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1、专题 方案设计问题 大庆四十六中数学组 方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，方程、不等方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，方程、不等式、函数，还有几何图形的设计等式、函数，还有几何图形的设计等. .方案设计题型是通过设置方案设计题型是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案当的解决方案. .有时也给出几个不同的解决方案有时也给出几个不同的解决方案, ,要求判断哪要求判断哪个方案较优个方案较优. .它包括与
2、方程、不等式有关的方案设计、与函数它包括与方程、不等式有关的方案设计、与函数有关的方案设计和与几何图形有关的方案设计有关的方案设计和与几何图形有关的方案设计. .方程、不等式方案设计方程、不等式方案设计【例例1 1】(2010(2010岳阳中考岳阳中考) )某货运码头，有稻谷和棉花共某货运码头，有稻谷和棉花共2 680 t2 680 t，其中稻谷比棉花多，其中稻谷比棉花多380 t.380 t.(1)(1)求稻谷和棉花各是多少？求稻谷和棉花各是多少？(2)(2)现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共5050个，将这批稻谷个，将这批稻谷和棉花运往外地和棉花运往外地.
3、 .已知稻谷已知稻谷35 t35 t和棉花和棉花15 t15 t可装满一个甲型集可装满一个甲型集装箱；稻谷装箱；稻谷25 t25 t和棉花和棉花35 t35 t可装满一个乙型集装箱可装满一个乙型集装箱. .按此要求按此要求安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】(1)(1)设稻谷为设稻谷为x tx t，棉花为，棉花为y t.y t.根据题意，得根据题意，得答：稻谷、棉花分别为答：稻谷、棉花分别为1 530 t1 530 t、1 150 t.1 150 t.(2)(2)设安排甲型集装箱设安排甲型集装箱x x个，则
4、乙型集装箱个，则乙型集装箱(50(50x)x)个个. .根据题意，得根据题意，得解得解得28x30.28x30.又因为又因为x x为整数为整数,x,x2828、2929、30,30,共有三种方案共有三种方案: :方案一：安排甲型集装箱方案一：安排甲型集装箱2828个，乙型集装箱个，乙型集装箱2222个；个；方案二：安排甲型集装箱方案二：安排甲型集装箱2929个，乙型集装箱个，乙型集装箱2121个；个；方案三：安排甲型集装箱方案三：安排甲型集装箱3030个，乙型集装箱个，乙型集装箱2020个个. .1.(20101.(2010宜宾中考宜宾中考) )小明利用课余时间回收废品，将卖得的小明利用课余时
5、间回收废品，将卖得的钱去购买钱去购买5 5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过2828元，元，且购买的笔记本的总页数不低于且购买的笔记本的总页数不低于340340页，两种笔记本的价格和页，两种笔记本的价格和页数如下表页数如下表. .为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案? ?请请说明理由说明理由. .【解析解析】设购买大笔记本为设购买大笔记本为x x本，则购买小笔记本为本，则购买小笔记本为(5-x)(5-x)本，本，依题意，得依题意，得解得解得1x3.1x3.xx为整数为整数,x,x的取值为的取值为1 1，2 2
6、，3.3.当当x =1x =1时，购买笔记本的总金额为时，购买笔记本的总金额为6 61+51+54=26(4=26(元元) )；当当x =2x =2时，购买笔记本的总金额为时，购买笔记本的总金额为6 62+52+53=27(3=27(元元) )；当当x =3x =3时，购买笔记本的总金额为时，购买笔记本的总金额为6 63+53+52=28(2=28(元元). ). 应购买大笔记本应购买大笔记本1 1本，小笔记本本，小笔记本4 4本，花钱最少本，花钱最少. .2.(20102.(2010德化中考德化中考) )某商店需要购进甲、乙两种商品共某商店需要购进甲、乙两种商品共160160件，件，其进价和
7、售价如下表：其进价和售价如下表：( (注注: :获利获利= =售价售价- -进价进价) )(1)(1)若商店计划销售完这批商品后能获利若商店计划销售完这批商品后能获利1 1001 100元，问甲、乙元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件两种商品应分别购进多少件? ?(2)(2)若商店计划投入资金少于若商店计划投入资金少于4 3004 300元，且销售完这批商品后元，且销售完这批商品后获利多于获利多于1 2601 260元，请问有哪几种购货方案元，请问有哪几种购货方案? ? 并直接写出其中并直接写出其中获利最大的购货方案获利最大的购货方案. .【解析解析】(1)(1)设甲种商品应购进设甲种商品应购
8、进x x件，乙种商品应购进件，乙种商品应购进y y件件. .根据题意，得根据题意，得答：甲种商品购进答：甲种商品购进100100件，乙种商品购进件，乙种商品购进6060件件. .(2)(2)设甲种商品购进设甲种商品购进a a件，则乙种商品购进件，则乙种商品购进(160-a)(160-a)件件. .根据题根据题意，得意，得解不等式组，得解不等式组，得6565a a68.68.aa为非负整数，为非负整数，a a取取6666，67.67.160-a160-a相应取相应取9494，93.93.所以有两种购货方案所以有两种购货方案. .方案一：甲种商品购进方案一：甲种商品购进6666件，乙种商品件，乙种
9、商品购进购进9494件；方案二：甲种商品购进件；方案二：甲种商品购进6767件，乙种商品购进件，乙种商品购进9393件件. .其中获利最大的是方案一其中获利最大的是方案一. .函数方案设计函数方案设计【例例2 2】(2010(2010柳州中考柳州中考) )某住宅小区计划购买并种植甲、乙某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共两种树苗共300300株株. .已知甲种树苗每株已知甲种树苗每株6060元，乙种树苗每株元，乙种树苗每株9090元元. .(1)(1)若购买树苗共用若购买树苗共用21 00021 000元，问甲、乙两种树苗应各买多少元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？株？(2)(2)据统计，
10、甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为为0.20.2和和0.60.6，问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的，问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的空气净化指数之和不低于空气净化指数之和不低于9090而且费用最低？而且费用最低？【思路点拨思路点拨】 【自主解答自主解答】(1)(1)设购买甲种树苗设购买甲种树苗x x株，则购买乙种树苗株，则购买乙种树苗(300-x)(300-x)株株. .依题意依题意, ,得得60x+90(300-x)=21 000,60x+90(300-x)=21 000,解得解得x=200,300-x=300-20
11、0=100(x=200,300-x=300-200=100(株株),),答：购买甲种树苗答：购买甲种树苗200200株，乙种树苗株，乙种树苗100100株株. .(2)(2)设购买设购买x x株甲种树苗，株甲种树苗，(300-x)(300-x)株乙种树苗时株乙种树苗时, ,该小区的空该小区的空气净化指数之和不低于气净化指数之和不低于90.90.依题意依题意, ,得得0.2x+0.6(300-x)90,0.2x+0.6(300-x)90,0.2x+180-0.6x90,-0.4x-90,x225,0.2x+180-0.6x90,-0.4x-90,x225,此时费用此时费用y=60x+90(300
12、-x),y=-30x+27 000.y=60x+90(300-x),y=-30x+27 000.yy是是x x的一次函数，且的一次函数，且y y随随x x的增大而减小的增大而减小, ,当当x=225x=225时，时，y y最小最小=-30=-30225+27 000=20 250(225+27 000=20 250(元元),),即当购买即当购买225225株甲种树苗，株甲种树苗，7575株乙种树苗时株乙种树苗时, ,该小区的空气净该小区的空气净化指数之和不低于化指数之和不低于9090，且费用最低为，且费用最低为20 25020 250元元. .3.(20103.(2010泰安中考泰安中考) )
13、某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收刷厂提出：每份材料收1 1元印制费，另收元印制费，另收1 0001 000元制版费；乙元制版费；乙厂提出：每份材料收厂提出：每份材料收2 2元印制费，不收制版费元印制费，不收制版费. .(1)(1)分别写出两厂的收费分别写出两厂的收费y(y(元元) )与印制数量与印制数量x(x(份份) )之间的函数关之间的函数关系式；系式；(2)(2)电视机厂拟拿出电视机厂拟拿出3 0003 000元用于印制宣传材料，找哪家印刷元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？厂印制的宣传材料能多一些？(3)(3)印
14、刷数量在什么范围时，在甲厂印制合算？印刷数量在什么范围时，在甲厂印制合算？【解析解析】(1)(1)甲厂的收费甲厂的收费y y甲甲( (元元) )与印制数量与印制数量x(x(份份) )之间的函数之间的函数关系式为关系式为y y甲甲=x+1 000,=x+1 000,乙厂的收费乙厂的收费y y乙乙( (元元) )与印制数量与印制数量x(x(份份) )之间的函数关系式为之间的函数关系式为y y乙乙=2x.=2x.(2)(2)根据题意：根据题意：若找甲厂印制，可以印制的份数若找甲厂印制，可以印制的份数x x满足满足3 000=x+1 000,3 000=x+1 000,解得解得x=2 000,x=2
15、000,若找乙厂印制，可以印制的份数若找乙厂印制，可以印制的份数x x满足满足3 000=2x,3 000=2x,解得解得x=1 500,x=1 500,2 0001 500,2 0001 500,找甲厂印制的宣传材料多一些找甲厂印制的宣传材料多一些. .(3)(3)根据题意根据题意, ,可得可得x+1 0002x,x+1 0001 000,x1 000,即当印制数量大于即当印制数量大于1 0001 000份时，在甲厂印制合算份时，在甲厂印制合算. .4.(20114.(2011盐城中考盐城中考) )利民商店经销甲、乙两种商品，现有如利民商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：下信息：请根据以上
16、信息，解答下列问题请根据以上信息，解答下列问题: :(1)(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？甲、乙两种商品的进货单价各多少元？(2)(2)该商店平均每天卖出甲商品该商店平均每天卖出甲商品500500件和乙商品件和乙商品300300件，经调查件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.10.1元，这两种商品元，这两种商品每天可各多销售每天可各多销售100100件，为了使每天获取更大的利润，商店决件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m m元，在不考虑其他因元，在不考虑其他因素的条件下
17、，当素的条件下，当m m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？【解析解析】( () )设甲、乙两种商品的进货单价分别为设甲、乙两种商品的进货单价分别为x x元和元和y y元，元，依据题意得：依据题意得：所以甲、乙两种商品的进货单价分别为所以甲、乙两种商品的进货单价分别为2 2元和元和3 3元元. .(2)(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w w元，根据元，根据题意，得：题意，得：所以当所以当m m为为0.550.55元
18、时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润为取的利润最大，每天的最大利润为1 7051 705元元. .图形方案设计图形方案设计【例例3 3】(2010(2010枣庄中考枣庄中考) )在在3 33 3的正方形格点图中，有格点的正方形格点图中，有格点ABCABC和和DEFDEF，且，且ABCABC和和DEFDEF关于某直线成轴对称，请在关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出下面给出的图中画出4 4个这样的个这样的DEF.DEF.【思路点拨思路点拨】确定一条直线为对称轴，然后再画出确定一条直线为对称轴，然后再画出DEFDEF，使，
19、使其与其与ABCABC关于这条直线成轴对称关于这条直线成轴对称. .【自主解答自主解答】答案不惟一，如：答案不惟一，如：6.(20106.(2010新疆中考新疆中考) )用四块如图用四块如图(1)(1)所示的正方形卡片拼成一所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)(2)、图、图(3)(3)、图、图(4)(4)中各画出一种拼法中各画出一种拼法( (要求三种画法各不相要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形).).【解析解析】
20、答案不惟一，如：答案不惟一，如：7.(20117.(2011成都中考成都中考) )某学校要在某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙( (墙的长度不限墙的长度不限) )，另三边用木栏，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.ABCD.已知木栏总长为已知木栏总长为120120米，设米，设ABAB边的长为边的长为x x米，长方形米，长方形ABCDABCD的面积为的面积为S S平方米平方米. .(1)(1)求求S S与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式( (不要求
21、写出自变量不要求写出自变量x x的取值范围的取值范围).).当当x x为何值时，为何值时，S S取得最值取得最值( (请指出是最大值还是最小值请指出是最大值还是最小值) )？并求出这个最值；并求出这个最值；(2)(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为外切的等圆，其圆心分别为O O1 1和和O O2 2，且，且O O1 1到到ABAB、BCBC、ADAD的距离的距离与与O O2 2到到CDCD、BCBC、ADAD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够
22、域外四周至少要留够0.50.5米宽的平直路面，以方便同学们参观米宽的平直路面，以方便同学们参观学习学习. .当当(1)(1)中中S S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由求出圆的半径；若不可行，请说明理由. .【解析解析】(1)S=x(120-2x)(1)S=x(120-2x)，顶点坐标为，顶点坐标为(30,1 800)(30,1 800)，即当，即当x=30x=30时，时，S S有最大值有最大值1 800.1 800.(2)(2)不可行不可行. .设圆的半径为设圆的半径为r r米，则米，则 解得解得r ,r ,
23、又因为又因为30-2r=60-4r,30-2r=60-4r,解得解得r=15,r=15,所以不符合要求所以不符合要求. .所以不可行所以不可行. .5.(20105.(2010凉山中考凉山中考) )下表是西昌市到攀枝花市两条线路的有下表是西昌市到攀枝花市两条线路的有关数据关数据. .(1)(1)若小车在高速路上行驶的平均速度为若小车在高速路上行驶的平均速度为90 km/h,90 km/h,在在108108国道国道上行驶的平均速度为上行驶的平均速度为50 km/h,50 km/h,则小车走高速公路比走则小车走高速公路比走108108国道国道节省多少时间节省多少时间? ?(2)(2)若小车每千米的
24、油耗量为若小车每千米的油耗量为x L,x L,汽油价格为汽油价格为7.007.00元元/L./L.问问x x为为何值时何值时, ,走哪条线路的总费用较少走哪条线路的总费用较少?(?(总费用总费用= =过路费过路费+ +油耗费油耗费) )(3)(3)公路管理部门在高速路口对从西昌市到攀枝花市五类不同公路管理部门在高速路口对从西昌市到攀枝花市五类不同油耗的小车进行统计油耗的小车进行统计, ,得到平均每小时通过的车辆数的频数分得到平均每小时通过的车辆数的频数分布直方图如图所示布直方图如图所示. .请估算请估算10 h10 h内这五类小车走高速公路比走内这五类小车走高速公路比走108108国道节省了多
25、少升汽油国道节省了多少升汽油.(.(以上结果均保留两位有效数字以上结果均保留两位有效数字) )【解析解析】(1)(1)即小车走高速公路比走即小车走高速公路比走108108国道节省约国道节省约2.9 h.2.9 h.(2)(2)设小车走高速公路的总费用为设小车走高速公路的总费用为y y1 1元元, ,走走108108国道的总费用为国道的总费用为y y2 2元元, ,则则y y1 1=7=7185185x+120,x+120,即即y y1 1=1 295x+120,y=1 295x+120,y2 2=7=7250250x,x,即即y y2 2=1 750x.=1 750x.当当y y1 1=y=y
26、2 2时时, ,即即1 295x+120=1 750x,1 295x+120=1 750x,解得解得x0.26;x0.26;当当y y1 1yy2 2时时, ,即即1 295x+1201 750x,1 295x+1201 750x,解得解得x0.26;x0.26;当当y y1 1yy2 2时时, ,即即1 295x+1201 750x,1 295x+1200.26.x0.26.当当x0.26 L/kmx0.26 L/km时时, ,小车走两条路的总费用相等小车走两条路的总费用相等; ;当当x0.26 L/kmx0.26 L/kmx0.26 L/km时时, ,小车走高速公路的总费用较少小车走高速公路的总费用较少. .(3)10(3)10(250-185)(250-185)(100(1000.26+2000.26+2000.28+5000.28+5000.30+0.30+5005000.32+1000.32+1000.34)=276 9002.80.34)=276 9002.810105 5(L).(L).即即10 h10 h内这五类小车走高速公路比走内这五类小车走高速公路比走108108国道大约节省了国道大约节省了2.82.810105 5 L L汽油汽油. .
