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1、第二章第二章 平面力系的简化和平衡平面力系的简化和平衡2.1力的合成与分解力的合成与分解：1.1.平行四边形法则平行四边形法则： 作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。反之，一个力也可以分解为作用点相同的两个力F1 和F2 ，或F3和F4 不过后一个分解的结果不是唯一而是无穷多 2.力在平面坐标轴上的投影力在平面坐标轴上的投影 X=Fx=Fcosa ： Y=Fy=Fsina=F cosb注意：力的投影即各分力是代数量将力系中诸力矢首尾相接，得到一个几何图形，称为该力系 的力多边形力多边形。这是一个有缺口
2、的，不闭合的多边形。由第一力矢的起点到最后一力矢的终点所作的力矢，即为该力系的合力。 2.2 平面汇交力系平面汇交力系1.1.力系的简化和平衡力系的简化和平衡： 结论：结论：即： 即：汇交力系的合力等于力系中各分力的矢量和，合力的作即：汇交力系的合力等于力系中各分力的矢量和，合力的作 用线通过力系的汇交点。用线通过力系的汇交点。汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的充要条件是：在几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零力系的合力等于零力系
3、的合力等于零 由几何法知合力等于各分力的矢量和，即合力等于各分力的矢量和，即 又 由于 代入上式得 根据合矢量投影定理得合力在坐标轴的投影 二、汇交力系的合成二、汇交力系的合成 此即 合力投影定理合力投影定理 力系的合力在任一轴上的投影，等于各力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。分力在同一轴上投影的代数和。合力的大小和方向余弦分别为 称为平衡方程称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程平衡充要条件为：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零别等于零三、汇交力系的平衡条件和平衡方程三、汇交力系的平衡条件和平衡方
4、程 汇交力系平衡的充要条件是汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，力系的合力为零，即：即：对于平面汇交力系对于平面汇交力系合力的大小：合力的大小： 方向：方向： 作用点：作用点：为为该力系的汇交点该力系的汇交点平衡方程为平衡方程为合力矩定理：合力矩定理：合力对任意点之矩，等于其各个分力对同一点之矩的代数和即证：各力矩求和即与前式比较，：对汇交点为A的汇交力系的任一力Fi，将其沿力线滑移到A点，则Fi对O点之矩为：合力对任意点之矩，等于其各个分力对同一点之矩的代数和合力对任意点之矩，等于其各个分力对同一点之矩的代数和合力作用线方程合力作用线方程对合力应用合力矩定理：合力对任意点之矩，等于其各
5、个分力对同一点之矩的代数和注意该式对作用线上任意点的x和y都成立。即它就是作用线方程例题例题 2.12.12.3 2.3 平面力偶系平面力偶系作用在同一平面的多个力偶构成平面力偶系以其中任一力偶为基准，通过移转、改变力偶臂长度，将其他力偶与该基准力偶叠合，得到两个汇交力系，再分别合成可以得到一个新力偶-原力偶系的合力偶原力偶系的合力偶矩只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为： 例例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解解: 各力偶的合力偶矩为根据平面力偶系平衡方程有:由
6、力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。2.4 平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫。例例1.力的平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力 平行移到任一平行移到任一 点点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力的矩等于原来的力 对新作用点对新作用点B的矩。的矩。证证 力力 力系力系力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 （例断丝锥）（例断丝锥）力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶m， 且且
7、m与与d有关，有关，m=Fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。说明说明：2 2 平面力系向指定点的简化平面力系向指定点的简化 一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）向一点简化向一点简化汇交力系汇交力系+力偶系力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R(主矢主矢) ， (作用在简化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO (主矩主矩) ， (作用在该平面上) 大小大小： 主矢主矢 方向方向： 简化中心简化中心 (与简化中心位置无关) 因主矢等于各力的矢量和（移动效应移动效应） 大小大小： 主矩主矩MO 方向方向： 方向规定 + 简化中心简化中心： (与
8、简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）（转动效应转动效应）固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束在工程中常见的雨 搭车 刀固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束说明说明 认为认为Fi这群力在同一这群力在同一 平面内平面内; 将将Fi向向A点简化得一点简化得一 力和一力偶力和一力偶; RA方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力YA, XA表示表示; YA, XA, MA为固定端为固定端 约束反力约束反力; YA, XA限制物体平动限制物体平动, MA为限制转动。为限制转动。简化模型简化模型=3 3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程 由于
9、=0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡所以平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零，即： 二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不 AB 连线连线三矩式三矩式条件：条件：A,B,C不在不在 同一直线上同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。一矩式一矩式两轴不平行即两轴不平行即可，矩心任意可，矩心任意4. 4. 平面一般力系的简化结果平面一般力系的简化结果分析分析简化结果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。 =0,MO0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效
10、于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。 =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, 。（此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） 0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简可以继续简 化为一个合力化为一个合力 。合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力 的作用线到简化中心的距离的作用线到简化中心的距离结论结论： 平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 ：合力偶合力偶MO ； 合力合力 合力矩定理合力矩定
11、理：由于主矩 而合力对O点的矩 合力矩定理 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。中各力对于同一点之矩的代数和。用来计算合力矩2.2.2.2.选讲 例例 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？解：选AB梁研究 画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）解除约束例例 1、物体系统的平衡问题、物体系统的平衡问题外力外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统（物系物系）：由若干个
12、物体通过约束所组成的系统叫。2.52.5物体系统的平衡、静定与超静定问题物体系统的平衡、静定与超静定问题物系平衡的特点：物系平衡的特点： 物系静止物系静止 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3 3个个 平衡方程，整个系统可列平衡方程，整个系统可列3 3n个方程（设物系中个方程（设物系中 有有n个物体）个物体）解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法： 由整体由整体 局部局部（常用），由局部由局部 整体整体（用较少）2 2、静定与超静定、静定与超静定 ( (建立概念即可）建立概念即可）我们学过：平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个
13、独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程，只能求三个独立未知数。力偶系平面任意力系当：独立方程数目独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目独立方程数目 未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）设由设由n n个物体组成个物体组成N1个二力杆（或力偶系）n1个独立平衡方程N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）2*n2个独立平衡方程 3n3三个独立方程， 平衡方程总数：mn12n23n3N3个物体受平面任意力系当：独立方程总数目独立方程总数目未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问
14、题（可求解） 独立方程总数目独立方程总数目 未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题） 例例 静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）判断有无多余约束即可2.2.2.2.力影2.2.力影注三个力，一个未知三个力，一个未知两个力，一个未知两个力，一个未知例例 已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：注由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统桁架桁架 2.6 2.6 平面静定桁架平面静定桁架由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统
15、。可以是铆接、焊接、螺栓连接等。节点节点节点节点节点节点杆件杆件杆件杆件杆件杆件2.6.1桁架的定义、特点桁架的定义、特点：(a)桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的特点：直杆，不计自重，均为二力杆；杆端铰接； 外力作用在节点上。 力学中的桁架模型力学中的桁架模型( 基本三角形基本三角形) ) 三角形有稳定性三角形有稳定性(b)(c)工程力学中常见的桁架简化计算模型工程力学中常见的桁架简化计算模型工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构2.6.2 2.6.2 桁架的计算假定和分析桁架的计算假定和分析力影
16、注1.平面静定桁架的构造： 构件、受力均在同一平面 杆件数 ng 和节点数 nd 之间满足关系2、内力计算方法： 节点法和截面法2.6.3 2.6.3 平面静定桁架及其计算平面静定桁架及其计算解解：研究整体，求支座反力一、节点法一、节点法已知：如图 P=10kN，求各杆内力？例例依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。节点节点D的另一个方程可用来校核计算结果的另一个方程可用来校核计算结果恰与 相等,计算准确无误。 解解： 研究整体求支反力 二、截面法二、截面法例例 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。选截面 I-I ，取左半部研究IIA说明说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力
17、节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力先把杆都设为拉力,计算结果为负时计算结果为负时,说明是压力说明是压力,与所设方向相反。与所设方向相反。 三杆节点无载荷、其中两杆在三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆一条直线上，另一杆必为零杆四杆节点无载荷、其中两两在四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。内力等值、同性。两杆节点无载荷、且两杆不在两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零杆。一条直线上时，该两杆是零杆。三、特殊杆件的内力判断三、特殊杆
18、件的内力判断何锃 第二章 平面力系的简化和平衡 P392.2.4练习平面力偶平衡、二力杆） 2.5（练习汇交力系）；2.9 （练习0力杆）；2.10 （合力作用线）；2.12，2.14，2.15，2.16，2.21，2.22，2.17（b）,2.18（练习静力学解题方法） 2.2.力影注设有F1, F2 Fn 各平行力系， 向O点简化得： 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫。合力作用线的位置为：平衡的充要条件为 主矢 主矩所以 平面平行力系的平衡方程为： 二矩式二矩式条件：条件：AB连线不能平行连线不能平行 于力的作
19、用线于力的作用线 一矩式一矩式实质上是各力在x 轴上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。平面一般力系习题课平面一般力系习题课一、力线平移定理是力系简化的理论基础一、力线平移定理是力系简化的理论基础 力 力+力偶 平衡合力矩定理合力矩定理合力（主矢）合力偶（主矩） 二、平面一般力系的合成结果二、平面一般力系的合成结果本章小结：本章小结：一矩式一矩式 二矩式二矩式 三矩式三矩式三、三、A,B连线不连线不 x轴轴A,B,C不共线不共线平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 成为恒等式 一矩式 二矩式连线不平行
20、于力线平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程 成为恒等式 平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程四、静定与静不定四、静定与静不定 独立方程数 未知力数目为静定 独立方程数 未知力数目为静不定五、物系平衡五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体由整体 局部局部 单体单体六、解题步骤与技巧六、解题步骤与技巧 解题步骤解题步骤 解题技巧解题技巧 选研究对象选研究对象 选坐标轴最好是未知力选坐标轴最好是未知力 投影轴；投影轴； 画受力图（受力分析）画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；取矩点最好选在未知力的交叉点上； 选坐标、取矩点、列选坐
21、标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。平衡方程。 解方程求出未知数解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。灵活使用合力矩定理。七、注意问题七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在；力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。解解： 选整体研究 受力如图 选坐标、取矩点、Bxy,B点 列方程为: 解方程得 例例1 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？八、例题分析八、例题分析 受力如图 取E为矩心，列方程 解方程求未知数再研究CD杆例例2 已知已知:P=100N. AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平, ED铅垂,BD垂直于 斜面； 求求 ?和支座反力？解解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程 再研究AB杆，受力如图例例3 已知 P d,求：a.b.c.d四杆的内力？ 解解：由零杆判式研究A点：例例4 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开） 解解：研究起重机 再研究整体 再研究梁CD
