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1、第三章第三章 线性方程组习题课线性方程组习题课定定义义1.线性组合线性组合2.线性表出线性表出定定义义3.线性相关线性相关定义定义:如果向量组如果向量组 中有中有一向量一向量称为称为线性相关线性相关的的.可经其余向量线性表出，则向量组可经其余向量线性表出，则向量组定义定义：向量组向量组 称为线性相关称为线性相关如果存在如果存在 P 上上不全为零不全为零的数的数 使使4.线性无关线性无关定义定义：若向量组若向量组 不线性相关，则称不线性相关，则称若不存在若不存在 P 中不中不全为零的数全为零的数 ，使使向量组向量组 为为线性无关的线性无关的. 即即则称向量组则称向量组 为为线性无关的线性无关的.
2、必有必有等价的，对于一个向量组等价的，对于一个向量组 若由若由则称向量组则称向量组 为为线性无关的线性无关的.线性相关性的性质线性相关性的性质1）一向量组线性相关的）一向量组线性相关的充要条件充要条件是其中至少有一是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出个向量可由其余向量线性表出. 部分相关部分相关-整体相关整体相关（整体无关整体无关-部分无关部分无关）短向量线性无关，则加长向量线性无关；短向量线性无关，则加长向量线性无关；长向量线性相关，则缩短向量线性相关长向量线性相关，则缩短向量线性相关定理定理2 设设 与与 为两个为两个i) 向量组向量组 可经可经 线性表出线性表出；则向量组则向量组 必
3、线性相关必线性相关.ii)向量组，若向量组，若推论推论1 若向量组若向量组 可经向量组可经向量组 线性表出，且线性表出，且 线线线性无关线性无关，则则 推论推论2任意任意 n1 个个 n 维向量必线性相关维向量必线性相关. . 推论推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量定定义义5.向量组的秩向量组的秩等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等定定理理 矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向量量组组的的秩秩，也也等等于于它它的的行行向向量量组组的的秩秩定定理理设设向向量量组组B B能能由由向向量量组组A A线线性性表表示示，则则向向量量组组 B
4、 B 的的 秩秩 不不 大大 于于 向向 量量 组组A A 的的秩秩推推论论推论：推论：一个向量组的任意两个极大无关组都等价一个向量组的任意两个极大无关组都等价. . 命题命题2 2：一个向量组的任意两个极大无关组都含有：一个向量组的任意两个极大无关组都含有 相同个数的向量相同个数的向量. . 命题命题1： 向量组和它的任一极大无关组等价向量组和它的任一极大无关组等价. .极大无关组的性质极大无关组的性质1）一个向量组的极大无关组不是唯一的）一个向量组的极大无关组不是唯一的.2）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身. .注：注：向量组的秩向量组的秩
5、 的性质的性质一个向量组线性相关的充要条件是一个向量组线性相关的充要条件是它的秩它所含向量个数它的秩它所含向量个数.1）一个向量组线性无关的充要条件是）一个向量组线性无关的充要条件是 它的秩与它所含向量个数相同；它的秩与它所含向量个数相同；2）等价向量组必有相同的秩）等价向量组必有相同的秩. .反之，反之，有相同的秩的两个向量组不一定等价有相同的秩的两个向量组不一定等价. .3）若向量组）若向量组可经向量组可经向量组 线性表出，则秩线性表出，则秩 秩秩 6.6.矩阵的秩矩阵的秩矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩矩阵的秩，定义定义 1. 1.设，则设，则定理定理5
6、设设 ， 则则推论推论1齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解 系数矩阵系数矩阵 的行列式的行列式 =0只有零解只有零解个个 级子式级子式不等于不等于0，且所有，且所有 级子式等于级子式等于0定理定理6 矩阵矩阵 的秩为的秩为 的充要条件是中有一的充要条件是中有一7线性方程组线性方程组定理定理7 7 线性方程组有解的充分必要条件是线性方程组有解的充分必要条件是的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即7.1齐次线性方程组齐次线性方程组解的性质；基础解系解的性质；基础解系1.基础解系的条件基础解系的条件2.基础解系的性质：与基础解系等价的线性无关组基础解系的性质：与基
7、础解系等价的线性无关组任意任意n-r个线性无关的解向量个线性无关的解向量3.基础解系的求法基础解系的求法7.27.2非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组解的性质解的性质解的结构解的结构推论推论 非齐次线性方程组（非齐次线性方程组（3）在有解的条件下，）在有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出（解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解）只有零解. .一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、基础解系的证法三、基础解系的证法四、解向量的证法四、解向量的证法典型例题典型例题一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定研研
8、究究这这类类问问题题一一般般有有两两个个方方法法方方法法1 1从从定定义义出出发发整整理理得得线线性性方方程程组组方方法法利利用用矩矩阵阵的的秩秩与与向向量量组组的的秩秩之之间间关关系系判判定定例例研研究究下下列列向向量量组组的的线线性性相相关关性性解解一一整整理理得得到到解解二二分分析析证证明明证证明明向向量量组组的的一一个个部部分分组组构构成成极极大大线线性性无无关关组组的的基基本本方方法法就就是是：分析分析根据极大线性无关组的定义来证，（本身线性无根据极大线性无关组的定义来证，（本身线性无关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量组的秩相联系组的
9、秩相联系证证明明证明：只需证明向量部分组线性无关即可，证明：只需证明向量部分组线性无关即可，两向量组等价，具有相同的秩两向量组等价，具有相同的秩因为向量组个数因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关秩，则该向量组线性无关即证即证证明：向量组证明：向量组(I)的极大无关组可由向量组的极大无关组可由向量组(II)线性表出，而且线性表出，而且(II)的极大无关组与的极大无关组与(II)等价，即，向量组等价，即，向量组(I)的极大无关组可由的极大无关组可由(II)的极大无关组线性表出，的极大无关组线性表出，(I)的极大无关组线性无关，由的极大无关组线性无关，由定理定理2的推论的推论1，知，知，R(I)=
10、R(II)证明：证明：两向量组等价，具有相同的秩两向量组等价，具有相同的秩n因为向量组个数因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关秩，则该向量组线性无关即证即证证明证明2：R(a1,a2,an)=r=n，R(II)=n,向量组向量组II,可由向量组可由向量组(I)线性表出，线性表出，所以所以R(II)=n=R(I)=r所以所以r=n因此因此(I)线性无关线性无关即证即证证明：必要性：已知：向量组证明：必要性：已知：向量组I线性无关，结论线性无关，结论:任一任一n维向量可维向量可被向量组被向量组(I)线性表出。线性表出。向向量组向向量组I中任意添加一向量，构成的新向量组共有中任意添加一向量，构成的
11、新向量组共有n+1个个n维维向量构成，线性相关（定理向量构成，线性相关（定理2推论推论2）证明：充分性：已知：任一证明：充分性：已知：任一n维向量可被向量组维向量可被向量组(I)线性表，线性表，结论结论:出向量组出向量组I线性无关。线性无关。任一任一n维向量可被向量组维向量可被向量组I线性表出，则线性表出，则n维单位向量也可被维单位向量也可被其线性表出，由其线性表出，由(t13)可知，向量组可知，向量组I线性无关线性无关求求一一个个向向量量组组的的秩秩，可可以以把把它它转转化化为为矩矩阵阵的的秩秩来来求求，这这个个矩矩阵阵是是由由这这组组向向量量为为行行（列列）向向量量所所排排成成的的如如果果
12、向向量量组组的的向向量量以以列列向向量量的的形形式式给给出出，把把向向量量作作为为矩矩阵阵的的列列，对对矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换，这这样样，不不仅仅可可以以求求出出向向量量组组的的秩秩，而而且且可可以以求求出出极极大大线线性性无无关关组组二、求向量组的秩二、求向量组的秩若若矩矩阵阵 A 经经过过初初等等行行变变换换化化为为矩矩阵阵 B，则则A和和B中中任任何何对对应应的的列列向向量量组组都都有有相相同同的的线线性性相相关关性性解解例例5证证明明与与基基础础解解系系等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组也也是是基基础础解解系系三、基础解系的证法三、基础解系的证法分析分析(3)方程组
13、的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性无关；要要证证明明某某一一向向量量组组是是方方程程组组的的基基础础解解系系，需需要要证证明明三三个个结结论论:证证明明注注 当当线线性性方方程程组组有有非非零零解解时时，基基础础解解系系的的取取法法不不唯唯一一，且且不不同同的的基基础础解解系系之之间间是是等等价价的的四、解向量的证法四、解向量的证法证证明明注注意意(1)本本例例是是对对非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解的的结结构构作作进进一一步步的的分分析析和和讨讨论论，即即非非齐齐
14、次次线线性性方方程程组组一一定定存存在在着着个个线线性性无无关关的的解解，题题中中( 2 )的的 证证 明明 表表 明明 了了 它它 的的 存存 在在 性性 (3)对对非非齐齐次次线线性性方方程程组组，有有时时也也把把如如题题中中所所给给的的个个解解称称为为的的基基础础解解系系，所所不不同同的的是是它它的的线线性性组组合合只只有有当当线线性性组组合合系系 数数 之之 和和 为为1时时 ， 才才 是是 方方 程程 组组 的的 解解 (2)对对齐齐次次线线性性方方程程组组，当当时时，有有无无穷穷多多组组解解，其其中中任任一一解解可可由由其其基基础础解解系系线线性性表表示示第四章测试题第四章测试题一、填空题一、填空题二、计算题二、计算题三、证明题三、证明题四、向量组四、向量组 线性无关线性无关, ,问常数问常数 满足满足什么条件时什么条件时, ,向量组向量组线性无关线性无关测试题答案测试题答案
