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1、概率的加法公式概率的加法公式 1事件的包含事件的包含 假假设事件事件B发生生,那么事件那么事件A一定一定发生，生，那么称那么称事件事件A包含事件包含事件B。记作：作：A B。 小范小范围发生生, ,那么大范那么大范围必必发生。生。 一、一、 事件的关系及其运算事件的关系及其运算 2事件的和事件的和 “事件事件A与与B中至少有一个中至少有一个发生生这样的的事件叫做事件事件叫做事件A与事件与事件B的并或和。的并或和。记作：作：C=AB或或C=A+B 如如图中阴影部分所表示的就是中阴影部分所表示的就是AB.二、互斥事件、事件的并、对立事件二、互斥事件、事件的并、对立事件 1互斥事件：不能互斥事件：不
2、能够同同时发生的两个事生的两个事件叫做互斥事件互不相容事件件叫做互斥事件互不相容事件例：抛例：抛掷一一颗骰子，骰子，A为“出出现奇数点、奇数点、B为“出出现2点点显然然, A与与B不能不能够同同时发生生,即即: A与与B为互不相容事件互不相容事件. 假定事件假定事件A与与B互斥，那么互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)。 二、互斥事件的概率加法公式二、互斥事件的概率加法公式 证明：假定明：假定A、B为互斥事件，在互斥事件，在n次次实验中，事件中，事件A出出现的的频数数为n1，事件，事件B出出现的的频数数为n2，那么事件，那么事件AB出出现的的频数正好数正好是是n1+n2，所以事件，所以事件
3、AB的的频率率为 假假设用用n(A)表示在表示在n次次实验中事件中事件A出出现的的频率，那么有率，那么有n(AB)=n(A)+n(B). 由概率的由概率的统计定定义可知，可知，P(AB)=P(A)+P(B)。普通地，假普通地，假设事件事件A1，A2，An彼此彼此互斥，那么互斥，那么P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) +P(An)，即彼此互斥事件和的概率等，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和于概率的和. 假设A、B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)例例1中事件中事件C：“出出现奇数点或奇数点或2点的概点的概率是事件率是事件A：“出出现奇数点的概率与事奇数点的概率与事件件B：“出出现
4、2点的概率之和，即点的概率之和，即P(C)=P(A)+P(B)=例例4. 在数学考在数学考试中，小明的成果在中，小明的成果在90分以分以上的概率是上的概率是0.18，在，在8089分的概率是分的概率是0.51,在在7079分的概率是分的概率是0.15，在，在6069分的概分的概率是率是0.09，计算小明在数学考算小明在数学考试中中获得得80分以上成果的概率和小明考分以上成果的概率和小明考试及格的概率及格的概率.解：解： 分分别记小明的成果在小明的成果在90分以上，在分以上，在8089分，在分，在7079分，在分，在6069分分为事件事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的四个事件是彼此互斥的
5、. 根据概率的加法公式，小明的考根据概率的加法公式，小明的考试成成果在果在80分以上的概率是分以上的概率是P(BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考小明考试及格的概率及格的概率为 P(BCDE)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.在上面的例在上面的例题中，假中，假设令令A=“小明考小明考试及及格格,那么那么A=“小明考小明考试不及格不及格显然A与 是互斥事件，且A或 必有一个发生2对立事件：不能同立事件：不能同时发生且必有一个生且必有一个发生的两个事件叫做互生的两个事件叫做互为对立事件。立事件。事件事件A的
6、的对立事件立事件记作作.对立事件的概率对立事件的概率 假设事件假设事件A的对立事件为的对立事件为A，那么，那么P(A)=1P(A).证明：事件明：事件A与与A是互斥事件，所以是互斥事件，所以P(AA)=P(A)+P(A)，又，又AA=， 而由必然事件得到而由必然事件得到P()=1, 故故P(A)=1P(A).P(A)=1P(A)=10.93=0.07.即小明考即小明考试不及格的概率是不及格的概率是0.07.互斥事件互斥事件: :不同不同时发生的两个或多个事件生的两个或多个事件对立事件立事件: :必有一个必有一个发生的两个彼此互斥的生的两个彼此互斥的事件事件互斥事件互斥事件 P(A+B) = P
7、(A) + P(B)对立事件立事件P(A)=1互斥未必互斥未必对立立对立一定互斥立一定互斥小结小结例例1.判判别以下各以下各对事件能否是互斥事件，事件能否是互斥事件，并并阐明理由。明理由。 某小某小组有有3名男生和名男生和2名女生，从中任名女生，从中任选2名同窗去参与演名同窗去参与演讲竞赛，其中，其中1恰有恰有1名男生和恰有名男生和恰有2名男生；名男生；2至少有至少有1名男生和至少有名男生和至少有1名女生；名女生；3至少有至少有1名男生和全是男生；名男生和全是男生；4至少有至少有1名男生和全是女生。名男生和全是女生。例题选讲例题选讲例例2.判判别以下以下给出的每出的每对事件，事件，1能否能否为
8、互斥事件，互斥事件，2能否能否为对立事件，并立事件，并阐明理由。明理由。 从从40张扑克牌扑克牌红桃、黑桃、方桃、黑桃、方块、梅、梅花，点数从花，点数从110各各4张中，任取中，任取1张：1“抽出抽出红桃与桃与“抽出黑桃；抽出黑桃；2“抽出抽出红色牌与色牌与“抽出黑色牌；抽出黑色牌；3“抽出的牌点数抽出的牌点数为5的倍数与的倍数与“抽出抽出的牌点数大于的牌点数大于9。 在求某些在求某些较为复复杂事件的概率事件的概率时，先，先将它分解将它分解为一些一些较为简单的、并且概率的、并且概率知或知或较容易求出的彼此互斥的事件，容易求出的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率然后利用概率的加法公式
9、求出概率. 因此因此互斥事件的概率加法公式具有互斥事件的概率加法公式具有“化整化整为零、零、化化难为易的效果，但需求留意的是运易的效果，但需求留意的是运用用该公式公式时必需必需检验能否能否满足它的前提足它的前提条件条件“彼此互斥彼此互斥.例例3. 某某战士射士射击一次，一次，问：1假假设事件事件A=“中靶的概率中靶的概率为0.95，那么那么A的概率的概率为多少？多少？2假假设事件事件B=“中靶中靶环数大于数大于5的概的概率率为0.7 ，那么事件，那么事件C=“中靶中靶环数小于数小于6的概率的概率为多少？多少？3事件事件D=“中靶中靶环数大于数大于0且小于且小于6的的概率是多少？概率是多少？ 解
10、：由于解：由于A与与A互为对立事件，互为对立事件，1P(A)=1P(A)=0.05； 2事件事件B与事件与事件C也是互也是互为对立事件，立事件，所以所以P(C)=1P(B)=0.3；3事件事件D的概率的概率应等于中靶等于中靶环数小于数小于6的概率减去未中靶的概率，即的概率减去未中靶的概率，即P(D)=P(C)P(A)=0.30.05=0.25例例4.盒内装有各色球盒内装有各色球12只，其中只，其中5红、4黑、黑、2白、白、1绿，从中取，从中取1球，球，设事件事件A为“取出取出1只只红球，事件球，事件B为“取出取出1只黑球，事只黑球，事件件C为“取出取出1只白球，事件只白球，事件D为“取出取出1
11、只只绿球球.知知P(A)= ，P(B)= , P(C)= ，P(D)= ，求：求：1“取出取出1球球为红或黑的概率；或黑的概率；2“取出取出1球球为红或黑或白的概率或黑或白的概率.解：解：1“取出取出红球或黑球的概率球或黑球的概率为P(AB)=P(A)+P(B)= ；2“取出取出红或黑或白球的概率或黑或白球的概率为P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)= 。又又2ABC的的对立事件立事件为D，所以所以P(ABC)=1P(D)= 即即为所求所求.例例5. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0
12、.4，1求他乘火车或乘飞机去的概率；求他乘火车或乘飞机去的概率；2求他不乘轮船去的概率；求他不乘轮船去的概率；3假设他乘某种交通工具去开会的概假设他乘某种交通工具去开会的概率为率为0.5，请问他有能够是乘何种交通工具，请问他有能够是乘何种交通工具去的？去的？ 解：解：记“他乘火他乘火车去去为事件事件A，“他他乘乘轮船去船去为事件事件B，“他乘汽他乘汽车去去为事件事件C，“他乘他乘飞机去机去为事件事件D，这四四个事件不能个事件不能够同同时发生，故它生，故它们彼此互彼此互斥，斥， 1故故P(AC)=0.4； 2设他不乘他不乘轮船去的概率船去的概率为P，那么，那么P=1P(B)=0.8； 3由于由于
13、0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有，故他有能能够乘火乘火车或乘或乘轮船去，也有能船去，也有能够乘汽乘汽车或乘或乘飞机去。机去。1从从1，2，9中任取两数，其中：中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有至少有一个奇数和两个都是奇数；一个奇数和两个都是奇数；至少有一个至少有一个奇数和两个都是偶数；奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数至少有一个奇数和至少有一个偶数。在上述事件中，是和至少有一个偶数。在上述事件中，是对立事件的是立事件的是 A B C DC练习题：练习题：2.甲、乙甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是人下棋，下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率
14、是乙获胜的概率是 ，那么甲不胜的概，那么甲不胜的概率是率是 A. B. C. D. B3. 从装有两个从装有两个红球和两个黑球的口袋内任球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不取两个球，那么互斥而不对立的两个事件立的两个事件是是 A.“至少有一个黑球与至少有一个黑球与“都是黑球都是黑球B.“至少有一个黑球与至少有一个黑球与“至少有一个至少有一个红球球C.“恰有一个黑球与恰有一个黑球与“恰有两个黑球恰有两个黑球D.“至少有一个黑球与至少有一个黑球与“都是都是红球球 C4.抽查抽查10件产品，设事件件产品，设事件A：至少有两件：至少有两件次品，那么次品，那么A的对立事件为的对立事件为 A. 至
15、多两件次品至多两件次品 B. 至多一件次品至多一件次品 C. 至多两件正品至多两件正品 D. 至少两件正品至少两件正品B5. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于小于4.8 g的概率为的概率为0.3，质量小于，质量小于4.85 g的的概率为概率为0.32，那么质量在，那么质量在4.8，4.85) (g)范围内的概率是范围内的概率是 A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68C6.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，假设消费中出现乙级品的两级均属次品，假设消费中出现乙级品的概率为概率为0.03、丙级品的
16、概率为、丙级品的概率为0.01，那么，那么对废品抽查一件抽得正品的概率为对废品抽查一件抽得正品的概率为 A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96D7.某射手射击一次击中某射手射击一次击中10环、环、9环、环、8环的环的概率分别是概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一，那么他射击一次不够次不够8环的概率是环的概率是 。 0.28. 某人在打靶中，延某人在打靶中，延续射射击2次，事件次，事件“至至少有一次中靶的互斥事件是少有一次中靶的互斥事件是 .两次都不中靶两次都不中靶9. 我国西部一个地域的年降水量在以下区我国西部一个地域的年降水量在以下区间内的概率如下表所示：间内的概率
17、如下表所示：年降水量年降水量/mm100，150）150，200）200，250）250，300概率概率0.210.160.130.12那么年降水量在那么年降水量在200，300mm范围范围内的概率是内的概率是_.0.2510.某射手在一次射击中射中某射手在一次射击中射中10环、环、9环、环、8环、环、7环、环、7环以下的概率分别为环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一计算这个射手在一次射击中：次射击中：1射中射中10环或环或9环的概率，环的概率，2至少射中至少射中7环的概率；环的概率；3射中环数缺乏射中环数缺乏8环的概率环的概率. 0.520.870.29
