《高等数学曲线面积及格林公式习题优秀课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学曲线面积及格林公式习题优秀课件（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第十章 1一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终练习题: P184 题 3 (1), (3), (6)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2解答提示解答提示: 计算其中L为圆周提示提示: 利用极坐标 ,原式 =说明说明: 若用参数方程计算, 则机动 目录 上页 下页
2、返回 结束 P184 3 (1)3P184 3(3). 计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4P184 3(6). 计算其中由平面 y = z 截球面提示提示: 因在 上有故原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧机动 目录 上页 下页 返回 结束 6例例1. 计算其
3、中 为曲线解解: 利用轮换对称性 , 有利用重心公式知(的重心在原点)机动 目录 上页 下页 返回 结束 7例例2. 计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关, 故a 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 8解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 9思考题解答思考题解答:(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 10计算其中L为上半圆周提示提示: :沿逆时针方向.练习题练习题:
4、 P184 题 3(5) ; P185 题6; 103(5).机动 目录 上页 下页 返回 结束 11P185 6 . 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 12P185 10. 求力沿有向闭曲线 所作的功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: 方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,机动 目录 上页 下页 返回 结束 13设三角形区域为 , 方向向上, 则方法方法2 利
5、用斯托克斯公式利用斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 14二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 15思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面问下列等式是否成立? 不对不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 162. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重
6、心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 17练习练习:P185 题题4(3) 其中 为半球面的上侧.且取下侧 , 提示提示: 以半球底面原式 =P185 题题4(2) , P185 题题 9 同样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面, 利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 18例例3.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 19例例4. 计算曲面积分其中,解解
7、:思考思考: 本题 改为椭球面时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面内侧, 然后用高斯公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 20例例6. 计算曲面积分中 是球面解解: 利用对称性用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 23例例7. 设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记 为平面上 L 所围部分的上侧, D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式公式 目录 上页 下页 返回 结束 24D 的形心机动 目录 上页 下页 返回 结束 25作业作业P184 3 (2) , (4) ; 3 (2) 5 ; 8机动 目录 上页 下页 返回 结束 26斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 30
