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1、Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 200910.1相关性与相关性与 Copula 函数函数第 11 章10.2Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009相关系数相关系数l变量V1 和 V2 的相关系数被定义为l变量V1 和 V2 的协方差被定义为 因此相关系数又可以写为: 10.3Risk Management e Istituzioni Finan
2、ziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009独立性独立性l如果两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立。 l精确地讲，如果对于所有的x等式成立, 其中f () 是概率密度函数，则V1 和 V2相互独立。10.4Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009零相关零相关l如果两个变量的相关系数为0，就意味着变量毫无关联吗？l答案是否定的！l例如, 有lV1 = 1;
3、 0; +1有均等的可能;l若 V1 = 1 或 V1 = +1 则 V2 = +1;l若 V1 = 0 则V2 = 0;l在这里我们可以清楚地看到V2和V1有某种关联性，但相关系数为零.10.5Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009几种关几种关联形式形式E(V2)V1(a)E(V2)V1(b)E(V2)V1(c)10.6Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C.
4、Hull 2009监测相关系数相关系数l假定变量X 和 Y 在第i天结束时的价值为Xi 和 Yi ，变量X 和 Y 在第i天的收益率为l我们得出变量X 和 Y在第i 天的相关系数为 其中varx,n 和 vary,n 是变量X 和 Y的每天变化的方差， 以及 covn 是协方差.10.7Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009检测相关系数相关系数(续)l第n天的协方差 covn = E(xn yn) E(xn) E(yn) 常常假定变量每天的预期收益为0，因此这意味着变
5、量X及Y在第n天的协方差可以被简化为 E(xn yn).10.8Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009监测相关系数相关系数(续)l在 EWMA 中，同样可以采用与更新方差类似的方式更新协方差:l在 GARCH(1,1) 中, X 和 Y 协方差的更新由下式给出:10.9Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009半正定矩半正定矩阵l方差协方差矩阵
6、满足内部一致性条件，如果此矩阵为半正定矩阵，也就是对于任意向量w, 以下不等式成立10.10Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例l考虑一下矩阵:l可以这么这个矩阵不满足内部一致性:第1个变量和第2个变量均同第3个变量高度相关，但是第1、2个变量之间无关，.l如果令 w = (1, 1, 1), 可以验证此矩阵不满足半正定条件.10.11Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyrigh
7、t John C. Hull 2009二元正二元正态分布分布l我们假定两个变量 V1 和 V2 服从二元正态分布.l变量 V1 和 V2 的无条件期望值和标准差分别为 1, 2 e 1, 2,相关系数为 . l假设已知 V1 有一个观测值 v1.l根据以上信息, 变量 V2 也服从正态分布，其均值为 标准差为10.12Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009多元正多元正态分布分布l多元正态分布很容易被理解及应用。因此我们可以将多元正态分布用于描述变量之间的相关结构，这甚
8、至在每一个单一变量不服从正态分布时也可以做到。10.13Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009因子模型因子模型l假设N 个变量, Vi (i =1 , 2, ., N),均服从一个多元正态分布, 则需要顾及 N (N 1)/2= (N N N)/2 个相关系数.l如果满足这些变量满足因子模型的假设，则待估计参数的个数减至N 个.10.14Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright
9、John C. Hull 2009l假设变量U1, U2, ., UN 均服从标准正态分布.l在单因子模型中，每个 Ui (i = 1, 2, ., N)均同一个共同的因子 F 及另外一个相互独立的因子有关，准确地讲: l在单因子模型中，这个表达式变为:因子模型因子模型 (续) 10.15Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009高斯高斯 Copula 模型模型l假定我们想定义两个不服从多元正态分布的变量，V1 和 V2，之间的相关关系. l把变量 V1 转化为一个服从正
10、态分布的变量, U1,分位数与分位数之间的一一映射.l把变量 V2 转化为一个服从正态分布的变量, U2,分位数与分位数之间的一一映射.l假设变量U1 和 U2 服从正态分布，相关系数为 .10.16Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009通通过Copula函数定函数定义V1 和和 V2 的的联合分布合分布Correlation AssumptionV1V2U1MappingU2Mapping10.17Risk Management e Istituzioni Fina
11、nziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例l假定V1 和 V2的边际分布上图所示的为三角分布.l两个变量均介于01.lV1 及 V2 和 U1 及 U2 之间的映射为分位数与分位数 之间的一一映射. V1V210.18Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例l当V1 0.1时， 对应于累积概率为底为0.1高为1的三边形面积.l因此等于0.05 (= 0,1 1), 也就是 5%.lV1=0.1的值被映射到标
12、准正态分布5%的分位数，其值为1,64. l以此类推.V1Percentile U10,15,00-1,640,220,00-0,840,338,75-0,29.10.19Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例l当V2 0.1时， 对应于累积概率为底为0.1高为0.2的三边形面积.l因此等于0.02 (= 0.1 0.2), 也就是 2%.lV2=0.1的值被映射到标准正态分布2%的分位数，其值为2.05. l以此类推.V2Percentile U20,12,00
13、-2,050,28,00-1,410,318,00-0,92.10.20Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例l假设U1 和 U2 之间的相关系数为 0.5. l上表显示出V1 和 V2之间的联合分布. lV1 0,1及V2 0,1的概率同 U1 1,64 及 U2 2,05. 的概率相同.l如果 = 0,5 在二元正态的情形 下，这一概率仅仅为 0,006.V1V20,10,20,30,40,50,60,70,80,90,10,0060,0170,0280,03
14、70,0440,0480,0490,0500,0500,20,0130,0430,0810,1200,1570,1810,1930,1980,2000,30,0170,0610,1240,1970,2740,3310,3640,3810,387.10.21Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009其他其他Copula函数函数l高斯Copula函数只是定义了V1及V2 相关结构的某一种形式，还有许多其他Copula函数可以 用于描述相关结构. l其中一种Copula函数被称
15、为Student t-copula 函数. l这种Student t-copula函数同髙斯Copula函数类似，其不同之处只是U1 和 U2被假定为服从二元学生 t分布. 10.22Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009二元正二元正态分布的分布的5,000个抽个抽样-2-1012-2-1012-5-4-3345-5-4-3345N 1(0,99)=2,3310.23Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizi
16、one, Copyright John C. Hull 2009二二元学生元学生t-分布分布的的5,000个个抽抽样00-10-5510-10-5510t 1 (0,99) = 3,7510.24Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009因子因子Copula模型模型l在多元Copula模型中，市场分析员常常假定变量Ui 之间的相关性由某种因子来决定。.l当只有一个因子时， Ui被定义为 其中，因子 F 和 Zi分别服从标准正态分布.lZi之间相互独立，F与Zi之间也相互独
17、立. 10.25Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009违约相关性相关性(Default Correlation)l两家公司之间的违约相关性 (default correlation) 以一个衡量他们差不多同时违约的测度.lLa default correlation importante ai fini del risk management quando si analizzano i benefici della diversificazione.l anche
18、importante ai fini della valutazione di alcuni derivati creditizi.10.26Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009高斯高斯Copula函数的函数的单因子模型因子模型l定义 Ti为公司i的违约时间.lQi = Prob(Ti T)为Ti的累积概率分布.lTi 与 Ui (标准正态分布)分 位数之间进行一一对应的映射.l当U = N 1Qi (T)时，Prob(Ti T) = Prob(Ui U).l假定
19、Ui 之间的相关结构由因子模型定义l则在给定 F 的条件下, Ui U的概率为,10.27Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009高斯高斯Copula函数的函数的单因子模型因子模型(续)l已知Prob(Ui U | F) = Prob(Ti T | F), 我们有l假设每对贷款i 和 j之间的Copula相关性是相等的,均为 .l并且所有的ai 都相等，记为l所以, 10.28Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009高斯高斯Copula函数的函数的单因子模型因子模型(续)l最坏的违约概率WCDR(T, X) (worst case default rate), 在展望期T的情况下，置信度为X%违约概率不会超过的概率.l最坏的违约概率l则展望期T的情况下，置信度为X% 的风险价值度VaR 其中L 是投资组合的名义价值，R 是回收率 (recovery rate).
