一、条件概率一、条件概率二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式三、小结三、小结1.5 1.5 条件概率、条件概率、全概率公式全概率公式与贝叶斯公式与贝叶斯公式 A发生的概率发生的概率. 在概率论中，有时不仅要研究事件在概率论中，有时不仅要研究事件A发生的概发生的概率率P(A)，还要考察另一个事件，还要考察另一个事件B发生条件下事件发生条件下事件为了定义条件概率，首先研究下列例题：为了定义条件概率，首先研究下列例题： 1 1引例引例：：抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数A={A={出现的点数是奇数出现的点数是奇数} }＝｛１，３，５｝＝｛１，３，５｝B={B={出现的点数不超过出现的点数不超过3}3}＝｛１，２，３｝＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过3 3，求出现的点数是，求出现的点数是奇数的概率奇数的概率. . 即事件即事件 B B 已发生，求事件已发生，求事件 A A 的概率 Ｐ（Ａ｜Ｂ）的概率 Ｐ（Ａ｜Ｂ）, , A A,B ,B 都发生，但都发生，但样本空间样本空间缩小到只包含Ｂ的样本点缩小到只包含Ｂ的样本点. . 1. 定义定义 ABAB一、条件概率一、条件概率 2. 性质性质 注注1. 如果如果B＝＝ , 则条件概率即为前面所定义则条件概率即为前面所定义的概率的概率. 如果如果B≠ ,则条件概率相当于将样本则条件概率相当于将样本空间缩小为空间缩小为B.注注2. 事件事件 A 发生的条件下事件发生的条件下事件B 发生的条件概率发生的条件概率. 注注3：概率：概率 P(A|B)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系联系：事件联系：事件A A，，B B都发生了都发生了 区别：区别： （（1 1）在）在P(A|B)P(A|B)中，事件中，事件A A，，B B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，B B先先A A后；在后；在P P（（ABAB）中，事件）中，事件A A，，B B同时发生。
同时发生2 2）样本空间不同，在）样本空间不同，在P(A|B)P(A|B)中，事件中，事件B B成为样本成为样本空间；在空间；在P P（（ABAB）中，样本空间仍为）中，样本空间仍为 因而有因而有 (2)在在“缩小的样本空间缩小的样本空间”上求上求(1)用定义求用定义求:注注4:4:条件概率的计算方法条件概率的计算方法例例1:1:设有设有N N件产品件产品, ,其中其中M M件次品件次品(M< N),(M< N),现从中无放回地现从中无放回地抽取两次抽取两次, ,每次取一件产品每次取一件产品, ,求求“第一次取得次品的条第一次取得次品的条件下件下, ,第二次取得正品第二次取得正品”的概率的概率. .解解:设设A=“第一次取得次品第一次取得次品”,B =“第二次取得正品第二次取得正品”方法方法1: 例例2:2:考虑有两个小孩的家庭考虑有两个小孩的家庭, ,问其中至少有一个女问其中至少有一个女孩的家庭中孩的家庭中, , 另一小孩也是女孩的概率有多大另一小孩也是女孩的概率有多大? ?( (假设生男假设生男, ,生女是等可能的生女是等可能的) )方法方法2:解：解：设设A =A =“至少有一个女孩家庭至少有一个女孩家庭”, B=, B=“另一个另一个小孩也是女孩小孩也是女孩”. . 于是所求概率为：于是所求概率为：AB=“至少有一个为女孩家庭中至少有一个为女孩家庭中,另一个小孩也是女孩另一个小孩也是女孩” ={(女女,女女)}A= =“至少有一个女孩家庭至少有一个女孩家庭” ={(={(男男, ,女女)()(女女, ,男男)()(女女, ,女女)})} 则则: :根据题意根据题意, ,可设样本空间为可设样本空间为: :Ω={(Ω={(男男, ,男男)()(男男, ,女女)()(女女, ,男男)()(女女, ,女女)})} 例例 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解解: 设设A={掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出第一颗掷出6点点}应用定义应用定义 3. 3. 乘法定理乘法定理 例例3 某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒10个，个，其中第一个盒子中其中第一个盒子中7个球标有字母个球标有字母A,3个标有字母个标有字母B;第二个盒子有红球和白球各第二个盒子有红球和白球各5个，第三个盒子中个，第三个盒子中8个红个红球，球， 2个白球。
试验按如下规则进行，先在第一盒子个白球试验按如下规则进行，先在第一盒子任取一球，若取得球标有字母任取一球，若取得球标有字母A，则在第二盒子任取，则在第二盒子任取一球；若取得球标有字母一球；若取得球标有字母B，则在第三个盒子任取，则在第三个盒子任取一球；若第二次取出的球标是红球，则称试验为成功，一球；若第二次取出的球标是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率求试验成功的概率解解 注：求较复杂事件的概率，往往先把它分解成几个互注：求较复杂事件的概率，往往先把它分解成几个互不相容的较简单事件之并不相容的较简单事件之并,并求得这些简单事件的概率，并求得这些简单事件的概率，再利用加法公式即可再利用加法公式即可也可通过分析直也可通过分析直接得到此式接得到此式 练习：练习： 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字, 三个阄内不写字三个阄内不写字 , 五人依次五人依次抓取抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是字阄的概率是否相同否相同?解解则有则有抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关? 依此类推依此类推故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关. 二、二、 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式全概率公式和和贝叶斯公式贝叶斯公式主要用于计主要用于计算比较复杂事件的概率算比较复杂事件的概率, , 它们实质上是它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。
加法公式和乘法公式的综合运用 综合运用综合运用加法公式加法公式P(A B)=P(A)+P(B)A、、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0 1. 样本空间的划分样本空间的划分 2. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式 图示图示证明证明化整为零化整为零各个击破各个击破 说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果. 例例1 1 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生已知其中由一厂生产的占产的占 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,解解 由全概率公式得由全概率公式得30%20%50%2%1%1% 称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料 证明证明[证毕证毕] 例例2 2 解解 (1) 由由全概率公式得全概率公式得(2) 由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得 而试验结果已出现（出现次品），条件概率而试验结果已出现（出现次品），条件概率 反映在试验以后，反映在试验以后， 叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率先验概率与后验概率先验概率与后验概率先验概率与后验概率先验概率与后验概率上题上题中中概率概率在试验之前就知道的概率在试验之前就知道的概率, 叫做叫做先验概率先验概率. 解解例例3 3条件概率或贝叶斯公式条件概率或贝叶斯公式 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为即即平均平均10000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有38人人患有癌症患有癌症. 1.条件概率条件概率全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式三、小结三、小结乘法定理乘法定理 1 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放回随机无放回随机地抽取两次地抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求在两次抽取中至多求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率抽到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取若无放回的抽取 3次次, 每次抽取一球每次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情况下第一次是白球的情况下, 第二次与第三次均是白球的概率第二次与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第一次与第二次均是白球的情况下第二次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概第三次是白球的概率率?课堂习题 解解则有则有也可省去这步 。