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1、测量误差及数据处理主讲人：项霞 四川大学水利水电学院 二零一一年八月 测量误差及数据处理第 七 讲本本 次次 授授 课课目的和要求目的和要求本次授课的重本次授课的重点与难点分析点与难点分析误差的定义及分类误差的定义及分类衡量观测值精度的指标（重点）衡量观测值精度的指标（重点） 误差传播定律（难点）误差传播定律（难点）平均值及其中误差平均值及其中误差 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标误差传播定律误差传播定律测量误差及数据处理一、一、 测量误差的定义及其来源测量误差的定义及其来源1 1、测量误差的定义、测量误差的定义 被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到被观测量客观上
2、存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差为真误差，即观测值。观测值与真值之差为真误差，即真误差真误差= =观测值观测值- -真值真值在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。在于前者是不可避免的，而
3、后者是有可能避免的。测量误差及数据处理2 2、测量误差的来源、测量误差的来源n测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三三个方面综合起来，称为个方面综合起来，称为观测条件观测条件。观测条件不理想和不断变。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次
4、观测，称为同精度观测；观测条件不同的各次观测，称为次观测，称为同精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不同精度观测。不同精度观测。n误差通常通过多余观测产生的差异表现出来。误差通常通过多余观测产生的差异表现出来。测量误差及数据处理具体来说，测量误差主要来自以下三个方面：具体来说，测量误差主要来自以下三个方面：(1) (1) 外界条件外界条件 主主要要指指观观测测环环境境中中气气温温、气气压压、空空气气湿湿度度和和清清晰晰度度、风风力力以以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。(2) (2) 仪器条件仪器条件 仪仪器器在在加加工工
5、和和装装配配等等工工艺艺过过程程中中，不不能能保保证证仪仪器器的的结结构构能能满满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。(3) (3) 观测者的自身条件观测者的自身条件 由由于于观观测测者者感感官官鉴鉴别别能能力力所所限限以以及及技技术术熟熟练练程程度度不不同同，也也会会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。测量误差及数据处理二、误差分类二、误差分类 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为粗差粗差系统误差系统误差偶然误差。偶然误差。测量误差及数据处理1 1、
6、粗差、粗差n粗差也称错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大粗差也称错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意、或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。意、或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。n粗差数值偏大，使观测结果显著偏离真值。粗差数值偏大，使观测结果显著偏离真值。n严格遵守测量规范、工作仔细谨慎并对观测结果进行必严格遵守测量规范、工作仔细谨慎并对观测结果进行必要的检核可以避免和发现粗差。要的检核可以避免和发现粗差。测量误差及数据处理2 2、 系统误差系统误差在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行了了n n次次观观测测，如如果果误误差差出出现现的的大大小小和和符
7、符号号均均相相同同或或按按一一定定的的规规律律变变化化，这这种种误误差差称称为为系统误差。系统误差。系统误差一般具有累积性。系统误差一般具有累积性。系系统统误误差差产产生生的的主主要要原原因因之之一一，是是由由于于仪仪器器设设备备制制造造不不完完善。善。测量误差及数据处理 例如：例如： 用一把名义长度为用一把名义长度为50m50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际的钢尺去量距，经检定钢尺的实际长度为长度为50.005 m50.005 m，则每量一尺，就带有，则每量一尺，就带有+0.005 m+0.005 m的误差的误差( (“+ +”表示在所量距离值中应加上表示在所量距离值中应加上) )，丈量的尺
8、段越多，所产生的误，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。再如：再如： 在在水水准准测测量量时时，当当视视准准轴轴与与水水准准管管轴轴不不平平行行而而产产生生夹夹角角时时，对对水水准准尺尺的的读读数数所所产产生生的的误误差差为为L L*i/*i/（=206265=206265，是是一一弧弧度度对对应应的的秒秒值值) )，它它与与水水准准仪仪至至水水准准尺尺之之间间的的距距离离L L成成正正比，所以这种误差按某种规律变化。比，所以这种误差按某种规律变化。测量误差及数据处理系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很系
9、统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少其影响：以采取措施加以消除或减少其影响：n（1 1）测定其大小，对观测值加以改正）测定其大小，对观测值加以改正n（2 2）采用对称观测的方法）采用对称观测的方法n（3 3）检校仪器）检校仪器测量误差及数据处理3 3、 偶然误差偶然误差在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行了了n n次次观观测测，如如果果误误差差出出现现的的大大小小和和符符号号均均不不一一定定，则则这这种种误误差差称称为为偶偶然然误误
10、差差，又又称称为为随随机误差。机误差。例例如如，用用经经纬纬仪仪测测角角时时的的照照准准误误差差，钢钢尺尺量量距距时时的的读读数数误误差差等，都属于偶然误差。等，都属于偶然误差。偶偶然然误误差差，就就其其个个别别值值而而言言，在在观观测测前前我我们们确确实实不不能能预预知知其其出出现现的的大大小小和和符符号号。但但若若在在一一定定的的观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行多多次次观观测测，误误差差列列却却呈呈现现出出一一定定的的规规律律性性，称称为为统统计计规规律律。而而且且，随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。 测量误差
11、及数据处理n例如：某一测区在相同条件下观测了例如：某一测区在相同条件下观测了358358个三角形的全部内角，个三角形的全部内角，计算计算358358个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取误差个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取误差区间为区间为3 3”，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差出现的频率正负误差出现的频率k kn n，结果列于下表，结果列于下表 ：测量误差及数据处理由上表统计总结出偶然误差具有如下四个特征：由上表统计总结出偶然误差具有如下四个特征： 在在一一定定的的观观测测条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值
12、值不不会会超超过过一一定定的的限限值值( (本本例为例为24)24)； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多( (或概率大或概率大) )； 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；绝对值相等的正、负误差出现的机会相等； 在在相相同同条条件件下下，同同一一量量的的同同精精度度观观测测，其其偶偶然然误误差差的的算算术术平平均均值值，随着观测次数的无限增大而趋于零。随着观测次数的无限增大而趋于零。 测量误差及数据处理第第一一个个特特性性说说明明偶偶然然误误差差的的“有有界界性性”。它它说说明明偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值有有个个限限值值，若若超超过过
13、这这个个限限值值，说说明明观观测测条条件件不不正正常常或或有粗差存在；有粗差存在；第第二二个个特特性性反反映映了了偶偶然然误误差差的的“密密集集性性”，即即越越是是靠靠近近00，误差分布越密集；误差分布越密集；第第三三个个特特性性反反映映了了偶偶然然误误差差的的“对对称称性性”，即即在在各各个个区区间间内内，正负误差个数相等或极为接近；正负误差个数相等或极为接近；第第四四个个特特性性反反映映了了偶偶然然误误差差的的“抵抵偿偿性性”，它它可可由由第第三三特特性性导导出出，即即在在大大量量的的偶偶然然误误差差中中，正正负负误误差差有有相相互互抵抵消消的的特特征征。因此，当因此，当n n无限增大时，
14、偶然误差的算术平均值应趋于零。无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。 测量误差及数据处理6.26.2、 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标测测量量成成果果中中都都不不可可避避免免地地含含有有误误差差，在在测测量量工工作作中中，使使用用“精度精度”来判断观测成果质量的好坏。来判断观测成果质量的好坏。所所谓谓精精度度，就就是是指指误误差差分分布布的的密密集集或或离离散散程程度度。误误差差分分布布密密集集，误误差差就就小小，精精度度就就高高；反反之之，误误差差分分布布离离散散，误误差差就就大大，精度就低。精度就低。衡量观测值精度的衡量观测值精度的指标指标主要有：主要有： 中误差中误差 相对
15、误差相对误差 极限误差极限误差 测量误差及数据处理一、一、 中误差及其计算中误差及其计算1 1 中误差的定义中误差的定义n在相同的观测条件下，对同一未知量进行在相同的观测条件下，对同一未知量进行n n次观测，所得各个次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取其平方根，称为中误差，用真误差平方的平均值，再取其平方根，称为中误差，用m m表示，表示，即：即：n式中式中为真误差为真误差的平方和，的平方和，n n为观测次数。此式为为观测次数。此式为定定义式义式。注意：注意： 一组观测中的每一个观测值，都具有相同的精度。一组观测中的每一个观测值，都具有相同的精度。也就是说，也就是说，中误差仅是一组真误差的
16、代表值中误差仅是一组真误差的代表值，代表了这一组测量中任一个代表了这一组测量中任一个观测值的精度观测值的精度。所以，通常把。所以，通常把m m称为观测值中误差或一次观测值中误差。称为观测值中误差或一次观测值中误差。测量误差及数据处理2 2 用真误差计算中误差用真误差计算中误差 有时，我们可以知道某些量的真值，这样，就可很容有时，我们可以知道某些量的真值，这样，就可很容易地求得观测值的真误差。例如，三角形内角和的真值为易地求得观测值的真误差。例如，三角形内角和的真值为180180，通过观测三角形的三个内角，就可以求得三角形内，通过观测三角形的三个内角，就可以求得三角形内角和的真误差角和的真误差(
17、 (即三角形的闭合差即三角形的闭合差) )，据此，就可以利用上，据此，就可以利用上式计算中误差。式计算中误差。测量误差及数据处理3 3 用改正数计算中误差用改正数计算中误差 所谓改正数，就是最或是值与观测值之差，用所谓改正数，就是最或是值与观测值之差，用v v表示，即：表示，即： v=L-lv=L-l式中式中v v为观测值的改正数；为观测值的改正数；l l为观测值；为观测值；L L为观测值的最或是值。为观测值的最或是值。 设设对对某某个个量量进进行行n n次次观观测测，观观测测值值为为lili（i=1,2i=1,2n)n)，则则它的最或是值就是它的最或是值就是n n个观测值的算术平均值，即个观
18、测值的算术平均值，即 测量误差及数据处理于是改正数为于是改正数为viviL Ll li i （i i，n n）根据误差理论的推导根据误差理论的推导( (此处从略此处从略) )，可得白塞尔公式：，可得白塞尔公式： 上式求得的为一次观测值的中误差。这为中误差的上式求得的为一次观测值的中误差。这为中误差的计算式计算式。测量误差及数据处理例例1 1n某段距离用钢尺进行某段距离用钢尺进行6 6次等精度丈量，其结果如下表，试计算该距离观测次等精度丈量，其结果如下表，试计算该距离观测值中误差。值中误差。n解：部分计算如表中所示，观测值中误差为解：部分计算如表中所示，观测值中误差为序号序号观测值观测值l lv
19、 vvvvv1 1256.565256.565-3mm-3mm9 92 2256.563256.563-5-525253 3256.570256.570+2+24 44 4256.573256.573+5+525255 5256.571256.571+3+39 96 6256.566256.566-2-24 4l=l=256.568256.568v=0v=0vv=76vv=76测量误差及数据处理二、二、 相对误差相对误差 中中误误差差和和真真误误差差都都是是绝绝对对误误差差，误误差差的的大大小小与与观观测测量量的的大大小小无无关关。然然而而，有有些些量量如如长长度度，绝绝对对误误差差不不能能全
20、全面面反反映映观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。 例例如如，分分别别丈丈量量了了两两段段不不同同长长度度的的距距离离，一一段段为为100m100m，另另一一段段为为200m200m，但但中中误误差差皆皆为为0.02m0.02m。显显然然不不能能认认为为这这两两段段距距离离观观测测成成果果的的精精度度相相同同。为为此此，需需要要引引入入“相相对对误误差差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。 测量误差及数据处理 相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之比，用相对误差的定义为：中误差的绝对值与相
21、应观测值之比，用K K表示。表示。 相对误差习惯于用分子为相对误差习惯于用分子为1 1的分数形式表示，分母愈大，表的分数形式表示，分母愈大，表示相对误差愈小，精度也就愈高。示相对误差愈小，精度也就愈高。 K1=0.02/100=1/5000K1=0.02/100=1/5000 K2=0.02/200=1/10000 K2=0.02/200=1/10000测量误差及数据处理三、三、 极限误差极限误差 根根据据偶偶然然误误差差的的第第一一个个特特性性，在在一一定定的的观观测测条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值不不会会超超过过一一定定的的限限值值，这这个个限限值值就就是是极极限限误误差差
22、，简称限差。简称限差。 限限差差是是偶偶然然误误差差的的限限制制值值，用用作作观观测测成成果果取取舍舍的的标标准准。如如果果观观测测值值的的偶偶然然误误差差超超过过限限差差，则则认认为为该该观观测测值值不不合合格格，应应舍舍去去不不用用。因因此此，测测量量上上常常取取三三倍倍中中误误差差作作为为极极限限误误差差限限，也也称称允许误差，即：允许误差，即： 限限=3m=3m测量误差及数据处理6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律 对对于于能能直直接接观观测测的的量量( (如如角角度度、距距离离、高高差差等等) )，经经过过多多次次观观测测后后，便便可可通通过过真真误误差差或或改改正正数数计计算算
23、出出观观测测值值的的中中误误差差，作作为评定观测值精度的标准。为评定观测值精度的标准。 但但在在实实际际工工作作中中，某某些些未未知知量量不不可可能能或或不不便便于于直直接接进进行行观观测测，而而需需要要由由另另一一些些直直接接观观测测量量根根据据一一定定的的函函数数关关系系计计算算出出来来，这些未知量即为观测值的函数。这些未知量即为观测值的函数。 例例如如，在在水水准准测测量量中中，两两点点间间的的高高差差h=a-bh=a-b，则则h h是是直直接接观观测值测值a a和和b b的函数；的函数； 在在三三角角高高程程测测量量的的计计算算公公式式中中，如如果果觇觇标标高高v v等等于于仪仪器器高
24、高i i，则，则h=ltanh=ltan，这时，高差，这时，高差h h就是观测值就是观测值l l和和的函数，等等。的函数，等等。 测量误差及数据处理 本本节节所所要要讨讨论论的的就就是是在在观观测测值值中中误误差差已已知知的的情情况况下下，如如何何求求观观测测值值函函数数中中误误差差的的问问题题。阐阐述述观观测测值值中中误误差差与与函函数数中中误误差差之之间数学关系的定律，称为误差传播定律。间数学关系的定律，称为误差传播定律。一、一、 线性函数线性函数1 1 倍数函数倍数函数 设有函数设有函数Z=KxZ=Kx 式式中中x x为为直直接接观观测测值值，其其中中误误差差为为m mx x；为为常常数
25、数；Z Z为为观观测测值值x x 的函数。的函数。 若对若对x x作作n n次同精度观测，则有：次同精度观测，则有： m m2 22 2m mx x2 2 或或 m mm mx x 上上式式表表明明：对对于于倍倍数数函函数数，函函数数的的中中误误差差等等于于观观测测值值中中误误差差的的K K倍。倍。测量误差及数据处理2 2 和、差函数和、差函数 设有函数设有函数Z=xZ=xy y 式式中中，x x、y y为为两两个个相相互互独独立立的的观观测测值值，均均作作了了n n次次观观测测，其其中中误差分别为误差分别为mxmx和和mymy。用同样的方法可推导出。用同样的方法可推导出: : 或或测量误差及
26、数据处理3 3 一般线性函数一般线性函数 设有函数设有函数 式中，式中， 为常数为常数; ; 为独立观测值，为独立观测值，其相应的中误差分别为其相应的中误差分别为 。根据倍数函数与和。根据倍数函数与和差函数的中误差公式，可列出求一般线性函数中误差的公差函数的中误差公式，可列出求一般线性函数中误差的公式为：式为： 测量误差及数据处理二、二、 非线性函数非线性函数 设有非线性函数设有非线性函数Z=fZ=f（ ） 式式中中， 为为独独立立观观测测值值，其其相相应应的的中中误误差差分分别别为为 。 则有则有 上上式式是是误误差差传传播播定定律律的的一一般般形形式式，其其他他形形式式的的函函数数都都是是
27、它它的的特特例例，所以该式具有普遍意义。所以该式具有普遍意义。例2：P109 例3例3：P110例5测量误差及数据处理6.4 6.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 在在相相同同的的观观测测条条件件下下对对某某未未知知量量进进行行了了一一组组等等精精度度观观测测，其其观观测值分别为测值分别为 ，观测值的真值为，观测值的真值为X X，则观测值的真误差为：，则观测值的真误差为： 将等式两边取和并除以观测次数将等式两边取和并除以观测次数n,n,得：得： /n/nl/n-Xl/n-X 式式中中l l/n/n称称为为算算术术平平均均值值，习习惯惯上上以以L L表表示示；当当观观测测次次数数n
28、n无无限限增增大大时时，根根据据偶偶然然误误差差的的第第四四特特性性，式式中中/n/n趋趋于于零零。于于是有：是有：L=XL=X。 上上式式表表明明，当当观观测测次次数数无无限限增增多多时时，各各个个观观测测值值的的算算术术平平均均值值趋趋近近于于未未知知量量的的真真值值。当当n n为为有有限限值值时时，通通常常取取算算术术平平均均值值为为最最可可靠值靠值( (最或是值最或是值) )，并以它作为测量的最后成果。，并以它作为测量的最后成果。 测量误差及数据处理 算术平均值的一般表达式为：算术平均值的一般表达式为： 由由于于观观测测值值 的的真真误误差差ii一一般般是是不不知知道道的的，所所以以实
29、实际际工工作作中中常采用观测值的改正数常采用观测值的改正数vivi来计算中误差。来计算中误差。 各各观观测测值值的的改改正正数数： ，将将上上式式两边求和，有两边求和，有: :v v=nL-=nL-l l 因因L=l/nL=l/n，所所以以v v=0=0。此此式式可可作作为为改改正正数数计计算算正正确确性性的的检查。检查。 算得改正数后，可计算观测值的中误差：算得改正数后，可计算观测值的中误差：测量误差及数据处理由于算术平均值是观测值的线性函数，即：由于算术平均值是观测值的线性函数，即： 因因是是同同精精度度观观测测，各各观观测测值值的的中中误误差差均均为为m m。设设算算术术平平均均值值的的
30、中误差为中误差为M M，则按线性函数中误差传播定律公式，得：，则按线性函数中误差传播定律公式，得： 即即 上上式式表表明明，算算术术平平均均值值的的中中误误差差与与观观测测次次数数的的平平方方根根成成反反比比，或者说，算术平均值的精度比各观测值的精度提高了或者说，算术平均值的精度比各观测值的精度提高了 倍。倍。测量误差及数据处理例4n用DJ6型经纬仪观测某水平角4测回，观测值为2483218、248 3154 、248 3142 、248 3206 。试求一测回观测值的中误差、该角最或是值及其中误差。 n解：最或是值 L= （2483218+ 248 3154 + 248 3142 + 248
31、 3206 ）/4= 2483200 v=0 vv=12 则一测回观测值中误差 =2 最或是值中误差 =m/2=1 权权(weight)(weight)的概念的概念 2 2、规律、规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。大。 权权P=1P=1的中误差称为的中误差称为“单位权中误差单位权中误差”， 通常用通常用 或或 表示，所以权也表示为：表示，所以权也表示为：式中：式中：C C为任意正数，为任意正数，m mi i为中误差。为中误差。1 1、定义：权用、定义：权用P P表示，即：表示，即： 测量误差及数据处理n对于不同精度观测值的最或是值，由于各观测值的精度对于不同精度观测值的最或是值，由于各观测值的精度不同，中误差也不相同，因此一组观测值的中误差不等不同，中误差也不相同，因此一组观测值的中误差不等于一次观测值中误差，所以其最或是值不是算术平均值。于一次观测值中误差，所以其最或是值不是算术平均值。需要引入权，精度高的观测值权大，精度低的观测值权需要引入权，精度高的观测值权大，精度低的观测值权小。小。n最或是值为加权平均值最或是值为加权平均值n最或是值的中误差为：最或是值的中误差为：
