§1 1—2 2 系统的状态变量描述系统的状态变量描述 一、状态变量的定义一、状态变量的定义容易得到其解显然，若其初始条件 不能确定，则不能唯一地确定其输出 系统的输入—输出描述仅在松弛松弛的条件下才能采用若系统在t0时刻是非松弛的，输出 并不能单单由 所决定，即关系式 不成立考察简单的一阶系统： 例：例：考虑一个n 阶系统：由微分方程的知识，其定解条件可取已知 定定义义1 1—7 7 系统在t0时时刻刻的的状状态态是系统在t0时的信息量，它与 一起，唯一地确定系统在所有t≥t0时的行为1. t0时刻状态是系统以往活动情况的最简洁和全面的表示，使得其足以和u[t0,+)一起确定输出和信息信息量本身的更新量本身的更新如上例中的y (t0), y’(t0),……, y (n-1)(t0)就是这样的信息量；2.随时间t≥t0 不断更新的信息量称为状态变量或状态向量(例如上面例子中的y (t), y’(t),…, y (n-1)(t)， t≥t0 ），记为： 例：例：考虑t0时刻非松弛系统： 若信息量只取y(t0) 显然是不全面的；同样若取y(t0) 、 、 也是不必要的，因为它们并不相互独立。
因此，可以取 t0 时刻的状态为：相应的状态变量就是可见，尽管这是一个单输入单输出系统，要获得系统的全面的信息，仅仅知道y(t)是不够的 例例 1 1—5 5 单位时间延迟系统，是对所有t其输出y(t)等于u(t-1)的装置对于这一系统，为了唯一地由 确定 需要知道的信息因此这一信息 就可以作为系统在t0时刻的状态这个例子和例1—4不同，这里t0时的状态由无限个数所组成t0t0-1uy 例例1 1—4 4 (状态变量的不唯一性）考虑二阶系统：图1—5+u+RLCy其中，R=3，L=1H，C=0.5F由复数阻抗的方法容易求出该网络的传递函数： 相应的脉冲响应函数为 在 非松弛的情况下，输入—输出的关系式为 I：： 对 时输出产生的影响：在时刻t0补充的信息量完全可以取c1(t0)和c2(t0)，即定义状态变量 x1(t0)= c1(t0), x1(t0) =c1(t0) 事实上，若流经电感的初始电流y’(t0)以及电容两端的初始电压y(t0)为已知，则在任何驱动电压下，网络的动态行为就完全可以确定 另一方面，由上式，对y(t)求导数后有注意到故我们也可以取 和 为t0时刻的状态。
由以上定义和例子归纳出下列几点： 第一第一，状态变量的选择不是唯一的； 第二，第二，状态变量可以选为具有明显物理意义的量；也可选状态变量，以凸显系统某一性质； 第三第三，，如果用能量的概念，可以把系统的运动过程看作是能量的变换过程，因此状态变量的数目等于且仅仅等于系统中包含独立贮能元件的数目； 第第四四，，状态变量的数目的可以是有限个，也可以是无限多个(例子1-5） 本课程仅研究有限个数的情况状态向量取值的线性空间通常是熟知的有限维实向量空间，称为状态空间 二、动态方程二、动态方程1. 1.线性动态方程线性动态方程 根据前面的讨论，与输入输出描述相比，我们引入了状态变量x(t)对于一个在t0时刻非松弛非松弛的系统，不仅需要知道输入信号u，还需要知道在t0时刻的状态x(t0)才能唯一地确定t>t0的输出以及状态变量x(t) 引入系统的状态变量之后，可以得到描述系统输入、输出和状态之间关系的方程组，这个方程组称为系统的动态方程(Dynamical Equations) (1－33a) (1－33b )状态方程状态方程输出方程输出方程 若（1—33）中的f、g是x和u的线性函数，则称(1—33)为线性动态方程，具体形式为状态方程状态方程输出方程输出方程（1－34a）（1－34b）yxu D(t)∫C(t)B(t) A(t)A(t) n×n系统矩阵； B(t) n×p控制分布矩阵； C(t) q×n量测矩阵； D(t) q×p前馈矩阵，表示输入和输出的直接耦合关系。
例：例：考虑系统：则显然写成一阶微分方程组的形式：系统的动态方程是由状态方程和输出方程组成的 3.线性时不变动态方程线性时不变动态方程 若矩阵A、B、C和D不随时间变化，则方程称为线性时不变动态方程n维线性时不变动态方程的一般形式为(1—35) 式中A、B、C和D分别为n×n、n×p、q×n和q×p的实常量矩阵2.状态方程解的存在性状态方程解的存在性 微分方程有唯一解的一个充分条件是A(t)的每一个元素均为定义在 上的关于时间t的连续函数 yxu D∫ C B A 在时不变的情况下，方程的特性不随时间而变，因此不失一般性可选初始时间为零，从而时间区间可选为 由上式可得4.时不变系统的传递矩阵：时不变系统的传递矩阵：对时不变动态方程进行Laplace 变换可得(1-40a)(1-40b)若x0=0，可得 称为动态方程的传递函数阵传递函数阵其中5.预解矩阵预解矩阵——矩阵指数矩阵指数 1. 1. 与预解矩阵有关的一些关系式与预解矩阵有关的一些关系式命题：命题：对于任何一个n×n的矩阵A，其预解矩阵可以写成下列形式 其中 三、一些重要的关系式三、一些重要的关系式R0、R1、R2…Rn-1为n×n的常量矩阵。
事实上，将(1-42)左乘(sI A)△ △(s)，可得 比较上式两边s同次幂的系数(矩阵)有 将(1-44)的倒数第二式代入倒数第一式，有这就是著名的凯莱-哈密顿定理：定理定理（Cayley-Hamilton)：令n阶矩阵A的特征多项式为则如下矩阵方程成立： 利用（利用（1-441-44）和（）和（1-421-42）可得：）可得： 其中(1) adj(sI-A)的表达式：的表达式： (2)eAt 的表达式：的表达式： 由（1-45）可得 若对（1-47）进行拉氏反变换，且令 则可以得到矩阵指数eAt的一种表达式 2. 矩阵指数的主要性质：矩阵指数的主要性质： 3. 矩阵指数的算法：矩阵指数的算法：3) 化为若当阵的算法：这里，J 为若当阵： 为了得到以上结果，我们注意到 特别，若则： 求其矩阵指数。