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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节第二节 求导的基本法则求导的基本法则给定一个函数,如何求导?当函数比较复杂时,用定义计算导数就相当困难.本节给出一些基本的求导法则:有理运算法则,复合函数和反函数求导法则,并在此基础上,给出隐函数和参数方程求导法则,从而使导数的计算系统化、简单化第二节函数的求导法则 目录 上页 下页 返回 结束 二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则 三、反函数求导法则三、反函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、函数和、差、积、商的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则 五、高阶导数五、高阶导数 六、隐函数的求导法则六、隐函数的求导法则 七
2、、参数方程函数的求导法则七、参数方程函数的求导法则 八、相关变化率八、相关变化率 目录 上页 下页 返回 结束 解决求导问题的思路解决求导问题的思路:( 构造性定义 )求导法则求导法则其他基本初等其他基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论。目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设 则故结论成立.例如：目录 上页
3、下页 返回 结束 (2)证证: 设则有故结论成立.推论推论:( C为常数 )目录 上页 下页 返回 结束 (3)证证: 设则有故结论成立.推论推论:( C为常数 )目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.解：解：目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求证证证: 类似可证:目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导,二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则定理定理2.在点可导复合函数且在点 x 可导,证证:在点 u 可导, 故（当 时 )故有或或目录 上页 下页 返回 结束 例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.目录 上页 下页 返
4、回 结束 ，求解：解：例例4.4.，求解：解：例例3.3.或或目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 解解: : 根据链式法则根据链式法则例例6.6.，求解解:例例5.5.目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设求解解:思考思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同目录 上页 下页 返回 结束 ，求例例9 9.解：解：为任意实数，例例8.8.解解: :目录 上页 下页 返回 结束 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某区间I内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此目录 上页 下页 返回 结束 例
5、例10. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: (1) 设则类似可求得利用, 则目录 上页 下页 返回 结束 （2 2）解：解：解：解：目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.11. 反双曲函数的导数.自己推导自己推导.对数函数的导数.目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 设解解:记则(反双曲正弦)的反函数双曲正弦目录 上页 下页 返回 结束 2.4 初等函数的求导问题初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P102)目录 上页 下页 返回 结束 例例13. . 证明证明例例14. 求解解:先化简后求导 证证: :目录 上页 下页 返回 结束 例
6、例15. . 幂指函数的导数幂指函数的导数目录 上页 下页 返回 结束 1) 对对幂指函数幂指函数可用对数可用对数说明说明: :按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:求导法求导求导法求导 :目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 求求的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式两边对两边对 x 求导求导目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, 对对 x 求导求导两边取对数两边取对数目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些函数用对数求导法求导很方便有些函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导
7、求导目录 上页 下页 返回 结束 2.5 高阶导数高阶导数定义定义.若函数的导数可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导数二阶导数 , 记作的导数为依次类推 ,分别记作则称目录 上页 下页 返回 结束 记作记作 f C(I). 二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数，二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数，若若 f (n)(x) 在在 I 连续连续, ,则称则称 f 在在 I 上上 n 阶连续可导阶连续可导,或称或称 f 为为I 上的上的 C(n)类函数类函数. 记作记作 f C(n)(I). 若对任意正整数若对任意正整数 n, f 在在 I 上
8、上都是都是C(n) 类的类的, ,则称则称 f 在在 I 上上无限阶可导无限阶可导, 或或 f 为为 I I 上的上的C类函数类函数而而 f(x)称为称为 f 的的一一阶导数阶导数, f 本身称为本身称为 f 的的 0 阶导数阶导数.目录 上页 下页 返回 结束 设求解解:依次类推 ,例例16. .思考思考: 设问可得目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 设求解解:特别有:解解:规定 0 ! = 1思考思考:例例18. 设求目录 上页 下页 返回 结束 例例19. 设求解解: 一般地 ,类似可证:目录 上页 下页 返回 结束 规律 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导
9、数 , 则(C为常数)莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz) 公式公式及设函数规律规律目录 上页 下页 返回 结束 例例20. 求解解: 设则代入莱布尼茨公式 , 得目录 上页 下页 返回 结束 2.6 隐函数的导数隐函数的导数若由方程若由方程可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定显函数可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化 .函数为函数为隐函数隐函数 .则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法: 利用链式法则利用链式法则, 两边对两边对 x 求导求导( 注意注意 y
10、= y(x) )(含导数含导数 的方程的方程)目录 上页 下页 返回 结束 例例21. 求由方程求由方程在在 x = 0 处的导数处的导数解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导得得因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故确定的隐函数确定的隐函数目录 上页 下页 返回 结束 解解: y 是是 x 的函数的函数, 方程两边对方程两边对 x 求导得求导得解得解得例例22.求由方程求由方程 确定的隐函数确定的隐函数在在处的二阶导数。处的二阶导数。将将 x=0 代入所给方程可得代入所给方程可得 y=1, 所以所以(*)目录 上页 下页 返回 结束 可得可得为求二阶导数为求二阶导数, 将将 (*)
11、式两端再对式两端再对 x 求导求导(x 的函数的函数)从而从而仍是仍是上式中再代入上式中再代入 解得解得将将(*)式代入上式可得式代入上式可得目录 上页 下页 返回 结束 例例23. 求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即目录 上页 下页 返回 结束 2.7、由参数方程确定的函数的求导法则、由参数方程确定的函数的求导法则若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数可导可导, 且且则则时时, 有有时时, 有有(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )关系关系,目录 上页
12、下页 返回 结束 若上述参数方程中若上述参数方程中二阶可导二阶可导,且且则由则由它确定的函数它确定的函数可求可求二阶导数二阶导数 .利用新的参数方程利用新的参数方程,可得可得记记目录 上页 下页 返回 结束 ?例例24. 设设, 且且求求已知已知解解:注意注意 :对谁对谁求导求导? 目录 上页 下页 返回 结束 例例25. 已知已知摆线摆线(如右图如右图,又称又称旋轮线旋轮线)的的Oyx2 a解解 (1) 摆线在点摆线在点P处的切线和法线斜率分别为处的切线和法线斜率分别为(1).求摆线上任一点求摆线上任一点P处的切线和法线的斜率处的切线和法线的斜率.(2).求由该参数方程所确定的函数的二阶导数
13、求由该参数方程所确定的函数的二阶导数.(2)参数方程为参数方程为目录 上页 下页 返回 结束 若曲线若曲线上每一点都有切线上每一点都有切线, 并且各点切线是连续并且各点切线是连续转动的转动的,则称则称是一条是一条光滑曲线光滑曲线. 因此因此,若若 f 是是C(1)类函数类函数,根据导数的根据导数的几何意义几何意义, 则由方程则由方程y=f(x)表示的曲线表示的曲线是是光滑曲线光滑曲线. 设曲线设曲线的参数方程为的参数方程为,若若x(t)与与y(t)都有连续的导数都有连续的导数, 并且并且, 则则是是 t 的连续函数的连续函数, 因而因而是光滑曲线是光滑曲线.如圆和椭圆都是光滑曲线如圆和椭圆都是
14、光滑曲线. 若曲线若曲线 在整个区间在整个区间 上不是上不是光滑的光滑的, 但将但将 分为若干子区间分为若干子区间, 曲线在每个子区间上的部曲线在每个子区间上的部分分都是光滑的都是光滑的, , 则称这种曲线为则称这种曲线为分段分段( (逐段逐段) )光滑曲线光滑曲线. . 例例如如, ,摆线的摆线的每一拱都是光滑的每一拱都是光滑的, ,但摆线却是但摆线却是分段光滑分段光滑的的. .目录 上页 下页 返回 结束 2.8 相关变化率相关变化率为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系研究这两个变化率的关系的问题研究这两个变化率的关系的问题,称为称为相关变化率问相关变化率问
15、题题相关变化率问题相关变化率问题解法解法:(1) 找出找出 x, y 之间的关系式之间的关系式F(x,y)=0.(2) 利用求导的链式法则利用求导的链式法则, 将将F(x,y)=0两端对两端对 t 求导求导得到得到(3) 从中解出所要求的变化率从中解出所要求的变化率.之间的关系式之间的关系式.目录 上页 下页 返回 结束 例例26. 一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为当气球高度为当气球高度为 500 m 时时, 观察观察员员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少? 解解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为 ,则则两边对两边对 t 求导求导已知已知 h = 500m 时时,目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P111 1奇数题 ; 2 （1）（3）; 3（4） (12) ; 4 ; 6 （1）（3）; 7 ; 9(1) ,(3) ; 第五节
