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1、高等数学（上）高等数学（上） 第五讲第五讲第一章第一章第二节第二节数列的极限（数列的极限（2）定理定理1.1. 若数列收敛若数列收敛, 则其极限唯一则其极限唯一.baxb+ 证证: 假设假设xn 收敛收敛, 但极限不唯一但极限不唯一, 不妨设不妨设bN1时时, N2, 当当 n N2 时时,取取N=maxN1, N2, 则则当当nN时时, 上上两两式式同同时时成成立立.从而当从而当 nN时时, 有有矛盾矛盾, 故极限唯一故极限唯一.若若 0, 正整数正整数N, 使得当使得当nN 时时, 都有都有 |xn a|0. , 由极限定义，由极限定义， 自然数自然数N, 当当nN时时, 有有定理定理3.
2、3. (保号性定理保号性定理) 若若, 而而a0 (aN时时, 有有xn0 (xnN 时时, 类似可证类似可证a0, 正整数正整数N, 使得当使得当nN 时时, 都有都有 |xn a|N时时, , 则则 有有 xn 0 (xn 0). 且且a 0 (a 0).证证: 假设假设a N1时时, 有有xn N2(N)时时,有有xn 0, 也只能推出也只能推出 a 0,例如，例如，*定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同三三. 收敛准则收敛准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:例例5 5证证(舍去舍去)证明数列证明数列极
3、限存在极限存在 . . (P22(P22P23)P23)证证: : 利用二项式公式利用二项式公式 , , 有有例例6. 设设大大 大大 正正又又比较可知比较可知根据准则根据准则 2 2 可知数列可知数列记此极限为记此极限为 e ,e , e e 为无理数为无理数 , , 其值为其值为即即有极限有极限 . .又n! n2四、小结四、小结数列数列: : 研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: : 极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.作业：作业：P56 习题一习题一 17（1）（）（3），），18（1）19（2）（）（3）21（1）收敛准则收敛准则
