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1、 第八章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作记作 定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数为, ) 的方向导数为特别特别: : 当 l 与 x 轴
2、同向 当 l 与 x 轴反向向角例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向导数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设是曲面在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最
3、大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线等值线 . 则L*上点P 处的法向量为 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 例例4.证证:试证机动 目录 上页 下页 返回 结束 处矢径 r 的模 ,三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场 (数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场( 势 )如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证证: 利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数
5、为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 梯度在方向 l 上的投影.思考与练习思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方切线方向向 的夹角 .2. P73 题 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线1. (1)在点解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数M (1,1,1) 处切线的方向向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. P73 题 16P51 2，3，6，7，8，9，10 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 函数在点处的梯度解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A2. 函数提示提示:则(96考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束
