理得左图交互项交互项应力迭加没有交互项，位能迭加有应力迭加没有交互项，位能迭加有 2 3 1(a) m m m(b) 3 - m 1- m 2-
3、m(c) 故第故第3 3项项 应力状态同应力状态同 体积应变体积应变 无关，只与形状变化无关，只与形状变化有关，称为有关，称为 畸变（或偏斜）应力畸变（或偏斜）应力 应变能密度相应地分成：应变能密度相应地分成：因因体积改变能密度体积改变能密度 ，畸变能密度（形状改变能密度畸变能密度（形状改变能密度 ）du 3 - m 1- m 2- m 2 3 1 m m m交互项交互项(a)(b)(c)故故体积改变能密度体积改变能密度 2 3 1 1- m 3 - m 2- m m m m交互项交互项畸变能密度畸变能密度交互项交互项vddvidividiviuuu)(u+=+=+=3133221121212
4、121e ee e e e e e e e =3121ididie e =du02131=+=ivididivi)(e e e e vdu体积改变能密度体积改变能密度畸变能密度（形状改变能密度畸变能密度（形状改变能密度()()()21323222161 m m-+-+-+=Eud对于一般线弹性三维应力单元体, 其应变能密度可以用六个应力分量和对应的应变分量来表示, 在小变形条件下, 线(正)应变和切应变互不藕合, 其应变能密度为例例例例 用能量法证明三个弹性常数间的关系用能量法证明三个弹性常数间的关系用能量法证明三个弹性常数间的关系用能量法证明三个弹性常数间的关系（1 1 1 1）纯剪单元体的
5、变形能密度为纯剪单元体的变形能密度为纯剪单元体的变形能密度为纯剪单元体的变形能密度为（2 2 2 2）纯剪单元体变形能密度的主应力表纯剪单元体变形能密度的主应力表纯剪单元体变形能密度的主应力表纯剪单元体变形能密度的主应力表示为示为示为示为t txyA 1 36.7 强度理论 相当应力材料在单向应力状态时的强度极限和屈服极限可以通过单向拉伸实验得到。 但当构件受复杂载荷作用时, 构件内部各点处于复杂应力状态, 此时候材料的破坏无法通过相应的实验进行测试。固体强度理论就是要解决材料何时破坏和如何破坏的问题。一般说来，固体的强度跟固体材料的组成，微观结构，内部缺陷分布有关。强度理论一直是固体力学研究
6、的前沿和热点，目前还没有一个比较完备的理论能预测各种固体材料的强度。材料力学的强度理论一般不深入固体材料内部的微观结构，只是根据宏观实验观测结果给出一些比较符合实验结果的假说。这些假说在某种程度上能与实验观察吻合。由于这些理论基于实验观测，并没有完全从固体破坏的物理机制出发，我们称之为唯象的强度理论。6.7 强度理论 相当应力根据单向拉伸实验， 材料的破坏分为脆性断裂和塑性屈服。材料力学的强度理论也就基于这两种现象。分为脆性断裂的理论（第一和第二强度理论）和塑性屈服的理论（第三和第四强度理论）。6.7 强度理论 相当应力一、最大拉应力（第一强度）理论一、最大拉应力（第一强度）理论 (Maxim
7、um Tensile-Stress Criterion)失效失效失效失效准则准则准则准则 Galileo 1638 Galileo 1638年年提出提出提出提出 原因是砖石原因是砖石( (以后的铸铁以后的铸铁) )强度的需求强度的需求最大拉应力最大拉应力 是引起材料断裂的原因是引起材料断裂的原因的强度极限的强度极限 ，就发生断裂破坏，就发生断裂破坏 具体说：无论材料处于什么应力状态，具体说：无论材料处于什么应力状态，只要微元内的最大拉应力只要微元内的最大拉应力 达到了单向拉伸达到了单向拉伸6.7 强度理论 相当应力评价评价强度条件强度条件强度条件强度条件当主应力中有压应力时，如果当主应力中有压
8、应力时，如果 误差较误差较 大，三大，三向压应力不适用向压应力不适用失效方程（或极限条件）失效方程（或极限条件） 此时断裂此时断裂脆性材料脆性材料二向时：当二向时：当 该理论与实验基本一致该理论与实验基本一致三向时：当三向时：当 同上同上当主应力中有压应力时，只要当主应力中有压应力时，只要 同上同上塑性材料在三向或者接近三向等拉应力状态时也适用。6.7 强度理论 相当应力二、最大线应变理论二、最大线应变理论二、最大线应变理论二、最大线应变理论 （第二强度理论）（第二强度理论）（第二强度理论）（第二强度理论） 具体说：具体说： 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态 只要构件内有一点处
9、的最大线应变达到了只要构件内有一点处的最大线应变达到了单向拉伸的应变极限单向拉伸的应变极限 ， 就发生断裂破坏就发生断裂破坏 16821682年，年，MarioteMariote提出提出最大伸长线应变最大伸长线应变 是引起材料脆性断裂的原因是引起材料脆性断裂的原因失效失效失效失效准则准则准则准则6.7 强度理论 相当应力推导推导或或强度条件强度条件失效方程（或极限条件）失效方程（或极限条件） 即即 为相当应力为相当应力 equivalent stress6.7 强度理论 相当应力评价评价 主应力有压应力时，当主应力有压应力时，当 ，理论接近实验，理论接近实验但不完全符合但不完全符合 其他情况下
10、，不如第一强度理论其他情况下，不如第一强度理论可以比较好的解释脆性材料在单向压缩时沿纵向开裂的脆性断裂现象。形式上考虑了另外两个方向主应力的影响, 但并不总合理两向或者三向受拉时，按此理论反而比单向受拉时不容易开裂，与实际不符合。6.7 强度理论 相当应力三、莫尔强度理论三、莫尔强度理论第第1-41-4强度理论都是同强度理论都是同 （拉伸）比较，能否（拉伸）比较，能否把把 （压缩）考虑进去？（压缩）考虑进去？17731773年，年，CoulombCoulomb提出提出18821882年到年到19001900年年 Mohr Mohr 用应力圆形式提出用应力圆形式提出时是最大剪应力理论（第三强度理
11、论）时是最大剪应力理论（第三强度理论）与与 时分别为单向拉伸、单向压缩时分别为单向拉伸、单向压缩同时有拉、压主应力的情况，同实验结果相当吻合同时有拉、压主应力的情况，同实验结果相当吻合适用于脆性材料的断裂和低塑性材料的屈服。6.7 强度理论 相当应力最大剪应力（第三强度）理论（最大剪应力（第三强度）理论（TrescaTresca准则）准则）17731773年，年，CoulombCoulomb提出假设提出假设18681868年年 Tresca Tresca完善完善最大剪应力是引起材料塑性屈服的原因最大剪应力是引起材料塑性屈服的原因具体说具体说不管在什么应力状态下，只要构件不管在什么应力状态下，只
12、要构件内有一点处的最大剪应力达到单向拉伸的塑性内有一点处的最大剪应力达到单向拉伸的塑性屈服时的剪应力，就发生塑性屈服破坏屈服时的剪应力，就发生塑性屈服破坏失效失效失效失效准则准则准则准则6.7 强度理论 相当应力即即实验表明：理论偏于安全，差异有时达实验表明：理论偏于安全，差异有时达15%15%强度条件强度条件失效方程（或极限条件）失效方程（或极限条件）或或评价评价原因：未考虑原因：未考虑 的影响的影响适用于塑性材料的屈服失效（三向等拉应力状态除外）。6.7 强度理论 相当应力18561856年年 Maxwell Maxwell提出，在他的书信出版后才知道提出，在他的书信出版后才知道19041
13、90419041904年年年年 Huber Huber Huber Huber 提出该理论的种子提出该理论的种子提出该理论的种子提出该理论的种子形状改变比能（第四强度）理论形状改变比能（第四强度）理论( (畸变能理论畸变能理论) )1913191319131913年年年年 Mises Mises Mises Mises提出，但不相信是正确的提出，但不相信是正确的提出，但不相信是正确的提出，但不相信是正确的1925192519251925年年年年 Hencky Hencky Hencky Hencky以能量观点解释与论证以能量观点解释与论证以能量观点解释与论证以能量观点解释与论证 形状应变比能是
14、引起材料塑性屈服的原因形状应变比能是引起材料塑性屈服的原因具体说具体说不管在什么应力状态下，只要构件内有一不管在什么应力状态下，只要构件内有一点处的点处的 形状改变能密度形状改变能密度 达到单向拉伸的塑性屈服时的达到单向拉伸的塑性屈服时的形状形状改变能密度改变能密度，就发生塑性屈服破坏，就发生塑性屈服破坏失效失效失效失效准则准则准则准则6.7 强度理论 相当应力单向拉伸单向拉伸强度条件强度条件失效方程（或极限条件）为失效方程（或极限条件）为则则0dduu = =( () )( () )( () ) 21323222161 m m- -+ +- -+ +- -+ += =Eud 222206)1
15、(2061sssdEEu n n n n+ += =+ + + += =6.7 强度理论 相当应力 理论与实验基本符合理论与实验基本符合比第三理论更接近实际比第三理论更接近实际6.7 强度理论 相当应力相当应力（强度准则的统一形式）相当应力（强度准则的统一形式）其中其中 相当应力相当应力 equivalent stress equivalent stress四、强度计算的步骤：四、强度计算的步骤：1 1、外力分析：确定所需的外力值、外力分析：确定所需的外力值2 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面、内力分析：画内力图，确定可能的危险面3 3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画、应力
16、分析：画危面应力分布图，确定危险点并画 出单元体，求主应力出单元体，求主应力 4 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力 然后进行强度校核然后进行强度校核6.7 强度理论 相当应力四、强度理论的选用原则：依破坏形式而定1、脆性材料： 最小主应力0 第一理论3、简单变形：用与其对应的强度准则,如扭转2、塑性材料： 当最小主应力0 第一理论( 破坏形式还与温度、变形速度等有关 )最大主应力0 第三或第四理论其它应力状态时，使用第三或第四理论最小主应力 0 莫尔理论 6.7 强度理论 相当应力6.7 强度理论 相当应力解：解：危险点危险点A的应力状态如图的应力状态如图例例 直径为直径为d的的铸铁圆杆受力铸铁圆杆受力 T=7kNm, P=50kN =40MPa, 用第一强度理论校核强度用第一强度理论校核强度安全安全PPTTAA解: 按照第一强度理论,纯剪切时的强度条件是:可认为,纯剪切时, 许用切应力为:按照第二强度理论,纯剪切时的强度条件是:可认为,纯剪切时, 许用切应力为:解:拉剪应力状态时有:根据应力分析有:0=2s由第三强度理论:由第四强度理论:
