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1、数与形，相倚依，焉能分作两边飞？数与形，相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非，数形结合百般好，隔裂分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，切莫忘，几何代数统一体，永远联系、切莫分离！永远联系、切莫分离！ 我国著名的数学家华罗庚我国著名的数学家华罗庚一、知识要点：一、知识要点： 1 1、一次函数的概念：函数、一次函数的概念：函数y=_(ky=_(k、b b为常数，为常数，k_)k_)叫做一次函数。当叫做一次函数。当b_b_时，函数时，函数y=_(k_)y=_(k_)叫做正比例函数。叫做正比例函数。kx b = = kx
2、kx理解一次函数概念应理解一次函数概念应注意注意下面两点：下面两点： 、解析式中自变量、解析式中自变量x x的次数是的次数是_次，次， 、比例系数、比例系数_。1K0K0 2 2、正比例函数、正比例函数y=y=kxkx(k0)(k0)的图象是过点（的图象是过点（_），），(_)(_)的的_。 3 3、一次函数、一次函数y=y=kxkx+b(k0)+b(k0)的图象是过点（的图象是过点（0 0，_),_),（_，0)0)的的_。0，01 1，k k 一条直线一条直线b b一条直线一条直线4 4、正比例函数、正比例函数y=y=kxkx（k k0)0)的性质：的性质：当当k0k0时，图象过时，图象过
3、_象限；象限；y y随随x x的增大而的增大而_。当当k0k0k0时，时，y y随随x x的增大而的增大而_。当当k0k0时，时，y y随随x x的增大而的增大而_。根据下列一次函数根据下列一次函数y=y=kxkx+b(k +b(k 0) 0)的的草图回答出各图草图回答出各图中中k k、b b的的符号：符号：增大增大减小减小k_0k_0，b_0 b_0 k k_0_0，b_0 k_0b_0 k_0，b_0 k_0b_0 k_0，b_0b_0 当当m取什么值时，取什么值时，y是是x的一次函数？当的一次函数？当m取什么取什么值时，值时，y是是x的正比例函数。的正比例函数。 例例1、已知函数、已知函
4、数解解:m+1m+10,0,得得m-1.m-1.m2-1=0若若y是是x的一次函数的一次函数,则则有有若若y是是x的正比例函数的正比例函数,则有则有m+10 m=1.故当故当m-1时时, y是是x的一次函数的一次函数;当当m=1时时, y是是x的正比例函数的正比例函数.y=kx+by=kx+b是正比例函数是正比例函数, ,则有则有k k0,b=00,b=0例例2、填空题：、填空题：(1)有下列函数：有下列函数： , y=2x , , 。其中过原点的直线是。其中过原点的直线是_；函数函数y随随x的增大而增大的是的增大而增大的是_；函数；函数y随随x的增大而减的增大而减小的是小的是_；图象在第一、
5、二、三象限的是；图象在第一、二、三象限的是_。、 (2) 如果一次函数如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么的图象经过原点，那么k的值为的值为_。 (3) 已知已知y-1与与x成正比例，且成正比例，且x=2时，时，y=4，那么那么y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为_。k=2k=21、在下列函数中，、在下列函数中， x是自变量，是自变量， y是是x的函数，的函数， 那些是一那些是一次函数？那些是正比例函数？次函数？那些是正比例函数？ y=2x y=3x+1 y=x22、某函数具有下列两条性质、某函数具有下列两条性质（1）它的图像是经过原点（）它的图像是经过原点（0，0）的一
6、条直线；）的一条直线；（2）y的值随的值随x值的增大而增大。值的增大而增大。请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）3、函数、函数 的图像与的图像与x轴交点坐标为轴交点坐标为_,与与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为_。（-6-6，0 0）（0 0，4 4）6、若函数、若函数ykx+b的图像经过点（的图像经过点（3，2）和（）和（1，6）求求k、b及函数关系式。及函数关系式。4、（1）对于函数）对于函数y5x+6，y的值随的值随x值的减小而值的减小而_。（2）对于函数）对于函数 , y的值随的值随x值的值的_而增大。而增大。 5、直线、直线ykx
7、+b过点（过点（1，3）和点（）和点（1，1），则），则 _。7、已知一次函数、已知一次函数 y=（6+3m）x+n-4，求求:（1）m为何值时，为何值时，y随随x的增大而减小？的增大而减小？ （2）n为何值时，函数图象与为何值时，函数图象与y轴交点在轴交点在x轴的下方？轴的下方？ （3）m, n 分别为何值时，函数图象经过分别为何值时，函数图象经过 (0，0).减小减小减小减小110、已知函数、已知函数 问当问当m为何值时，为何值时，它是一次函数？它是一次函数？8、在直角坐标系中，一次函数、在直角坐标系中，一次函数ykxb的图像经过三的图像经过三点点A（2，0）、）、B（0，2）、）、C（m
8、，3），求这个函数），求这个函数的关系式，并求的关系式，并求m的值。的值。9、已知一次函数的图像经过点、已知一次函数的图像经过点A（2，1）和点）和点B，其中点其中点B是另一条直线是另一条直线 与与y轴的交点，求这轴的交点，求这个一次函数的表达式。个一次函数的表达式。11、如果、如果 是正比例函数，而且对于它的每是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值（一组非零的对应值（x，y）有）有xy0，求，求m的值。的值。12、如果、如果y+3与与x+2成正比例，且成正比例，且x3时，时，y7（1）写出）写出y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2）求当）求当x1时，时，y的值；的值；（3）
9、求当）求当y0时，时，x的值。的值。13、已知：、已知：y+b与与x+a（a，b是常数）成正比例。是常数）成正比例。 求证：求证：y是是x的一次函数。的一次函数。你能比较快速画出下列一次函数的图象么？你能比较快速画出下列一次函数的图象么？ y=y= 2x-4, y=-x+2 2x-4, y=-x+2当当x=0x=0时时y=-4y=-4，即（，即（0 0，-4-4），），当当y=0y=0时时2x-4=02x-4=0，则，则x=2x=2，即（，即（0 0，2 2）请画出以上两个函数的图象请画出以上两个函数的图象解：一次函数当解：一次函数当x=1x=1时，时，y=5y=5。且它的图象与且它的图象与x
10、 x轴交点是轴交点是（，）。由题意得（，）。由题意得解得解得一次函数的解析式为一次函数的解析式为y= y= - - x+6x+6。 用待定系数法求一次函数用待定系数法求一次函数y=y=kxkx+b+b的解析式，可由已知条件给的解析式，可由已知条件给出的两对出的两对x x、y y的值，列出关于的值，列出关于k k、b b的二元一次方程组。由此求的二元一次方程组。由此求出出k k、b b的值，就可以得到所求的一次函数的值，就可以得到所求的一次函数的解析式。的解析式。例例3 3、已知一次函数、已知一次函数y=y=kxkx+b(k+b(k0)0)在在x=1x=1时，时，y=5y=5，且它且它的图象与的
11、图象与x x轴交点的横坐标是，求这个一次函数的解轴交点的横坐标是，求这个一次函数的解析式。析式。x/ 吨吨y/元元O123456100040005000200030006000例例4. 4. 如图，如图，l l1 1反映了某公司产品的销售收入与销售量反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：系，根据图意填空：l1l2（1 1）当销售量为）当销售量为2 2吨时，销售收入吨时，销售收入元，销元，销售成本售成本元；元；20003000x/ 吨吨y/元元O123456100040005000200
12、030006000l1l2（2 2）当销售量为）当销售量为6 6吨时，销售收入吨时，销售收入元，销元，销售成本售成本元；元；6000600050005000（3 3）当销售量为）当销售量为时，销售收入等于销售成本；时，销售收入等于销售成本；4 4吨吨x/ 吨吨y/元元O123456100040005000200030006000l1l24 4）当销售量）当销售量时，该公司赢利（时，该公司赢利（收入大于成本收入大于成本）；）；当销售量当销售量时，该公司亏损（收入小于成本）；时，该公司亏损（收入小于成本）；大于大于4 4吨吨小于小于4 4吨吨（5 5） l l1 1对应的函数表达式是对应的函数表达
13、式是， l l2 2对应的函数表达式是对应的函数表达式是。y=1000xy=1000xy=500x+2000y=500x+2000做一做做一做1 1、已知一次函数图象过点（、已知一次函数图象过点（1 1，2 2），求这个一次函数），求这个一次函数解析式；解析式；2 2、某公司营销人员的个人某公司营销人员的个人收入与每月的销售业绩满足收入与每月的销售业绩满足一次函数关系，图象如图所一次函数关系，图象如图所示，由图中的信息可知：示，由图中的信息可知：营销人员没有销售业绩时营销人员没有销售业绩时的收入是的收入是_元。元。012销售（万件）销售（万件）8001300收入（元）收入（元）3003003
14、3、如图、如图, ,折线折线ABCDEABCDE描述汽车在某一直线公路上的行驶过程中，描述汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离汽车离出发地的距离s s（千米）和行驶时间（千米）和行驶时间t t（小时）之间的函（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，下列说法：数关系，根据图中提供的信息，下列说法：汽车共行驶了汽车共行驶了120120千米；千米；汽车在行驶途中停留了汽车在行驶途中停留了0.50.5小时；小时；汽车在整个行驶过程中的平均速度为汽车在整个行驶过程中的平均速度为 千米千米/ /时；时；其中正确的说法共有（其中正确的说法共有（ ）A A、1 1个个 B B、2 2个个
15、C C、3 3个个 D D、0 0个个A A温馨提示：温馨提示：仔细观察图象，仔细观察图象，捕捉有效信息！捕捉有效信息！你还有什么想法？你还有什么想法？4 4、已知直线、已知直线y= -2x+4,y= -2x+4,它与它与x x轴的交点为轴的交点为A,A,与与y y轴的交点为轴的交点为B.B.(1).(1).求求A, BA, B两点的坐标两点的坐标. .(2).(2).求求AOBAOB的面积的面积. (. (O O为坐标原点为坐标原点) )6 6、已知、已知y y是关于是关于x x的一次的一次 函数，这个函数的图象经过函数，这个函数的图象经过 A A（0 0，-8-8），），B B（1 1，2
16、 2）两点，求当）两点，求当1x41x50时，时，y与与x函数关系式。函数关系式。根据你的分析：根据你的分析：当每月用电量不超过当每月用电量不超过50度时，度时，收费标准是收费标准是_;当每月的用电量超过当每月的用电量超过50度时，度时，收费标准是收费标准是_. y=0.5xy=0.5x (0x50) (0x50) ； y=0.9x-20y=0.9x-20 ( (x50).x50).0.50.5元元/ /度度 不超过不超过5050度部分度部分按按0.50.5元元/ /度计算，超过部度计算，超过部分按分按0.90.9元元/ /度计算度计算 例例5、柴油机在工作时油箱中的余油量柴油机在工作时油箱中
17、的余油量Q(千克）与工作时间千克）与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油40千克，千克，工作工作3.5小时后，油箱中余油小时后，油箱中余油22.5千克千克（1）写出余油量）写出余油量Q与时间与时间t的函数关系式；的函数关系式；（2）画出这个函数的图象。）画出这个函数的图象。解：（）设解：（）设ktktb b。把。把t=0t=0，Q=40Q=40；t=3.5t=3.5，Q=22.5Q=22.5分别代入上式，得分别代入上式，得解得解得解析式为：解析式为：Qt+40(0t8)（）取（）取t=0t=0，得，得Q=40Q=40；取取t=t=
18、，得，得Q=Q=。描出点（。描出点（，4040），），B B（8 8，0 0）。）。然后连成线段然后连成线段ABAB即是所求的图形。即是所求的图形。（1 1）求出函数关系式时，必）求出函数关系式时，必须找出自变量的取值范围。须找出自变量的取值范围。（2 2）画函数图象时，应根据）画函数图象时，应根据函数自变量的取值范围来确函数自变量的取值范围来确定图象的范围。定图象的范围。204080tQ图象是包括图象是包括两端点的线段两端点的线段.AB温馨提示：温馨提示：1、火车站托运行李费用与托运行李的重量关系如图所示、火车站托运行李费用与托运行李的重量关系如图所示y(元)30203040x(千克)（1）
19、当）当x=30时，时，y=_; 当当x=_,y=30。（2）你能确定该关系所）你能确定该关系所在直线的函数解析式吗？在直线的函数解析式吗？（3 3）当货物少于）当货物少于 千克，可免费托运。千克，可免费托运。2020404010y=x+10y=x+10看图回答看图回答是哪个队获胜了？是哪个队获胜了？ 2 2、1010千米龙舟比赛中，千米龙舟比赛中，红队红队由于某些原因，晚出发由于某些原因，晚出发了。出发时了。出发时蓝队蓝队已经划出了已经划出了 500500米米，如图所示，如图所示，和和m m分分别表示别表示蓝队蓝队和和红队红队的行驶路程的行驶路程y y（千米）和时间千米）和时间x x（分）分）
20、之间的关系。之间的关系。y(千米)x(分)m2468510 15 20 250看图回答看图回答3 3、某单位急需用车，准备和个体车主或租车公司签订、某单位急需用车，准备和个体车主或租车公司签订月租车合同，设汽车每月行驶月租车合同，设汽车每月行驶x x千米，付个体车主的月千米，付个体车主的月费用费用y y1 1元，出租公司的月租费是元，出租公司的月租费是y y2 2元，图象如图，观察元，图象如图，观察图象回答：图象回答： 1 1）每月行驶的路程在）每月行驶的路程在什么范围内时，租公司什么范围内时，租公司的车合算？的车合算？ 2 2）每月行驶的路程）每月行驶的路程等于多少时，租两家等于多少时，租两
21、家的费用相同？的费用相同？ 3 3）如果这个单位估）如果这个单位估计每月行驶的路程为计每月行驶的路程为 23002300千米，那么租哪千米，那么租哪 一家的车合算？一家的车合算？4、某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规、某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间（毫克）随时间x（时）的变（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。（1）服药后）服药后_时，血液中含药量最高，时，血液中含药量最高， 达到每毫升达到每毫升_毫克，
22、接着逐步衰弱。毫克，接着逐步衰弱。（2）服药）服药5时，血液中含药量为每毫升时，血液中含药量为每毫升_毫克。毫克。（3）当）当x2时时y与与x之间的函数关系式是之间的函数关系式是_。（4）当）当x2时时y与与x之间的函数关系式是之间的函数关系式是_。（5）如果每毫升血液中含药量）如果每毫升血液中含药量3毫克或毫克或3毫克以上毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是_时。时。.x/x/时时y y/ /毫克毫克6 63 32 25 5O O5 5、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，雉城镇
23、制定了每月用水识，雉城镇制定了每月用水4 4吨以内（包括吨以内（包括4 4吨）和用水吨）和用水4 4吨以上两种收费标准（收费标准：指每吨水的价格），吨以上两种收费标准（收费标准：指每吨水的价格），用户每月应交水费用户每月应交水费y y（元）是用水量元）是用水量x x（吨）的函数，其吨）的函数，其函数图象如图所示。函数图象如图所示。（1 1）观察图象，求出函数在）观察图象，求出函数在不同范围内的解析式；并不同范围内的解析式；并说出说出自来水公司在这两个用水范围自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；内的收费标准；（2 2）若一用户）若一用户5 5月份交水费月份交水费12.812.8元，求他用了多
24、少吨水？元，求他用了多少吨水？y (元)x（吨）464.88 刘强的爸爸带回一张电信营业厅的资费表，上面有刘强的爸爸带回一张电信营业厅的资费表，上面有A A、B B、C C三种新的手机计费标准（打电话收费，接电话不收费）三种新的手机计费标准（打电话收费，接电话不收费）（1 1）刘强爸爸办公室陈、秦、赵三位叔叔每月打电话约）刘强爸爸办公室陈、秦、赵三位叔叔每月打电话约4040分钟，分钟，7575分钟，分钟，200200分钟请算算哪种卡便宜？分钟请算算哪种卡便宜？卡名卡名月租费月租费打出时每分钟通话费打出时每分钟通话费A30元元0.20元元B15元元0.30元元C0元元0.60元元（2 2）若有更
25、多人需选卡，但他们打电话的时间各不）若有更多人需选卡，但他们打电话的时间各不相同，你能否借助一次函数图象，通过观察得出时相同，你能否借助一次函数图象，通过观察得出时间在什么范围内，选购哪种卡费用最省间在什么范围内，选购哪种卡费用最省 有这样一道题目：已知，一次函数的图象有这样一道题目：已知，一次函数的图象y=y=kxkx+b+b经过点经过点A A（0,a0,a）,B,B（-1-1，2 2） 则则 ABOABO的面积为的面积为2 2，请说明理由。题目中横线部分，请说明理由。题目中横线部分是一段被墨水污染了的无法辨认的文字。是一段被墨水污染了的无法辨认的文字。（1 1）根据现有信息，你能否求出题目
26、中的一次函数的）根据现有信息，你能否求出题目中的一次函数的解析式？若能，请写出合适条件的一次函数解析式；解析式？若能，请写出合适条件的一次函数解析式；（2 2）请根据你的理解，在横线上添加适当的条件把）请根据你的理解，在横线上添加适当的条件把原题补充完整。原题补充完整。试一试试一试1、填空题、填空题: (1)直线直线y=x+1与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为 _，与与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为 _。(2)如果一次函数如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么的图象经过原点，那么k的值为的值为_。（2 2，0 0）（0 0，1 1）k=2k=2 3、已知一次函数、已知一次函数y=k
27、x+b的图象经过的图象经过A(a，6)，B(4，b)两两点。点。a，b是一元二次方程是一元二次方程 的两根，且的两根，且b0, 1-2k0, 则则k1/2k0, 1-2k0, 且且2k+102k+105 5、已知一次函数、已知一次函数y y(1-2m)x(1-2m)xm-1m-1，若函数，若函数y y随随x x的的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限, ,求求m m的取值范围的取值范围. . 6.6.已知函数已知函数 , ,当当m m为何值时，为何值时，这个函数是一次函数这个函数是一次函数. .并且图象经过第二、三、四象并且图象经过第二、三、
28、四象限？限？7.7.已知一次函数的图象经过点（已知一次函数的图象经过点（- 4- 4，9 9）和（）和（6 6，3 3）。）。（1 1）求这个一次函数的关系式。）求这个一次函数的关系式。（2 2）试判断点（）试判断点（1 1，6 6）是否在这个函数的图象上。）是否在这个函数的图象上。8.已知函数已知函数y=(2m+1)x+m -3(1)若函数图象经过原点若函数图象经过原点,求求m的值的值(2)若这个函数是一次函数若这个函数是一次函数,且且y随着随着x的增大而减小的增大而减小,求求m的取值范围的取值范围.9.9.已知一次函数已知一次函数y = y = kxkx + b + b的图象如图所示。的图
29、象如图所示。（1 1）求）求k k、b b的值；的值；（2 2）在直角坐标系内画出）在直角坐标系内画出函数函数y = y = bxbx + k + k的图象；的图象； 2 1Oyx（1 1）图象经过点（）图象经过点（1 1，2 2）的正比例函数的解析式；）的正比例函数的解析式；求满足下列条件的函数解析式：求满足下列条件的函数解析式：(4)(4)已知直线已知直线y=kx+by=kx+b的图象经过点（的图象经过点（2 2，0 0），（），（4 4，3 3），），（m m，6 6），求），求m m的值。的值。(3)(3)经过点（经过点（0 0，2 2）和（）和（1 1，1 1）的直线的解析式）的直线
30、的解析式(2)(2)与直线与直线y=y=2x2x平行且经过点平行且经过点(1, -1)(1, -1)的直线的解析式；的直线的解析式； 1、一支蜡烛长、一支蜡烛长20厘米厘米,点燃后每小时燃烧点燃后每小时燃烧5厘米厘米,燃燃烧时剩下的高度烧时剩下的高度h(厘米厘米)与燃烧时间与燃烧时间t(时时)的函数关系的的函数关系的图象是图象是( ) ACBDD D选一选选一选2 2、一次函数、一次函数y=ax-ay=ax-a的图象是的图象是( ).( ). C.D.xxyyA.B.xyxyD D选一选选一选（1）（2）（3）（7）（5）（6）1、在以上函数图像中，是一次函数的是、在以上函数图像中，是一次函数的是 ；其中正比例函数的是其中正比例函数的是 。 2、在这些一次函数中，、在这些一次函数中，y随随x的增大而增大的是的增大而增大的是 ； y随随x的增大而减小的是的增大而减小的是 。（4）（8）3、其中其中k0的是的是_;b0的是的是_。(1) (3) (4) (5) (6) (8)(3) (5)(3) (5)(1)(3)(6)(1)(3)(6)(4)(5)(8(4)(5)(8) )(1)(3)(6)(1)(3)(6)(1)(8)(1)(8)选一选选一选
